基礎物理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式: A₁v₁ = A₂v₂
ベルヌーイの定理: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
円の面積: A = πd²/4

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式: pV = nRT
気体定数: R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物質量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

熱機関と冷凍機

効率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
カルノー効率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
冷凍機の COP: COP_R = Q_C/W
ヒートポンプの COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
エネルギー収支: Q_H = W + Q_C

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

60 km/h で走っている車が、一定の減速度 8 m/s² でブレーキをかけて停止する。制動距離 s を求めよ。

v₀ = 60 km/ha = −8 m/s²v = 0

s = m

2.運動学むずかしい

地面から高さ 5 m の屋上の端から、ボールを 13 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗は無視し、g = 9.81 m/s² とする。投げてから地面に落ちるまでの時間 t を求めよ。

v₀ = 13 m/sh₀ = 5 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.ニュートンの法則ふつう

質量 3 kg と 1.5 kg のおもりが、軽くて摩擦のない滑車の両側に軽い糸でつながれてつり下げられている。系を静かに放す。g = 9.81 m/s² とする。おもりの加速度 a を求めよ。

m₁ = 3 kgm₂ = 1.5 kgg = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 1.5 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 0.5 kg のおもりとつながれている。ブロックと机の間の動摩擦係数は 0.25 である。 g = 9.81 m/s² とする。糸の張力 T を求めよ。

m₁ = 1.5 kgm₂ = 0.5 kgμ = 0.25g = 9.81 m/s²

T = N

5.放物運動ふつう

水平な地面からボールを 40 m/s で打ち出し、95 m 先に着地させなければならない。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。2 つの可能な打ち出し角のうち小さい方 θ を求めよ。

v₀ = 40 m/sR = 95 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.放物運動むずかしい

ボールを高さ 10 m の崖の上から水平から 45° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでに進む水平距離 x を求めよ。

v₀ = 22 m/sθ = 45°h = 10 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.仕事とエネルギーふつう

ブロックが水平と 25° をなす斜面を静止状態からすべり下りる。動摩擦係数は 0.15 である。斜面に沿って 16 m すべった後の速さ v を求めよ。

θ = 25°μ = 0.15d = 16 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

8.仕事とエネルギーむずかしい

質量 3 kg のブロックがあらい水平な机の上にある（μ = 0.3）。軽い糸がそこから机の端のなめらかな滑車を通って、つり下げられた質量 2 kg のブロックにつながっている。系を静かに放す。つり下げられたブロックが 3 m 下がった後のブロックの速さ v を求めよ。

m₁ = 3 kgm₂ = 2 kgμ = 0.3d = 3 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.運動量と衝突ふつう

摩擦のないレール上で、2 m/s で動く質量 0.5 kg のグライダーが、静止している質量 4 kg のグライダーと完全弾性的に正面衝突する。衝突後の 2 台目のグライダーの速度 v′₂ を求めよ。

m₁ = 0.5 kgm₂ = 4 kgv₁ = 2 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

10.運動量と衝突むずかしい

交差点で、東向きに 23 m/s で走る質量 1600 kg の自動車が、北向きに 14 m/s で走る質量 1100 kg の自動車と衝突する。2 台は一体となる。衝突直後の残骸の速さ v′ を求めよ。

m₁ = 1600 kgv₁ = 23 m/s (E)m₂ = 1100 kgv₂ = 14 m/s (N)

v′ = m/s

11.静水圧ふつう

幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 2.5 mH = 3 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水圧むずかしい

幅 3 m の鉛直な長方形ゲートが、油を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 1.5 mH = 1 mb = 3 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.連続の式とベルヌーイふつう

入口径 80 mm、のど部径 40 mm の水平なベンチュリ管を水が流れる。入口の圧力はのど部より 18 kPa 高い。損失を無視して、流量 Q を求めよ。

d₁ = 80 mmd₂ = 40 mmp₁ − p₂ = 18 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

14.連続の式とベルヌーイむずかしい

水が、150 mm から 75 mm に細くなりながら 6 m 上昇する管を上向きに流れる。断面 1 での圧力は 320 kPa、流速は 0.75 m/s である。損失を無視して、断面 2 での圧力 p₂ を求めよ。

d₁ = 150 mmd₂ = 75 mmp₁ = 320 kPav₁ = 0.75 m/sΔz = 6 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.理想気体の状態方程式ふつう

450 kPa、40 °C において、CO₂ 90 g が占める体積 V はいくらか。理想気体として扱う。

m = 90 gM = 44.01 g/molP = 450 kPaT = 40 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想気体の状態方程式むずかしい

500 kPa、20 °C におけるArの密度 ρ を、理想気体として求めよ。

M = 39.95 g/molP = 500 kPaT = 20 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.熱機関と冷凍機ふつう

熱機関が 200 °C の高温熱源と 5 °C の低温熱源の間で働く。可能な最大の熱効率 η_max を求めよ。

T_H = 200 °CT_L = 5 °C

η_max = %

18.熱機関と冷凍機むずかしい

熱機関が 1 サイクルあたり 350 °C の熱源から 1600 kJ の熱を受け取り、496 kJ の仕事をして、残りを 30 °C の熱源へ放出する。1 サイクルあたりの全エントロピー生成量 S_gen を求めよ。

T_H = 350 °CT_L = 30 °CQ_H = 1600 kJW = 496 kJ

S_gen = kJ/K

19.波・音・光学ふつう

一端が閉じた管の長さは 0.65 m です。音速は 343 m/s です。その基本振動（第 1 倍音）の振動数 f₁ を求めてください。

v = 343 m/sn = 1L = 0.65 m

f₁ = Hz

20.波・音・光学むずかしい

静止している駐車センサーが、5 m/s で遠ざかる車に向けて 20 kHz の超音波を送ります。センサーに戻ってくるエコーの振動数 f″ を求めてください（音速 343 m/s）。

f = 20 kHzu = 5 m/sv = 343 m/s

f″ = Hz

3溶液

1.運動学

答え: s = 17.36 m

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

単位

v₀ = 60/3.6 = 16.67 m/s

制動距離

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 16.67²/(2·8) = 17.36 m

答え

s = 17.36 m

2.運動学

答え: t = 2.991 s

運動の式

上向きを正とし、地面は出発点の h₀ 下にあります。

−5 = 13·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 13·t − 5 = 0

2 次方程式を解く

物理的に意味があるのは正の解だけです。

t = (13 + √(13² + 2·9.81·5))/9.81 = 2.991 s

答え

t = 2.991 s

3.ニュートンの法則

答え: a = 3.27 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

加速度

正味の駆動力は重さの差で、それが全質量を動かします。

a = (3 − 1.5)·9.81/(3 + 1.5) = 3.27 m/s²

答え

a = 3.27 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: T = 4.598 N

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (4.905 − 3.679)/2 = 0.6131 m/s²

机の上のブロックから求める張力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 1.5·0.6131 + 3.679 = 4.598 N

答え

T = 4.598 N

5.放物運動

答え: θ = 17.81 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

水平到達距離の式

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·95/40² = 0.5825

位相角

2θ = 35.62° → θ = 17.81°

答え

θ = 17.81°

もう 1 つの解は 90° − θ = 72.19° です。

6.放物運動

答え: x = 57.86 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 22·cos 45° = 15.56 m/s

v_y = v₀·sin θ = 22·sin 45° = 15.56 m/s

滞空時間

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 10 + 15.56·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (15.56 + √(242 + 196.2))/9.81 = 3.72 s

水平距離

x = v_x·t = 15.56·3.72 = 57.86 m

答え

x = 57.86 m

7.仕事とエネルギー

答え: v = 9.486 m/s

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

斜面に沿ったエネルギー収支

ブロックは高さ d·sin θ だけ下がり、摩擦が μmg·cos θ·d を奪います。質量は消えます。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·16·(0.4226 − 0.15·0.9063)) = 9.486 m/s

答え

v = 9.486 m/s

8.仕事とエネルギー

答え: v = 3.598 m/s

放出されるエネルギーと失われるエネルギー

m₂g·d = 19.62·3 = 58.86 J

μ·m₁g·d = 0.3·29.43·3 = 26.49 J

両方のブロックの運動エネルギー

½(m₁ + m₂)v² = 32.37 → v = √(2·32.37/5) = 3.598 m/s

答え

v = 3.598 m/s

9.運動量と衝突

答え: v′₂ = 0.4444 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

静止した相手との弾性衝突

運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くと、この 2 つの結果が得られます。

v′₁ = (0.5 − 4)/(0.5 + 4)·2 = −1.556 m/s

v′₂ = 2·0.5/(0.5 + 4)·2 = 0.4444 m/s

答え

v′₂ = 0.4444 m/s

10.運動量と衝突

答え: v′ = 14.77 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

運動量の成分

p_x = 1600·23 = 36800 kg·m/s

p_y = 1100·14 = 15400 kg·m/s

残骸の速さ

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 39892/2700 = 14.77 m/s

答え

v′ = 14.77 m/s

11.静水圧

答え: F = 176.6 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 2.5 + 3/2 = 4 m

A = H·b = 3·1.5 = 4.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·4·4.5 = 176.6 kN

答え

F = 176.6 kN

12.静水圧

答え: F = 51.8 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 1.5 + 1/2 = 2 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 880·9.81·2·3 = 51.8 kN

答え

F = 51.8 kN

13.連続の式とベルヌーイ

答え: Q = 7.787 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

連続の式

v₁ = v₂·(40/80)² = 0.25·v₂

入口とのど部の間のベルヌーイの式

管は水平なので、変化するのは圧力と流速だけです。

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·18000/(1000·(1 − 0.0625))) = 6.197 m/s

v₁ = 1.549 m/s

流量

Q = A₂·v₂ = 0.001257·6.197 = 0.007787 m³/s = 7.787 L/s

答え

Q = 7.787 L/s

14.連続の式とベルヌーイ

答え: p₂ = 256.9 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0.75·(150/75)² = 3 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0.75² − 3²)/1000 = −4.219 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·6/1000 = 58.86 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 320 + (−4.219) − 58.86 = 256.9 kPa

答え

p₂ = 256.9 kPa

15.理想気体の状態方程式

答え: V = 11.83 L

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = 90/44.01 = 2.045 mol

T = 40 + 273.15 = 313.1 K

体積

V = nRT/P = 2.045·8.314·313.1/450 = 11.83 L

答え

V = 11.83 L

16.理想気体の状態方程式

答え: ρ = 8.196 kg/m³

理想気体の密度：ρ = PM/(RT)。

状態方程式を変形する

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 20 + 273.15 = 293.1 K

密度

ρ = 500·39.95/(8.314·293.1) = 8.196 kg/m³

答え

ρ = 8.196 kg/m³

17.熱機関と冷凍機

答え: η_max = 41.21 %

第 2 法則による限界：絶対温度 T_H と T_L の熱源の間で働くどんなサイクルも、可逆（カルノー）サイクルを上回れません：η_max = 1 − T_L/T_H、COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)、COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。エネルギーは常に保存されます：Q_H = W + Q_L。

絶対温度

T_H = 200 + 273.15 = 473.1 K

T_L = 5 + 273.15 = 278.1 K

カルノー効率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 278.1/473.1 = 41.21 %

答え

η_max = 41.21 %

18.熱機関と冷凍機

答え: S_gen = 1.074 kJ/K

エントロピー生成：1 サイクル全体で作動流体の正味のエントロピー変化はありません。高温熱源は Q_H/T_H を失い、低温熱源は Q_L/T_L を得ます。その和が生成されたエントロピーで、可逆サイクルでは 0、実際のサイクルではすべて正になります。

放出熱

Q_L = Q_H − W = 1600 − 496 = 1104 kJ

絶対温度

T_H = 350 + 273.15 = 623.1 K

T_L = 30 + 273.15 = 303.1 K

熱源のエントロピー変化

ΔS_H = −1600/623.1 = −2.568 kJ/K

ΔS_L = 1104/303.1 = 3.642 kJ/K

S_gen = 3.642 − 2.568 = 1.074 kJ/K

答え

S_gen = 1.074 kJ/K

S_gen > 0 なので、この機関は実現可能ですが不可逆です。

19.波・音・光学

答え: f₁ = 131.9 Hz

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、f_n = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、f_n = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

このモードの波長

λ = 4L/n = 4·0.65/1 = 2.6 m

振動数

f = v/λ = 343/2.6 = 131.9 Hz

答え

f₁ = 131.9 Hz

20.波・音・光学

答え: f″ = 19425 Hz

車での振動数

f′ = 20000·(343 − 5)/343 = 19708 Hz

エコーの振動数

f″ = f′·343/(343 + 5) = 19425 Hz

答え

f″ = 19425 Hz

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