基礎物理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度
v = v0 + a·t
変位
s = v0·t + ½·a·t²
時間を含まない式
v² = v0² + 2·a·s
単位
1 m/s = 3.6 km/h

解き方

  1. わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
  2. わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
  3. 正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
  4. 解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則
ΣF = m·a
重力
W = m·g
動摩擦
Ff = μ·N
斜面上
斜面方向：m·g·sin θ、 垂直方向：m·g·cos θ

解き方

  1. 物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
  2. 運動の向きに沿って正の向きを決めます。
  3. 力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
  4. 運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分
vx = v0cos θ, vy = v0sin θ
位置
x = vxt, y = h + vyt − ½gt²
最高点の高さ
H = h + vy²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）
R = v0²·sin 2θ/g

解き方

  1. 初速度を成分に分けます：vx = v₀·cos θ、vy = v₀·sin θ。
  2. 水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
  3. 鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
  4. その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

仕事とエネルギー

運動エネルギー
Ek = ½mv²
位置エネルギー
Ep = mgh
エネルギー収支
Ek1 + Ep1 + W = Ek2 + Ep2 + losses
摩擦力がする仕事
W = μ·N·d
電力
P = W/t

運動量と衝突

運動量
p = m·v
保存則
Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性
v′ = (m1v1 + m2v2)/(m1 + m2)
力積
J = F·Δt = m·Δv

解き方

  1. 正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
  2. 衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
  3. 完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
  4. 衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

静水圧

深さでの圧力
p = ρgh
鉛直な壁に働く力
F = ρg·hc·A
圧力中心
yp = yc + Ic/(ycA)
長方形
Ic = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式
A1v1 = A2v2
ベルヌーイの定理
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
流量
Q = A·v
円の面積
A = πd²/4

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式
pV = nRT
気体定数
R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則
p1V1/T1 = p2V2/T2
物質量
n = m/M
温度
T[K] = T[°C] + 273.15

熱機関と冷凍機

効率
η = W/QH = 1 − QC/QH
カルノー効率
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
冷凍機の COP
COPR = QC/W
ヒートポンプの COP
COPHP = QH/W = COPR + 1
エネルギー収支
QH = W + QC

波・音・光学

波の速さ
v = fλ, T = 1/f
弦
v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
点音源
I = P/(4πr²)
定常波
弦または開管 fn = n·v/(2L); 閉管 fn = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
屈折率
n = c/v, λ = λ0/n
スネルの法則
n1sin θ1 = n2sin θ2
臨界角
sin θc = n2/n1
光ファイバー
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
レンズと鏡
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
二重スリット
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
回折格子
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
単スリット
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

  1. 問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
  2. まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
  3. 単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
  4. 符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう
a = 2.25 m/s²s = 1800 m

飛行機が静止状態から滑走路に沿って 2.25 m/s² で一様に加速する。1800 m 進んだ後の速さ v を求めよ。

v₀ = 0a = 2.25 m/s²s = 1800 m
v = m/s
2.運動学むずかしい
v₀ = 13 m/s20 m

地面から高さ 20 m の屋上の端から、ボールを 13 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗は無視し、g = 9.81 m/s² とする。 投げてから地面に落ちるまでの時間 t を求めよ。

v₀ = 13 m/sh₀ = 20 mg = 9.81 m/s²
t = s
3.ニュートンの法則ふつう
θ = 40°a = ?m = 11 kg

質量 11 kg のブロックが、水平と 40° をなす斜面をすべり下りる。動摩擦係数は 0.25 である。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 11 kgθ = 40°μ = 0.25g = 9.81 m/s²
a = m/s²
4.ニュートンの法則むずかしい
m1​ = 6 kg5.5 kgμ = 0.3

水平な机の上にある質量 6 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 5.5 kg のおもりとつながれている。 ブロックと机の間の動摩擦係数は 0.3 である。 g = 9.81 m/s² とする。 全体の加速度 a を求めよ。

m1 = 6 kgm2 = 5.5 kgμ = 0.3g = 9.81 m/s²
a = m/s²
5.放物運動ふつう
7 my = ?v0​ = 10 m/s35°

水平な地面からボールを 10 m/s、水平から 35° 上向きに、7 m 先の壁に向かって蹴る。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。ボールはどの高さ y で壁を通過するか。

v₀ = 10 m/sθ = 35°x = 7 mg = 9.81 m/s²
y = m
6.放物運動むずかしい
h = 15 mv0​ = 35 m/s60°到達距離

ボールを 高さ 15 m の崖の上から水平から 60° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでの飛行時間 t を求めよ。

v0 = 35 m/sθ = 60°h = 15 mg = 9.81 m/s²
t = s
7.仕事とエネルギーふつう
15°d = 13 mμ = 0.15

ブロックが水平と 15° をなす斜面を静止状態からすべり下りる。動摩擦係数は 0.15 である。斜面に沿って 13 m すべった後の速さ v を求めよ。

θ = 15°μ = 0.15d = 13 mg = 9.81 m/s²
v = m/s
8.仕事とエネルギーむずかしい
8 kg1 kgμ = 0.1d = 2.5 m

質量 8 kg のブロックがあらい水平な机の上にある（μ = 0.1）。軽い糸がそこから机の端のなめらかな滑車を通って、つり下げられた質量 1 kg のブロックにつながっている。系を静かに放す。つり下げられたブロックが 2.5 m 下がった後のブロックの速さ v を求めよ。

m1 = 8 kgm2 = 1 kgμ = 0.1d = 2.5 mg = 9.81 m/s²
v = m/s
9.運動量と衝突ふつう
1 kg7 m/s5 kg

摩擦のないレール上で、7 m/s で動く質量 1 kg のグライダーが、静止している質量 5 kg のグライダーと完全弾性的に正面衝突する。 衝突後の 1 台目のグライダーの速度 v′1 を求めよ（元の進行方向を正とする）。

m1 = 1 kgm2 = 5 kgv1 = 7 m/sv2 = 0
v′1 = m/s
10.運動量と衝突むずかしい
26 m/s9 m/s

質量 0.25 kg のボールが 26 m/s で壁に当たり、9 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 20 ms である。 壁がボールに与える力積の大きさ J を求めよ。

m = 0.25 kgvin = 26 m/svout = 9 m/sΔt = 20 ms
J = N·s
11.静水圧ふつう
ゲートd = 0.5 mH = 2.5 m

幅 1 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 0.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 0.5 mH = 2.5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
12.静水圧むずかしい
ゲートd = 1 mH = 3 m

幅 3 m の鉛直な長方形ゲートが、海水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ ycp を求めよ。

d = 1 mH = 3 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
13.連続の式とベルヌーイふつう
12d1​ = 150 mm, p1​ = 340 kPad2​ = 100 mm, p2​ = ?

水が、150 mm から 100 mm に細くなる水平管を流れる。太い部分の圧力は 340 kPa、流速は 2 m/s である。損失を無視して、細い部分の圧力 p2 を求めよ。

d1 = 150 mmd2 = 100 mmp1 = 340 kPav1 = 2 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
14.連続の式とベルヌーイむずかしい
pair​ = 180 kPav = ?d = 20 mmh = 4 m

密閉水槽の水面上に、ゲージ圧 180 kPa の圧縮空気がある。水面より 4 m 下にある直径 20 mm の孔から、水が大気中に流出する。損失を無視して、次を求めよ 噴流速度 v。 g = 9.81 m/s² とする。

pair = 180 kPa (ゲージ圧)h = 4 md = 20 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
v = m/s
15.理想気体の状態方程式ふつう
130 g のO₂V = 20 LT = 25 °CP = ?

容積 20 L のタンクに、温度 25 °C のO₂が 130 g 入っている。理想気体として圧力 P を求めよ。

m = 130 gM = 32 g/molV = 20 LT = 25 °CR = 8.314 J/(mol·K)
P = kPa
16.理想気体の状態方程式むずかしい
CH₄, M = 16.04 g/molP = 750 kPaT = 10 °Cρ = ?

750 kPa、10 °C におけるCH₄の密度 ρ を、理想気体として求めよ。

M = 16.04 g/molP = 750 kPaT = 10 °CR = 8.314 J/(mol·K)
ρ = kg/m³
17.熱機関と冷凍機ふつう
TH​ = 28 °CTL​ = -5 °CRQ̇H​ = ?Q̇L​ = 6.5 kWẆ

可逆冷凍機が 6.5 kW の熱を取り除いて冷蔵室を -5 °C に保ち、28 °C の周囲へ熱を放出する。放出する熱量 Q̇H を求めよ。

TL = -5 °CTH = 28 °CQ̇L = 6.5 kW
Q̇H = kW
18.熱機関と冷凍機むずかしい
1150 °CTm​ = ?35 °CABWA​WB​

2 つのカルノー機関が直列に働く。機関 A は 1150 °C の熱源から熱を受け取り、温度 Tm の中間熱源へ熱を放出する。機関 B はその熱をすべて受け取り、35 °C の熱源へ熱を放出する。 両方の機関の仕事は等しい。Tm を °C で求めよ。

TH = 1150 °CTL = 35 °C
Tm = °C
19.波・音・光学ふつう
S25 m/sO10 m/sf = 400 Hz

25 m/s で動く 400 Hz の音源と、10 m/s で動く観測者が、互いに近づいています。 音速は 343 m/s です。観測者に聞こえる振動数 f′ を求めてください。

f = 400 Hzv = 343 m/svs = 25 m/svo = 10 m/s
f′ = Hz
20.波・音・光学むずかしい
SO5 m/sf = 40 kHz

静止しているセンサーが、5 m/s で近づいてくる車に向けて 40 kHz の超音波を送り、エコーを発した信号と混合します。うなりの振動数 fb を求めてください（音速 343 m/s）。

f = 40 kHzu = 5 m/sv = 343 m/s
fb = Hz

3溶液

1.運動学

答え: v = 90 m/s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

その距離を進んだ後の速さ

v = √(2·a·s) = √(2·2.25·1800) = 90 m/s

答え

v = 90 m/s
(324 km/h)
2.運動学

答え: t = 3.74 s

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

運動の式

上向きを正とし、地面は出発点の h₀ 下にあります。

−20 = 13·t − ½·9.81·t²
4.905·t² − 13·t − 20 = 0

2 次方程式を解く

物理的に意味があるのは正の解だけです。

t = (13 + √(13² + 2·9.81·20))/9.81 = 3.74 s

答え

t = 3.74 s
3.ニュートンの法則

答え: a = 4.427 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 40° − 0.25·cos 40°) = 9.81·(0.6428 − 0.1915) = 4.427 m/s²

答え

a = 4.427 m/s²
4.ニュートンの法則

答え: a = 3.156 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

系の加速度

a = (m2·g − μ·m1·g)/(m1 + m2) = (53.96 − 17.66)/11.5 = 3.156 m/s²

答え

a = 3.156 m/s²
5.放物運動

答え: y = 1.32 m

Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

壁までの時間

vx = 10·cos 35° = 8.192 m/s
t = x/vx = 7/8.192 = 0.8545 s

その時刻での高さ

y = 5.736·0.8545 − ½·9.81·0.8545² = 1.32 m

答え

y = 1.32 m

壁の位置では、ボールはすでに下降中です。

6.放物運動

答え: t = 6.64 s

放物運動：空気抵抗がなければ x = vxt、y = h + vyt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

vx = v0·cos θ = 35·cos 60° = 17.5 m/s
vy = v0·sin θ = 35·sin 60° = 30.31 m/s

滞空時間

y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 15 + 30.31·t − 4.905·t²
t = (vy + √(vy² + 2gh))/g = (30.31 + √(918.7 + 294.3))/9.81 = 6.64 s

答え

t = 6.64 s
7.仕事とエネルギー

答え: v = 5.391 m/s

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

斜面に沿ったエネルギー収支

ブロックは高さ d·sin θ だけ下がり、摩擦が μmg·cos θ·d を奪います。質量は消えます。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)
v = √(2·9.81·13·(0.2588 − 0.15·0.9659)) = 5.391 m/s

答え

v = 5.391 m/s
8.仕事とエネルギー

答え: v = 1.044 m/s

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

放出されるエネルギーと失われるエネルギー

m₂g·d = 9.81·2.5 = 24.53 J
μ·m₁g·d = 0.1·78.48·2.5 = 19.62 J

両方のブロックの運動エネルギー

½(m₁ + m₂)v² = 4.905 → v = √(2·4.905/9) = 1.044 m/s

答え

v = 1.044 m/s
9.運動量と衝突

答え: v′1 = −4.667 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

静止した相手との弾性衝突

運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くと、この 2 つの結果が得られます。

v′1 = (1 − 5)/(1 + 5)·7 = −4.667 m/s
v′2 = 2·1/(1 + 5)·7 = 2.333 m/s

答え

v′1 = −4.667 m/s

負の符号は、1 台目のグライダーがはね返ることを意味します。

10.運動量と衝突

答え: J = 8.75 N·s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

運動量の変化

J = m·Δv = 0.25·(9 + 26) = 8.75 N·s

答え

J = 8.75 N·s
11.静水圧

答え: F = 42.92 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

yc = d + H/2 = 0.5 + 2.5/2 = 1.75 m
A = H·b = 2.5·1 = 2.5 m²
ゲートd = 0.5 mH = 2.5 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·1.75·2.5 = 42.92 kN

答え

F = 42.92 kN
12.静水圧

答え: ycp = 2.8 m

平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

yc = d + H/2 = 1 + 3/2 = 2.5 m
A = H·b = 3·3 = 9 m²
ゲートd = 1 mH = 3 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1025·9.81·2.5·9 = 226.2 kN

圧力中心

圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。

Ic = b·H³/12 = 3·3³/12 = 6.75 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 2.5 + 6.75/(2.5·9) = 2.8 m

答え

ycp = 2.8 m
13.連続の式とベルヌーイ

答え: p2 = 331.9 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v2 = v1·(d1/d2)² = 2·(150/100)² = 4.5 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(2² − 4.5²)/1000 = −8.125 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 340 + (−8.125) = 331.9 kPa

答え

p2 = 331.9 kPa
14.連続の式とベルヌーイ

答え: v = 20.94 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

水面から噴流へのベルヌーイの式

v = √(2·(180000/1000 + 9.81·4)) = 20.94 m/s

答え

v = 20.94 m/s
15.理想気体の状態方程式

答え: P = 503.5 kPa

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = m/M = 130/32 = 4.063 mol
T = 25 + 273.15 = 298.1 K

圧力

P = nRT/V = 4.063·8.314·298.1/0.02 = 503.5 kPa

答え

P = 503.5 kPa
16.理想気体の状態方程式

答え: ρ = 5.11 kg/m³

理想気体の密度：ρ = PM/(RT)。

状態方程式を変形する

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)
T = 10 + 273.15 = 283.1 K

密度

ρ = 750·16.04/(8.314·283.1) = 5.11 kg/m³

答え

ρ = 5.11 kg/m³
17.熱機関と冷凍機

答え: Q̇H = 7.3 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

絶対温度

TH = 28 + 273.15 = 301.1 K
TL = -5 + 273.15 = 268.1 K

可逆サイクルの熱量比

Q̇H = Q̇L·TH/TL = 6.5·301.1/268.1 = 7.3 kW

答え

Q̇H = 7.3 kW

入力動力：Ẇ = 0.7999 kW。

18.熱機関と冷凍機

答え: Tm = 592.5 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

絶対温度

TH = 1150 + 273.15 = 1423 K
TL = 35 + 273.15 = 308.1 K

仕事が等しい

W = Q·(1 − Tlow/Thigh) で、Q/T はどの熱源でも同じなので、W は温度降下に比例します。

Tm = (1423 + 308.1)/2 = 865.7 K = 592.5 °C

答え

Tm = 592.5 °C
19.波・音・光学

答え: f′ = 444 Hz

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、fn = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、fn = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

ドップラーの公式

f′ = f·(v + vo)/(v − vs) = 400·(343 + 10)/(343 − 25)
f′ = 444 Hz

答え

f′ = 444 Hz
20.波・音・光学

答え: fb = 1183 Hz

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、fn = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、fn = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

車での振動数

f′ = 40000·(343 + 5)/343 = 40583 Hz

エコーの振動数

f″ = f′·343/(343 − 5) = 41183 Hz

うなりの振動数

fb = |f″ − f| = 1183 Hz

答え

fb = 1183 Hz

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