基礎物理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式: A₁v₁ = A₂v₂
ベルヌーイの定理: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
円の面積: A = πd²/4

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式: pV = nRT
気体定数: R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物質量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

熱機関と冷凍機

効率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
カルノー効率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
冷凍機の COP: COP_R = Q_C/W
ヒートポンプの COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
エネルギー収支: Q_H = W + Q_C

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

50 km/h で走っている車が、一定の減速度 3 m/s² でブレーキをかけて停止する。ブレーキをかけてから停止するまでの時間 t を求めよ。

v₀ = 50 km/ha = −3 m/s²v = 0

t = s

2.運動学むずかしい

球 A を高さ 15 m から静かに落とす。同時に、その真下の地面から球 B を 12 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。 2 つの球は地面からどれだけの高さ y で出会うか。

H = 15 mv_0B = 12 m/sg = 9.81 m/s²

y = m

3.ニュートンの法則ふつう

質量 13 kg のブロックが、水平と 25° をなす斜面をすべり下りる。動摩擦係数は 0.25 である。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 13 kgθ = 25°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 6 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 2 kg のおもりとつながれている。ブロックと机の間の動摩擦係数は 0.25 である。 g = 9.81 m/s² とする。全体の加速度 a を求めよ。

m₁ = 6 kgm₂ = 2 kgμ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.放物運動ふつう

水平な地面からボールを 40 m/s、水平から 50° 上向きに、96 m 先の壁に向かって蹴る。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。ボールはどの高さ y で壁を通過するか。

v₀ = 40 m/sθ = 50°x = 96 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.放物運動むずかしい

ボールを高さ 25 m の崖の上から水平から 35° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでの飛行時間 t を求めよ。

v₀ = 25 m/sθ = 35°h = 25 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.仕事とエネルギーふつう

ブロックが水平と 25° をなす斜面を静止状態からすべり下りる。動摩擦係数は 0.15 である。斜面に沿って 19 m すべった後の速さ v を求めよ。

θ = 25°μ = 0.15d = 19 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

8.仕事とエネルギーむずかしい

質量 8 kg のブロックが 15° の斜面の下端で静止しており、斜面に平行な一定の力 90 N で斜面を引き上げられる。動摩擦係数は 0.3 である。ブロックが斜面を 10 m 上がった後の速さ v を求めよ。

m = 8 kgF = 90 Nθ = 15°μ = 0.3d = 10 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.運動量と衝突ふつう

摩擦のないレール上で、9 m/s で動く質量 3.5 kg のグライダーが、静止している質量 1 kg のグライダーと完全弾性的に正面衝突する。衝突後の 2 台目のグライダーの速度 v′₂ を求めよ。

m₁ = 3.5 kgm₂ = 1 kgv₁ = 9 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

10.運動量と衝突むずかしい

質量 20 g の弾丸を、長さ 1.8 m の軽い糸でつり下げた質量 5 kg の木片に水平に撃ち込むと、弾丸は木片の中にとどまる。糸は鉛直から最大 20° まで振れる。g = 9.81 m/s² とする。衝突前の弾丸の速さ v を求めよ。

m = 20 gM = 5 kgL = 1.8 mθ = 20°g = 9.81 m/s²

v = m/s

11.静水圧ふつう

幅 3 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 4 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 4 mH = 2.5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水圧むずかしい

幅 3 m の鉛直な長方形ゲートが、油を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 0.5 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ y_cp を求めよ。

d = 0.5 mH = 2 mb = 3 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.連続の式とベルヌーイふつう

入口径 150 mm、のど部径 75 mm の水平なベンチュリ管を水が流れる。入口の圧力はのど部より 44 kPa 高い。損失を無視して、流量 Q を求めよ。

d₁ = 150 mmd₂ = 75 mmp₁ − p₂ = 44 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

14.連続の式とベルヌーイむずかしい

密閉水槽の水面上に、ゲージ圧 170 kPa の圧縮空気がある。水面より 5 m 下にある直径 40 mm の孔から、水が大気中に流出する。損失を無視して、次を求めよ噴流速度 v。 g = 9.81 m/s² とする。

p_air = 170 kPa (ゲージ圧)h = 5 md = 40 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

v = m/s

15.理想気体の状態方程式ふつう

400 kPa、35 °C において、CH₄ 40 g が占める体積 V はいくらか。理想気体として扱う。

m = 40 gM = 16.04 g/molP = 400 kPaT = 35 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想気体の状態方程式むずかしい

一定量のN₂が 150 kPa、2 L、25 °C から 150 kPa、250 °C に変化する。新しい体積 V₂ を求めよ。

P₁ = 150 kPaV₁ = 2 LT₁ = 25 °CP₂ = 150 kPaT₂ = 250 °C

V₂ = L

17.熱機関と冷凍機ふつう

熱機関が 350 °C の高温熱源と 35 °C の低温熱源の間で働く。可能な最大の熱効率 η_max を求めよ。

T_H = 350 °CT_L = 35 °C

η_max = %

18.熱機関と冷凍機むずかしい

ヒートポンプが、外気 7 °C のときに家を 22 °C に保ち、家に 10 kW の熱を供給する。必要な最小入力動力 Ẇ_min を求めよ。

T_H = 22 °CT_L = 7 °CQ̇_H = 10 kW

Ẇ_min = kW

19.波・音・光学ふつう

小さなスピーカーが、あらゆる方向に均等に 0.5 W の音のパワーを放射します。3 m の距離での音の強さのレベル β を求めてください。

P = 0.5 Wr = 3 mI₀ = 10⁻¹² W/m²

β = dB

20.波・音・光学むずかしい

波長 633 nm の光が、幅 0.1 mm の単スリットを通ります。直進方向から測った 2 番目の暗線の角度 θ₂ を求めてください。

λ = 633 nma = 0.1 mmm = 2

θ₂ = °

3溶液

1.運動学

答え: t = 4.63 s

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

単位

v₀ = 50/3.6 = 13.89 m/s

制動時間

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 13.89/3 = 4.63 s

答え

t = 4.63 s

2.運動学

答え: y = 7.336 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

出会う時刻

上向きを正とし、地面を y = 0 とします。

15 − ½g·t² = 12·t − ½g·t² → t = 15/12 = 1.25 s

出会う高さ

y = 12·1.25 − ½·9.81·1.25² = 7.336 m

答え

y = 7.336 m

3.ニュートンの法則

答え: a = 1.923 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 25° − 0.25·cos 25°) = 9.81·(0.4226 − 0.2266) = 1.923 m/s²

答え

a = 1.923 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: a = 0.6131 m/s²

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (19.62 − 14.71)/8 = 0.6131 m/s²

答え

a = 0.6131 m/s²

5.放物運動

答え: y = 46.03 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

壁までの時間

v_x = 40·cos 50° = 25.71 m/s

t = x/v_x = 96/25.71 = 3.734 s

その時刻での高さ

y = 30.64·3.734 − ½·9.81·3.734² = 46.03 m

答え

y = 46.03 m

壁の位置では、ボールはすでに下降中です。

6.放物運動

答え: t = 4.151 s

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 25·cos 35° = 20.48 m/s

v_y = v₀·sin θ = 25·sin 35° = 14.34 m/s

滞空時間

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 25 + 14.34·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (14.34 + √(205.6 + 490.5))/9.81 = 4.151 s

答え

t = 4.151 s

7.仕事とエネルギー

答え: v = 10.34 m/s

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

斜面に沿ったエネルギー収支

ブロックは高さ d·sin θ だけ下がり、摩擦が μmg·cos θ·d を奪います。質量は消えます。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·19·(0.4226 − 0.15·0.9063)) = 10.34 m/s

答え

v = 10.34 m/s

8.仕事とエネルギー

答え: v = 10.83 m/s

斜面に沿った力

m·g = 8·9.81 = 78.48 N

mg·sin θ = 20.31 N

μ·mg·cos θ = 22.74 N

仕事とエネルギー

½mv² = (90 − 43.05)·10 = 469.5 J

v = √(2·469.5/8) = 10.83 m/s

答え

v = 10.83 m/s

9.運動量と衝突

答え: v′₂ = 14 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

静止した相手との弾性衝突

運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くと、この 2 つの結果が得られます。

v′₁ = (3.5 − 1)/(3.5 + 1)·9 = 5 m/s

v′₂ = 2·3.5/(3.5 + 1)·9 = 14 m/s

答え

v′₂ = 14 m/s

10.運動量と衝突

答え: v = 366.3 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

木片の上昇

h = L·(1 − cos θ) = 1.8·(1 − cos 20°) = 0.1086 m

衝突後の速さ

V = √(2·9.81·0.1086) = 1.459 m/s

衝突

v = (m + M)·V/m = 5.02·1.459/0.02 = 366.3 m/s

答え

v = 366.3 m/s

11.静水圧

答え: F = 386.3 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 4 + 2.5/2 = 5.25 m

A = H·b = 2.5·3 = 7.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·5.25·7.5 = 386.3 kN

答え

F = 386.3 kN

12.静水圧

答え: y_cp = 1.722 m

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 0.5 + 2/2 = 1.5 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 880·9.81·1.5·6 = 77.7 kN

圧力中心

圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。

I_c = b·H³/12 = 3·2³/12 = 2 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 1.5 + 2/(1.5·6) = 1.722 m

答え

y_cp = 1.722 m

13.連続の式とベルヌーイ

答え: Q = 42.8 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

連続の式

v₁ = v₂·(75/150)² = 0.25·v₂

入口とのど部の間のベルヌーイの式

管は水平なので、変化するのは圧力と流速だけです。

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·44000/(1000·(1 − 0.0625))) = 9.688 m/s

v₁ = 2.422 m/s

流量

Q = A₂·v₂ = 0.004418·9.688 = 0.0428 m³/s = 42.8 L/s

答え

Q = 42.8 L/s

14.連続の式とベルヌーイ

答え: v = 20.93 m/s

水面から噴流へのベルヌーイの式

v = √(2·(170000/1000 + 9.81·5)) = 20.93 m/s

答え

v = 20.93 m/s

15.理想気体の状態方程式

答え: V = 15.97 L

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = 40/16.04 = 2.494 mol

T = 35 + 273.15 = 308.1 K

体積

V = nRT/P = 2.494·8.314·308.1/400 = 15.97 L

答え

V = 15.97 L

16.理想気体の状態方程式

答え: V₂ = 3.509 L

ボイル・シャルルの法則：一定量の理想気体では P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂。

絶対温度

T₁ = 298.1 K, T₂ = 523.1 K

ボイル・シャルルの法則

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 2·(150/150)·(523.1/298.1) = 3.509 L

答え

V₂ = 3.509 L

17.熱機関と冷凍機

答え: η_max = 50.55 %

第 2 法則による限界：絶対温度 T_H と T_L の熱源の間で働くどんなサイクルも、可逆（カルノー）サイクルを上回れません：η_max = 1 − T_L/T_H、COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)、COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。エネルギーは常に保存されます：Q_H = W + Q_L。

絶対温度

T_H = 350 + 273.15 = 623.1 K

T_L = 35 + 273.15 = 308.1 K

カルノー効率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 308.1/623.1 = 50.55 %

答え

η_max = 50.55 %

18.熱機関と冷凍機

答え: Ẇ_min = 0.5082 kW

絶対温度

T_H = 22 + 273.15 = 295.1 K

T_L = 7 + 273.15 = 280.1 K

可能な最良の COP

COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L) = 295.1/(295.1 − 280.1) = 19.68

最小動力

必要な仕事が最も少ないのは、COP が最大の可逆機械です。

Ẇ_min = Q̇_H/COP = 10/19.68 = 0.5082 kW

答え

Ẇ_min = 0.5082 kW

19.波・音・光学

答え: β = 96.46 dB

波：周期的な波は 1 周期で 1 波長だけ進むので、v = fλ、T = 1/f です。張られた弦では v = √(T/μ) で、T は張力、μ = m/L は 1 メートルあたりの質量です。空気中の音は 20 °C でおよそ 343 m/s、真空中の光は c = 3.00 × 10⁸ m/s で進みます。音の大きさは対数目盛りで測ります：β = 10·log₁₀(I/I₀) dB、I₀ = 10⁻¹² W/m² で、強さが 10 倍になると 10 dB 増えます。点音源はパワー P を球面に広げます：I = P/(4πr²)。

強さ

I = P/(4πr²) = 0.004421 W/m²

レベル

β = 10·log₁₀(0.004421/10⁻¹²) = 96.46 dB

答え

β = 96.46 dB

20.波・音・光学

答え: θ₂ = 0.7254 °

干渉と回折：距離 d だけ離れた 2 本のスリットを通った光は、スクリーン上の点に行路差 d·sin θ で届きます。明線は d·sin θ = mλ（m = 0, ±1, ±2, …）の位置に現れます。スクリーンまでの距離が L ≫ d のとき、m 番目の明線は y = mλL/d の位置にあり、縞の間隔は Δy = λL/d です。1 ミリメートルあたり N 本の線をもつ回折格子では d = 1/N で、鋭い極大が d·sin θ = mλ の位置に現れます。sin θ ≤ 1 なので、最高次数は m ≤ d/λ を満たす最大の整数 m です。幅 a の単スリットでは、a·sin θ = mλ（m = ±1, ±2, …）の位置に暗線ができます。

暗線の条件

sin θ = mλ/a = 0.01266

θ = 0.7254°

答え

θ₂ = 0.7254°

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