基礎物理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式: A₁v₁ = A₂v₂
ベルヌーイの定理: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
円の面積: A = πd²/4

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式: pV = nRT
気体定数: R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物質量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

熱機関と冷凍機

効率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
カルノー効率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
冷凍機の COP: COP_R = Q_C/W
ヒートポンプの COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
エネルギー収支: Q_H = W + Q_C

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

飛行機が静止状態から滑走路に沿って 3 m/s² で一様に加速する。1000 m 進んだ後の速さ v を求めよ。

v₀ = 0a = 3 m/s²s = 1000 m

v = m/s

2.運動学むずかしい

地面から高さ 10 m の屋上の端から、ボールを 13 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗は無視し、g = 9.81 m/s² とする。地面からの最高点の高さ h_max を求めよ。

v₀ = 13 m/sh₀ = 10 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.ニュートンの法則ふつう

質量 15 kg のブロックが、水平と 45° をなす斜面をすべり下りる。動摩擦係数は 0.3 である。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 15 kgθ = 45°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 2.5 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 1 kg のおもりとつながれている。ブロックと机の間の動摩擦係数は 0.25 である。 g = 9.81 m/s² とする。糸の張力 T を求めよ。

m₁ = 2.5 kgm₂ = 1 kgμ = 0.25g = 9.81 m/s²

T = N

5.放物運動ふつう

水平な地面からボールを 20 m/s、水平から 20° 上向きに、18 m 先の壁に向かって蹴る。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。ボールはどの高さ y で壁を通過するか。

v₀ = 20 m/sθ = 20°x = 18 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.放物運動むずかしい

ボールを高さ 15 m の崖の上から水平から 20° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでに進む水平距離 x を求めよ。

v₀ = 23 m/sθ = 20°h = 15 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.仕事とエネルギーふつう

質量 1 kg のブロックが水平と 25° をなす斜面を 19 m すべり下りる。動摩擦係数は 0.15 である。摩擦に逆らってした仕事 W_f を求めよ。

m = 1 kgθ = 25°μ = 0.15d = 19 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

8.仕事とエネルギーむずかしい

質量 2.5 kg のブロックを、なめらかなスロープ上の高さ 2 m から静かに放す。下で長さ 5 m の粗い水平区間（μ = 0.2）を通り、その後なめらかな面でばね（k = 1500 N/m）に当たる。ばねの最大縮み x を求めよ。

m = 2.5 kgh = 2 mL = 5 mμ = 0.2k = 1500 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

9.運動量と衝突ふつう

10 m/s で動いている質量 700 kg の自動車が、静止している質量 600 kg の自動車に衝突し、2 台は一体となる。元の運動エネルギーの何パーセント ΔK/K が失われるか。

m₁ = 700 kgv₁ = 10 m/sm₂ = 600 kgv₂ = 0

ΔK/K = %

10.運動量と衝突むずかしい

交差点で、東向きに 9 m/s で走る質量 1700 kg の自動車が、北向きに 20 m/s で走る質量 1700 kg の自動車と衝突する。2 台は一体となる。衝突直後の残骸の速さ v′ を求めよ。

m₁ = 1700 kgv₁ = 9 m/s (E)m₂ = 1700 kgv₂ = 20 m/s (N)

v′ = m/s

11.静水圧ふつう

幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 4 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 4 mH = 1 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水圧むずかしい

幅 3 m の鉛直な長方形ゲートが、油を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ y_cp を求めよ。

d = 2 mH = 3 mb = 3 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.連続の式とベルヌーイふつう

水が、200 mm から 100 mm に細くなる水平管を流れる。太い部分の圧力は 210 kPa、流速は 0.5 m/s である。損失を無視して、細い部分の圧力 p₂ を求めよ。

d₁ = 200 mmd₂ = 100 mmp₁ = 210 kPav₁ = 0.5 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.連続の式とベルヌーイむずかしい

水が、150 mm から 75 mm に細くなりながら 7 m 上昇する管を上向きに流れる。断面 1 での圧力は 220 kPa、流速は 2.5 m/s である。損失を無視して、断面 2 での圧力 p₂ を求めよ。

d₁ = 150 mmd₂ = 75 mmp₁ = 220 kPav₁ = 2.5 m/sΔz = 7 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.理想気体の状態方程式ふつう

500 kPa、10 °C において、O₂ 380 g が占める体積 V はいくらか。理想気体として扱う。

m = 380 gM = 32 g/molP = 500 kPaT = 10 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想気体の状態方程式むずかしい

500 kPa、160 °C におけるCO₂の密度 ρ を、理想気体として求めよ。

M = 44.01 g/molP = 500 kPaT = 160 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.熱機関と冷凍機ふつう

熱機関が 625 °C の高温熱源と 30 °C の低温熱源の間で働く。可能な最大の熱効率 η_max を求めよ。

T_H = 625 °CT_L = 30 °C

η_max = %

18.熱機関と冷凍機むずかしい

冷蔵庫が、25 °C のキッチンで冷蔵室を -25 °C に保ち、冷蔵室から 4.5 kW の熱を取り除く。可能な最大の成績係数 COP_max を求めよ。

T_H = 25 °CT_L = -25 °CQ̇_L = 4.5 kW

COP_max =

19.波・音・光学ふつう

物体が、焦点距離 20 cm の薄い収束レンズの 15 cm 前にあります。倍率 m を求めてください（倒立像では負）。

d_o = 15 cmf = 20 cm

m =

20.波・音・光学むずかしい

波長 589 nm の光が、幅 0.05 mm の単スリットを通ります。直進方向から測った 1 番目の暗線の角度 θ₁ を求めてください。

λ = 589 nma = 0.05 mmm = 1

θ₁ = °

3溶液

1.運動学

答え: v = 77.46 m/s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

その距離を進んだ後の速さ

v = √(2·a·s) = √(2·3·1000) = 77.46 m/s

答え

v = 77.46 m/s

(278.9 km/h)

2.運動学

答え: h_max = 18.61 m

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

屋上からの上昇距離

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 13²/(2·9.81) = 8.614 m

地面からの高さ

h_max = 10 + 8.614 = 18.61 m

答え

h_max = 18.61 m

3.ニュートンの法則

答え: a = 4.856 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 45° − 0.3·cos 45°) = 9.81·(0.7071 − 0.2121) = 4.856 m/s²

答え

a = 4.856 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: T = 8.759 N

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (9.81 − 6.131)/3.5 = 1.051 m/s²

机の上のブロックから求める張力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 2.5·1.051 + 6.131 = 8.759 N

答え

T = 8.759 N

5.放物運動

答え: y = 2.052 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

壁までの時間

v_x = 20·cos 20° = 18.79 m/s

t = x/v_x = 18/18.79 = 0.9578 s

その時刻での高さ

y = 6.84·0.9578 − ½·9.81·0.9578² = 2.052 m

答え

y = 2.052 m

壁の位置では、ボールはすでに下降中です。

6.放物運動

答え: x = 58.91 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 23·cos 20° = 21.61 m/s

v_y = v₀·sin θ = 23·sin 20° = 7.866 m/s

滞空時間

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 15 + 7.866·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (7.866 + √(61.88 + 294.3))/9.81 = 2.726 s

水平距離

x = v_x·t = 21.61·2.726 = 58.91 m

答え

x = 58.91 m

7.仕事とエネルギー

答え: W_f = 25.34 J

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 9.81·0.9063 = 8.891 N

F = μN = 0.15·8.891 = 1.334 N

摩擦に逆らう仕事

W_f = F·d = 1.334·19 = 25.34 J

答え

W_f = 25.34 J

8.仕事とエネルギー

答え: x = 18.08 cm

粗い区間を通過した後のエネルギー

スロープはなめらかなので、エネルギーを奪うのは粗い区間だけです。

mgh − μmgL = 24.53·(2 − 0.2·5) = 24.53 J

最大縮み

½kx² = 24.53 → x = √(2·24.53/1500) = 0.1808 m = 18.08 cm

答え

x = 18.08 cm

9.運動量と衝突

答え: ΔK/K = 46.15 %

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

共通の速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 700·10/1300 = 5.385 m/s

衝突前後の運動エネルギー

K_before = ½·700·10² = 35000 J

K_after = ½·1300·5.385² = 18846 J

失われた割合

ΔK/K = 16154/35000 = 46.15 %

答え

ΔK/K = 46.15 %

失われたエネルギーは変形、熱、音になります。

10.運動量と衝突

答え: v′ = 10.97 m/s

運動量の成分

p_x = 1700·9 = 15300 kg·m/s

p_y = 1700·20 = 34000 kg·m/s

残骸の速さ

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 37284/3400 = 10.97 m/s

答え

v′ = 10.97 m/s

11.静水圧

答え: F = 66.22 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 4 + 1/2 = 4.5 m

A = H·b = 1·1.5 = 1.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·4.5·1.5 = 66.22 kN

答え

F = 66.22 kN

12.静水圧

答え: y_cp = 3.714 m

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 2 + 3/2 = 3.5 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 880·9.81·3.5·9 = 271.9 kN

圧力中心

圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。

I_c = b·H³/12 = 3·3³/12 = 6.75 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3.5 + 6.75/(3.5·9) = 3.714 m

答え

y_cp = 3.714 m

13.連続の式とベルヌーイ

答え: p₂ = 208.1 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0.5·(200/100)² = 2 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0.5² − 2²)/1000 = −1.875 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 210 + (−1.875) = 208.1 kPa

答え

p₂ = 208.1 kPa

14.連続の式とベルヌーイ

答え: p₂ = 104.5 kPa

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2.5·(150/75)² = 10 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2.5² − 10²)/1000 = −46.88 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·7/1000 = 68.67 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 220 + (−46.88) − 68.67 = 104.5 kPa

答え

p₂ = 104.5 kPa

15.理想気体の状態方程式

答え: V = 55.91 L

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = 380/32 = 11.88 mol

T = 10 + 273.15 = 283.1 K

体積

V = nRT/P = 11.88·8.314·283.1/500 = 55.91 L

答え

V = 55.91 L

16.理想気体の状態方程式

答え: ρ = 6.11 kg/m³

理想気体の密度：ρ = PM/(RT)。

状態方程式を変形する

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 160 + 273.15 = 433.1 K

密度

ρ = 500·44.01/(8.314·433.1) = 6.11 kg/m³

答え

ρ = 6.11 kg/m³

17.熱機関と冷凍機

答え: η_max = 66.25 %

第 2 法則による限界：絶対温度 T_H と T_L の熱源の間で働くどんなサイクルも、可逆（カルノー）サイクルを上回れません：η_max = 1 − T_L/T_H、COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)、COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。エネルギーは常に保存されます：Q_H = W + Q_L。

絶対温度

T_H = 625 + 273.15 = 898.1 K

T_L = 30 + 273.15 = 303.1 K

カルノー効率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 303.1/898.1 = 66.25 %

答え

η_max = 66.25 %

18.熱機関と冷凍機

答え: COP_max = 4.963

絶対温度

T_H = 25 + 273.15 = 298.1 K

T_L = -25 + 273.15 = 248.1 K

可能な最良の COP

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 248.1/(298.1 − 248.1) = 4.963

答え

COP_max = 4.963

19.波・音・光学

答え: m = 4

幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/d_o + 1/d_i に従い、倍率は m = −d_i/d_o です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。d_i > 0 は実像、d_i < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。

薄いレンズの式

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/20 − 1/15

d_i = −60 cm

倍率

m = −d_i/d_o = −(−60)/15 = 4

答え

m = 4

20.波・音・光学

答え: θ₁ = 0.675 °

干渉と回折：距離 d だけ離れた 2 本のスリットを通った光は、スクリーン上の点に行路差 d·sin θ で届きます。明線は d·sin θ = mλ（m = 0, ±1, ±2, …）の位置に現れます。スクリーンまでの距離が L ≫ d のとき、m 番目の明線は y = mλL/d の位置にあり、縞の間隔は Δy = λL/d です。1 ミリメートルあたり N 本の線をもつ回折格子では d = 1/N で、鋭い極大が d·sin θ = mλ の位置に現れます。sin θ ≤ 1 なので、最高次数は m ≤ d/λ を満たす最大の整数 m です。幅 a の単スリットでは、a·sin θ = mλ（m = ±1, ±2, …）の位置に暗線ができます。

暗線の条件

sin θ = mλ/a = 0.01178

θ = 0.675°

答え

θ₁ = 0.675°

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