基礎物理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式: A₁v₁ = A₂v₂
ベルヌーイの定理: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
円の面積: A = πd²/4

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式: pV = nRT
気体定数: R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物質量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

熱機関と冷凍機

効率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
カルノー効率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
冷凍機の COP: COP_R = Q_C/W
ヒートポンプの COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
エネルギー収支: Q_H = W + Q_C

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

一定の 35 m/s でスピード違反をしている車が、停車中のパトカーの横を通過する。その瞬間、パトカーが発進し、2 m/s² で一様に加速する。パトカーは出発点からどれだけ離れた所で追いつくか。d を求めよ。

v_car = 35 m/sa_police = 2 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.運動学むずかしい

路面電車が静止状態から 2 m/s² で 11 s 加速し、次に 12 s 等速で走り、最後に 5 m/s² でブレーキをかけて停止する。全所要時間 t を求めよ。

a₁ = 2 m/s²t₁ = 11 st₂ = 12 sa₃ = −5 m/s²

t = s

3.ニュートンの法則ふつう

箱が水平な床の上を初速 4 m/s ですべり、3.3 m 進んで止まる。g = 9.81 m/s² とする。動摩擦係数 μ を求めよ。

v₀ = 4 m/sd = 3.3 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.ニュートンの法則むずかしい

20° の斜面上にある質量 6.5 kg のブロックが、斜面の上端にある摩擦のない滑車を通る軽い糸で、つり下げられた質量 4.5 kg のおもりにつながれている。つり下げられたおもりは下向きに動く。斜面には摩擦がない。 g = 9.81 m/s² とする。全体の加速度 a を求めよ。

m₁ = 6.5 kgm₂ = 4.5 kgθ = 20°μ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.放物運動ふつう

水平な地面からボールを水平から 55° 上向きに打ち出すと、105 m 先に着地する。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。打ち出した速さ v₀ を求めよ。

θ = 55°R = 105 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.放物運動むずかしい

地面の高さからボールを 35 m/s、水平から 60° 上向きに投げる。ボールは下降中に、高さ 28 m の建物の平らな屋上に着地する。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。投げた点から着地点までの水平距離 x を求めよ。

v₀ = 35 m/sθ = 60°h_roof = 28 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.仕事とエネルギーふつう

ブロックが水平と 45° をなす斜面を静止状態からすべり下りる。動摩擦係数は 0.2 である。斜面に沿って 3 m すべった後の速さ v を求めよ。

θ = 45°μ = 0.2d = 3 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

8.仕事とエネルギーむずかしい

質量 2.5 kg のブロックを、なめらかなスロープ上の高さ 3.5 m から静かに放す。下で長さ 4 m の粗い水平区間（μ = 0.1）を通り、その後なめらかな面でばね（k = 500 N/m）に当たる。ばねの最大縮み x を求めよ。

m = 2.5 kgh = 3.5 mL = 4 mμ = 0.1k = 500 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

9.運動量と衝突ふつう

質量 20 g の弾丸を、軽い糸でつり下げた質量 4 kg の木片に水平に撃ち込むと、弾丸は木片の中にとどまる。木片は初めより 3 cm 高い位置まで振れ上がる。g = 9.81 m/s² とする。衝突前の弾丸の速さ v を求めよ。

m = 20 gM = 4 kgh = 3 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.運動量と衝突むずかしい

質量 1400 kg の自動車が、駐車中の質量 1100 kg の自動車に衝突する。2 台は一体となって 23.5 m すべって止まる。タイヤと路面の間の動摩擦係数は 0.6 である。g = 9.81 m/s² とする。衝突直前の 1 台目の自動車の速さ v₁ を求めよ。

m₁ = 1400 kgm₂ = 1100 kgd = 23.5 mμ = 0.6g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

11.静水圧ふつう

幅 1 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 2.5 mH = 1 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水圧むずかしい

幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、油を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 1.5 mH = 1.5 mb = 1.5 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.連続の式とベルヌーイふつう

水が、75 mm から 50 mm に細くなる水平管を流れる。太い部分の圧力は 250 kPa、流速は 3 m/s である。損失を無視して、細い部分の圧力 p₂ を求めよ。

d₁ = 75 mmd₂ = 50 mmp₁ = 250 kPav₁ = 3 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.連続の式とベルヌーイむずかしい

水が、200 mm から 100 mm に細くなりながら 8 m 上昇する管を上向きに流れる。断面 1 での圧力は 260 kPa、流速は 1 m/s である。損失を無視して、断面 2 での圧力 p₂ を求めよ。

d₁ = 200 mmd₂ = 100 mmp₁ = 260 kPav₁ = 1 m/sΔz = 8 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.理想気体の状態方程式ふつう

容積 20 L のタンクに、温度 10 °C のCO₂が 440 g 入っている。理想気体として圧力 P を求めよ。

m = 440 gM = 44.01 g/molV = 20 LT = 10 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.理想気体の状態方程式むずかしい

200 kPa、130 °C におけるArの密度 ρ を、理想気体として求めよ。

M = 39.95 g/molP = 200 kPaT = 130 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.熱機関と冷凍機ふつう

熱機関が 450 °C の高温熱源と 35 °C の低温熱源の間で働く。この機関は 3700 kJ の熱を受け取る。得られる最大の仕事 W_max を求めよ。

T_H = 450 °CT_L = 35 °CQ_H = 3700 kJ

W_max = kJ

18.熱機関と冷凍機むずかしい

熱機関が 1 サイクルあたり 500 °C の熱源から 2200 kJ の熱を受け取り、1100 kJ の仕事をして、残りを 20 °C の熱源へ放出する。1 サイクルあたりの全エントロピー生成量 S_gen を求めよ。

T_H = 500 °CT_L = 20 °CQ_H = 2200 kJW = 1100 kJ

S_gen = kJ/K

19.波・音・光学ふつう

光がクラウンガラス（n = 1.50）の中を、アクリル（n = 1.49）との平らな境界に向かって進みます。それを超えると全反射する臨界角 θ_c を求めてください。

n₁ = 1.50n₂ = 1.49

θ_c = °

20.波・音・光学むずかしい

波長 600 nm の光が、0.15 mm 離れた 2 本のスリットに当たります。スクリーンは 1.5 m 先にあります。中央の明線から 5 番目の明線までの距離 y₅ を求めてください。

λ = 600 nmd = 0.15 mmL = 1.5 mm = 5

y₅ = mm

3溶液

1.運動学

答え: d = 1225 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

等しい距離

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·35/2 = 35 s

距離

d = v·t = 35·35 = 1225 m

答え

d = 1225 m

その瞬間、パトカーは 2v = 70 m/s で走っています。

2.運動学

答え: t = 27.4 s

最高速度

v = a₁·t₁ = 2·11 = 22 m/s

制動時間

t₃ = v/a₃ = 22/5 = 4.4 s

合計時間

t = 11 + 12 + 4.4 = 27.4 s

答え

t = 27.4 s

3.ニュートンの法則

答え: μ = 0.2471

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

減速度

a = v₀²/(2d) = 4²/(2·3.3) = 2.424 m/s²

摩擦係数

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 2.424/9.81 = 0.2471

答え

μ = 0.2471

4.ニュートンの法則

答え: a = 2.031 m/s²

糸に沿った力

m₂·g = 44.15 N

m₁·g·sin θ = 21.81 N

μ·m₁·g·cos θ = 0 N

系の加速度

a = (44.15 − 21.81 − 0)/11 = 2.031 m/s²

答え

a = 2.031 m/s²

5.放物運動

答え: v₀ = 33.11 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

水平到達距離の式を v₀ について解く

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·105/sin 110°) = 33.11 m/s

答え

v₀ = 33.11 m/s

6.放物運動

答え: x = 88.36 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

初速度を分解する

v_x = 17.5 m/s, v_y = 30.31 m/s

屋上に着地するまでの時間

大きい方の解：ボールは下降中です。

28 = 30.31·t − 4.905·t²

t = (30.31 + √(30.31² − 2·9.81·28))/9.81 = 5.049 s

水平距離

x = v_x·t = 17.5·5.049 = 88.36 m

答え

x = 88.36 m

7.仕事とエネルギー

答え: v = 5.77 m/s

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

斜面に沿ったエネルギー収支

ブロックは高さ d·sin θ だけ下がり、摩擦が μmg·cos θ·d を奪います。質量は消えます。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·3·(0.7071 − 0.2·0.7071)) = 5.77 m/s

答え

v = 5.77 m/s

8.仕事とエネルギー

答え: x = 55.15 cm

粗い区間を通過した後のエネルギー

スロープはなめらかなので、エネルギーを奪うのは粗い区間だけです。

mgh − μmgL = 24.53·(3.5 − 0.1·4) = 76.03 J

最大縮み

½kx² = 76.03 → x = √(2·76.03/500) = 0.5515 m = 55.15 cm

答え

x = 55.15 cm

9.運動量と衝突

答え: v = 154.2 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

衝突後の振れ上がり

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.03) = 0.7672 m/s

衝突

m·v = (m + M)·V → v = (0.02 + 4)·0.7672/0.02 = 154.2 m/s

答え

v = 154.2 m/s

10.運動量と衝突

答え: v₁ = 29.7 m/s

衝突後の速さ

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.6·9.81·23.5) = 16.63 m/s

衝突での運動量

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2500·16.63/1400 = 29.7 m/s

答え

v₁ = 29.7 m/s

(106.9 km/h)

11.静水圧

答え: F = 29.43 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 2.5 + 1/2 = 3 m

A = H·b = 1·1 = 1 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3·1 = 29.43 kN

答え

F = 29.43 kN

12.静水圧

答え: F = 43.7 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 1.5 + 1.5/2 = 2.25 m

A = H·b = 1.5·1.5 = 2.25 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 880·9.81·2.25·2.25 = 43.7 kN

答え

F = 43.7 kN

13.連続の式とベルヌーイ

答え: p₂ = 231.7 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 3·(75/50)² = 6.75 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(3² − 6.75²)/1000 = −18.28 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 250 + (−18.28) = 231.7 kPa

答え

p₂ = 231.7 kPa

14.連続の式とベルヌーイ

答え: p₂ = 174 kPa

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1·(200/100)² = 4 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1² − 4²)/1000 = −7.5 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·8/1000 = 78.48 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 260 + (−7.5) − 78.48 = 174 kPa

答え

p₂ = 174 kPa

15.理想気体の状態方程式

答え: P = 1177 kPa

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = m/M = 440/44.01 = 9.998 mol

T = 10 + 273.15 = 283.1 K

圧力

P = nRT/V = 9.998·8.314·283.1/0.02 = 1177 kPa

答え

P = 1177 kPa

16.理想気体の状態方程式

答え: ρ = 2.384 kg/m³

理想気体の密度：ρ = PM/(RT)。

状態方程式を変形する

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 130 + 273.15 = 403.1 K

密度

ρ = 200·39.95/(8.314·403.1) = 2.384 kg/m³

答え

ρ = 2.384 kg/m³

17.熱機関と冷凍機

答え: W_max = 2123 kJ

第 2 法則による限界：絶対温度 T_H と T_L の熱源の間で働くどんなサイクルも、可逆（カルノー）サイクルを上回れません：η_max = 1 − T_L/T_H、COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)、COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。エネルギーは常に保存されます：Q_H = W + Q_L。

絶対温度

T_H = 450 + 273.15 = 723.1 K

T_L = 35 + 273.15 = 308.1 K

カルノー効率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 308.1/723.1 = 57.39 %

最大仕事

W_max = η_max·Q_H = 0.5739·3700 = 2123 kJ

答え

W_max = 2123 kJ

18.熱機関と冷凍機

答え: S_gen = 0.9068 kJ/K

エントロピー生成：1 サイクル全体で作動流体の正味のエントロピー変化はありません。高温熱源は Q_H/T_H を失い、低温熱源は Q_L/T_L を得ます。その和が生成されたエントロピーで、可逆サイクルでは 0、実際のサイクルではすべて正になります。

放出熱

Q_L = Q_H − W = 2200 − 1100 = 1100 kJ

絶対温度

T_H = 500 + 273.15 = 773.1 K

T_L = 20 + 273.15 = 293.1 K

熱源のエントロピー変化

ΔS_H = −2200/773.1 = −2.846 kJ/K

ΔS_L = 1100/293.1 = 3.752 kJ/K

S_gen = 3.752 − 2.846 = 0.9068 kJ/K

答え

S_gen = 0.9068 kJ/K

S_gen > 0 なので、この機関は実現可能ですが不可逆です。

19.波・音・光学

答え: θ_c = 83.38 °

幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/d_o + 1/d_i に従い、倍率は m = −d_i/d_o です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。d_i > 0 は実像、d_i < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。

90° の屈折

sin θc = n₂/n₁ = 1.49/1.50 = 0.9933

臨界角

θc = arcsin(0.9933) = 83.38°

答え

θ_c = 83.38°

20.波・音・光学

答え: y₅ = 30 mm

干渉と回折：距離 d だけ離れた 2 本のスリットを通った光は、スクリーン上の点に行路差 d·sin θ で届きます。明線は d·sin θ = mλ（m = 0, ±1, ±2, …）の位置に現れます。スクリーンまでの距離が L ≫ d のとき、m 番目の明線は y = mλL/d の位置にあり、縞の間隔は Δy = λL/d です。1 ミリメートルあたり N 本の線をもつ回折格子では d = 1/N で、鋭い極大が d·sin θ = mλ の位置に現れます。sin θ ≤ 1 なので、最高次数は m ≤ d/λ を満たす最大の整数 m です。幅 a の単スリットでは、a·sin θ = mλ（m = ±1, ±2, …）の位置に暗線ができます。

縞の間隔

Δy = λL/d = 600 × 10⁻⁹·1.5/(0.15 × 10⁻³) = 6 mm

5 番目の縞

y₅ = 5·6 = 30 mm

答え

y₅ = 30 mm

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