基礎物理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式: A₁v₁ = A₂v₂
ベルヌーイの定理: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
円の面積: A = πd²/4

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式: pV = nRT
気体定数: R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物質量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

熱機関と冷凍機

効率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
カルノー効率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
冷凍機の COP: COP_R = Q_C/W
ヒートポンプの COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
エネルギー収支: Q_H = W + Q_C

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

72 km/h で走っている車が、一定の減速度 3 m/s² でブレーキをかけて停止する。制動距離 s を求めよ。

v₀ = 72 km/ha = −3 m/s²v = 0

s = m

2.運動学むずかしい

球 A を高さ 30 m から静かに落とす。同時に、その真下の地面から球 B を 15 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。 2 つの球が出会うのはいつか。t を求めよ。

H = 30 mv_0B = 15 m/sg = 9.81 m/s²

t = s

3.ニュートンの法則ふつう

質量 12 kg のブロックが、水平と 20° をなす斜面をすべり下りる。動摩擦係数は 0.1 である。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 12 kgθ = 20°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 8 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 2 kg のおもりとつながれている。机の面はなめらかである。 g = 9.81 m/s² とする。全体の加速度 a を求めよ。

m₁ = 8 kgm₂ = 2 kgμ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.放物運動ふつう

水平な地面からボールを水平から 70° 上向きに打ち出すと、85 m 先に着地する。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。打ち出した速さ v₀ を求めよ。

θ = 70°R = 85 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.放物運動むずかしい

地面の高さからボールを 38 m/s、水平から 70° 上向きに投げる。ボールは下降中に、高さ 14 m の建物の平らな屋上に着地する。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。投げた点から着地点までの水平距離 x を求めよ。

v₀ = 38 m/sθ = 70°h_roof = 14 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.仕事とエネルギーふつう

ブロックが水平と 40° をなす斜面を静止状態からすべり下りる。動摩擦係数は 0.1 である。斜面に沿って 5 m すべった後の速さ v を求めよ。

θ = 40°μ = 0.1d = 5 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

8.仕事とエネルギーむずかしい

質量 0.5 kg のブロックを、なめらかなスロープ上の高さ 2 m から静かに放す。下で長さ 4 m の粗い水平区間（μ = 0.3）を通り、その後なめらかな面でばね（k = 1000 N/m）に当たる。ばねの最大縮み x を求めよ。

m = 0.5 kgh = 2 mL = 4 mμ = 0.3k = 1000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

9.運動量と衝突ふつう

摩擦のないレール上で、7 m/s で動く質量 3 kg のグライダーが、静止している質量 0.5 kg のグライダーと完全弾性的に正面衝突する。衝突後の 1 台目のグライダーの速度 v′₁ を求めよ（元の進行方向を正とする）。

m₁ = 3 kgm₂ = 0.5 kgv₁ = 7 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

10.運動量と衝突むずかしい

質量 0.1 kg のボールが 19 m/s で壁に当たり、20 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 10 ms である。壁がボールに与える力積の大きさ J を求めよ。

m = 0.1 kgv_in = 19 m/sv_out = 20 m/sΔt = 10 ms

J = N·s

11.静水圧ふつう

幅 3 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 2.5 mH = 1.5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水圧むずかしい

幅 1 m の鉛直な長方形ゲートが、海水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ y_cp を求めよ。

d = 2 mH = 3 mb = 1 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.連続の式とベルヌーイふつう

大きな開放水槽から、直径 25 mm の刃形オリフィスを通って水が流出する。水位はオリフィスより 4 m 上に保たれ、流量係数は 0.61 である。流量 Q を求めよ。g = 9.81 m/s² とする。

d = 25 mmh = 4 mC_d = 0.61g = 9.81 m/s²

Q = L/s

14.連続の式とベルヌーイむずかしい

水が、100 mm から 75 mm に細くなりながら 10 m 上昇する管を上向きに流れる。断面 1 での圧力は 380 kPa、流速は 3 m/s である。損失を無視して、断面 2 での圧力 p₂ を求めよ。

d₁ = 100 mmd₂ = 75 mmp₁ = 380 kPav₁ = 3 m/sΔz = 10 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.理想気体の状態方程式ふつう

450 kPa、90 °C において、He 270 g が占める体積 V はいくらか。理想気体として扱う。

m = 270 gM = 4.003 g/molP = 450 kPaT = 90 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想気体の状態方程式むずかしい

一定量のArが 250 kPa、10 L、25 °C から 350 kPa、240 °C に変化する。新しい体積 V₂ を求めよ。

P₁ = 250 kPaV₁ = 10 LT₁ = 25 °CP₂ = 350 kPaT₂ = 240 °C

V₂ = L

17.熱機関と冷凍機ふつう

熱機関が 300 °C の熱源から熱を受け取り、15 °C の周囲へ熱を放出する。実際の熱効率は 20% である。第二法則効率（実際の効率とカルノー効率の比）η_II を求めよ。

T_H = 300 °CT_L = 15 °Cη = 20%

η_II = %

18.熱機関と冷凍機むずかしい

熱機関が 1 サイクルあたり 500 °C の熱源から 2100 kJ の熱を受け取り、777 kJ の仕事をして、残りを 20 °C の熱源へ放出する。1 サイクルあたりの全エントロピー生成量 S_gen を求めよ。

T_H = 500 °CT_L = 20 °CQ_H = 2100 kJW = 777 kJ

S_gen = kJ/K

19.波・音・光学ふつう

物体が、焦点距離 25 cm の薄い収束レンズの 18 cm 前にあります。倍率 m を求めてください（倒立像では負）。

d_o = 18 cmf = 25 cm

m =

20.波・音・光学むずかしい

2 枚の薄いレンズが同じ光軸上に 30 cm 離れて置かれています：レンズ 1 は f₁ = 8 cm、レンズ 2 は f₂ = −10 cm です。物体はレンズ 1 の 40 cm 前にあります。レンズ 2 から測った最終的な像の位置 d_i2 を求めてください（レンズ 2 より先が正、実像が正の規則）。

f₁ = 8 cmf₂ = −10 cms = 30 cmd_o = 40 cm

d_i2 = cm

3溶液

1.運動学

答え: s = 66.67 m

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

単位

v₀ = 72/3.6 = 20 m/s

制動距離

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 20²/(2·3) = 66.67 m

答え

s = 66.67 m

2.運動学

答え: t = 2 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

出会う時刻

上向きを正とし、地面を y = 0 とします。

30 − ½g·t² = 15·t − ½g·t² → t = 30/15 = 2 s

答え

t = 2 s

3.ニュートンの法則

答え: a = 2.433 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 20° − 0.1·cos 20°) = 9.81·(0.342 − 0.09397) = 2.433 m/s²

答え

a = 2.433 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: a = 1.962 m/s²

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (19.62 − 0)/10 = 1.962 m/s²

答え

a = 1.962 m/s²

5.放物運動

答え: v₀ = 36.02 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

水平到達距離の式を v₀ について解く

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·85/sin 140°) = 36.02 m/s

答え

v₀ = 36.02 m/s

6.放物運動

答え: x = 89.21 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

初速度を分解する

v_x = 13 m/s, v_y = 35.71 m/s

屋上に着地するまでの時間

大きい方の解：ボールは下降中です。

14 = 35.71·t − 4.905·t²

t = (35.71 + √(35.71² − 2·9.81·14))/9.81 = 6.864 s

水平距離

x = v_x·t = 13·6.864 = 89.21 m

答え

x = 89.21 m

7.仕事とエネルギー

答え: v = 7.453 m/s

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

斜面に沿ったエネルギー収支

ブロックは高さ d·sin θ だけ下がり、摩擦が μmg·cos θ·d を奪います。質量は消えます。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·5·(0.6428 − 0.1·0.766)) = 7.453 m/s

答え

v = 7.453 m/s

8.仕事とエネルギー

答え: x = 8.859 cm

粗い区間を通過した後のエネルギー

スロープはなめらかなので、エネルギーを奪うのは粗い区間だけです。

mgh − μmgL = 4.905·(2 − 0.3·4) = 3.924 J

最大縮み

½kx² = 3.924 → x = √(2·3.924/1000) = 0.08859 m = 8.859 cm

答え

x = 8.859 cm

9.運動量と衝突

答え: v′₁ = 5 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

静止した相手との弾性衝突

運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くと、この 2 つの結果が得られます。

v′₁ = (3 − 0.5)/(3 + 0.5)·7 = 5 m/s

v′₂ = 2·3/(3 + 0.5)·7 = 12 m/s

答え

v′₁ = 5 m/s

10.運動量と衝突

答え: J = 3.9 N·s

運動量の変化

J = m·Δv = 0.1·(20 + 19) = 3.9 N·s

答え

J = 3.9 N·s

11.静水圧

答え: F = 143.5 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 2.5 + 1.5/2 = 3.25 m

A = H·b = 1.5·3 = 4.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.25·4.5 = 143.5 kN

答え

F = 143.5 kN

12.静水圧

答え: y_cp = 3.714 m

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 2 + 3/2 = 3.5 m

A = H·b = 3·1 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·3.5·3 = 105.6 kN

圧力中心

圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。

I_c = b·H³/12 = 1·3³/12 = 2.25 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3.5 + 2.25/(3.5·3) = 3.714 m

答え

y_cp = 3.714 m

13.連続の式とベルヌーイ

答え: Q = 2.653 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

理想的な噴流速度

√(2gh) = √(2·9.81·4) = 8.859 m/s

実際の流量

流量係数は、噴流の縮流と縁での摩擦を考慮したものです。

Q = C_d·A·√(2gh) = 0.61·0.0004909·8.859 = 0.002653 m³/s = 2.653 L/s

答え

Q = 2.653 L/s

14.連続の式とベルヌーイ

答え: p₂ = 272.2 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 3·(100/75)² = 5.333 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(3² − 5.333²)/1000 = −9.722 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·10/1000 = 98.1 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 380 + (−9.722) − 98.1 = 272.2 kPa

答え

p₂ = 272.2 kPa

15.理想気体の状態方程式

答え: V = 452.5 L

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = 270/4.003 = 67.45 mol

T = 90 + 273.15 = 363.1 K

体積

V = nRT/P = 67.45·8.314·363.1/450 = 452.5 L

答え

V = 452.5 L

16.理想気体の状態方程式

答え: V₂ = 12.29 L

ボイル・シャルルの法則：一定量の理想気体では P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂。

絶対温度

T₁ = 298.1 K, T₂ = 513.1 K

ボイル・シャルルの法則

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 10·(250/350)·(513.1/298.1) = 12.29 L

答え

V₂ = 12.29 L

17.熱機関と冷凍機

答え: η_II = 40.22 %

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

絶対温度

T_H = 300 + 273.15 = 573.1 K

T_L = 15 + 273.15 = 288.1 K

カルノー効率

η_Carnot = 1 − 288.1/573.1 = 49.73 %

第二法則効率

η_II = η/η_Carnot = 20/49.73 = 40.22 %

答え

η_II = 40.22 %

18.熱機関と冷凍機

答え: S_gen = 1.797 kJ/K

エントロピー生成：1 サイクル全体で作動流体の正味のエントロピー変化はありません。高温熱源は Q_H/T_H を失い、低温熱源は Q_L/T_L を得ます。その和が生成されたエントロピーで、可逆サイクルでは 0、実際のサイクルではすべて正になります。

放出熱

Q_L = Q_H − W = 2100 − 777 = 1323 kJ

絶対温度

T_H = 500 + 273.15 = 773.1 K

T_L = 20 + 273.15 = 293.1 K

熱源のエントロピー変化

ΔS_H = −2100/773.1 = −2.716 kJ/K

ΔS_L = 1323/293.1 = 4.513 kJ/K

S_gen = 4.513 − 2.716 = 1.797 kJ/K

答え

S_gen = 1.797 kJ/K

S_gen > 0 なので、この機関は実現可能ですが不可逆です。

19.波・音・光学

答え: m = 3.571

幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/d_o + 1/d_i に従い、倍率は m = −d_i/d_o です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。d_i > 0 は実像、d_i < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。

薄いレンズの式

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/25 − 1/18

d_i = −64.29 cm

倍率

m = −d_i/d_o = −(−64.29)/18 = 3.571

答え

m = 3.571

20.波・音・光学

答え: d_i2 = −6.667 cm

レンズ 1 による像

1/d_i1 = 1/8 − 1/40 → d_i1 = 10 cm

レンズ 2 の物体

d_o2 = 30 − 10 = 20 cm

最終的な像

1/d_i2 = 1/(−10) − 1/20 → d_i2 = −6.667 cm

答え

d_i2 = −6.667 cm

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