基礎物理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式: A₁v₁ = A₂v₂
ベルヌーイの定理: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
円の面積: A = πd²/4

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式: pV = nRT
気体定数: R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物質量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

熱機関と冷凍機

効率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
カルノー効率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
冷凍機の COP: COP_R = Q_C/W
ヒートポンプの COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
エネルギー収支: Q_H = W + Q_C

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

一定の 31 m/s でスピード違反をしている車が、停車中のパトカーの横を通過する。その瞬間、パトカーが発進し、6 m/s² で一様に加速する。パトカーが追いつくまでの時間はどれだけか。t を求めよ。

v_car = 31 m/sa_police = 6 m/s²v_0,police = 0

t = s

2.運動学むずかしい

地面から高さ 15 m の屋上の端から、ボールを 11 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗は無視し、g = 9.81 m/s² とする。投げてから地面に落ちるまでの時間 t を求めよ。

v₀ = 11 m/sh₀ = 15 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.ニュートンの法則ふつう

質量 4 kg のブロックが、水平と 45° をなす斜面をすべり下りる。動摩擦係数は 0.2 である。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 4 kgθ = 45°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

30° の斜面上にある質量 1.5 kg のブロックが、斜面の上端にある摩擦のない滑車を通る軽い糸で、つり下げられた質量 7.5 kg のおもりにつながれている。つり下げられたおもりは下向きに動く。ブロックと斜面の間の動摩擦係数は 0.1 である。 g = 9.81 m/s² とする。全体の加速度 a を求めよ。

m₁ = 1.5 kgm₂ = 7.5 kgθ = 30°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.放物運動ふつう

水平な地面からボールを水平から 35° 上向きに打ち出すと、145 m 先に着地する。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。打ち出した速さ v₀ を求めよ。

θ = 35°R = 145 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.放物運動むずかしい

高さ 15 m のがけの上から、ボールを 16 m/s、水平から 55° 上向きに打ち出す。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。ボールは水平から下向きにどの角度 α で地面に当たるか。

v₀ = 16 m/sθ = 55°h = 15 mg = 9.81 m/s²

α = °

7.仕事とエネルギーふつう

水平な道路を 100 km/h で走る自動車が急ブレーキをかけ、車輪がロックしたまますべって停止する。タイヤと路面の間の動摩擦係数は 0.8 である。停止距離 d を求めよ。

v = 100 km/hμ = 0.8g = 9.81 m/s²

d = m

8.仕事とエネルギーむずかしい

質量 10 kg のブロックがあらい水平な机の上にある（μ = 0.2）。軽い糸がそこから机の端のなめらかな滑車を通って、つり下げられた質量 6 kg のブロックにつながっている。系を静かに放す。つり下げられたブロックが 3 m 下がった後のブロックの速さ v を求めよ。

m₁ = 10 kgm₂ = 6 kgμ = 0.2d = 3 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.運動量と衝突ふつう

摩擦のないレール上で、8 m/s で動く質量 4 kg のグライダーが、静止している質量 1.5 kg のグライダーと完全弾性的に正面衝突する。衝突後の 1 台目のグライダーの速度 v′₁ を求めよ（元の進行方向を正とする）。

m₁ = 4 kgm₂ = 1.5 kgv₁ = 8 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

10.運動量と衝突むずかしい

質量 0.25 kg のボールが 15 m/s で壁に当たり、16 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 20 ms である。壁がボールに与える力積の大きさ J を求めよ。

m = 0.25 kgv_in = 15 m/sv_out = 16 m/sΔt = 20 ms

J = N·s

11.静水圧ふつう

幅 1 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 2 mH = 3 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水圧むずかしい

幅 1 m の鉛直な長方形ゲートが、油を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 1 mH = 1 mb = 1 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.連続の式とベルヌーイふつう

水が、100 mm から 40 mm に細くなる水平管を流れる。太い部分の圧力は 340 kPa、流速は 1.75 m/s である。損失を無視して、細い部分の圧力 p₂ を求めよ。

d₁ = 100 mmd₂ = 40 mmp₁ = 340 kPav₁ = 1.75 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.連続の式とベルヌーイむずかしい

内径 50 mm のホースで開放水槽から水をサイホンで吸い出す。ホースの最高点 C は水面より 3 m 上にあり、出口（大気に開放）は水面より 1.5 m 下にある。損失を無視し、g = 9.81 m/s² とする。点 C での絶対圧力 p_C を求めよ。大気圧は 101.3 kPa である。

d = 50 mmz_C = +3 mz₂ = −1.5 mg = 9.81 m/s²p_atm = 101.3 kPa

p_C = kPa

15.理想気体の状態方程式ふつう

容積 50 L のタンクに、温度 15 °C のN₂が 260 g 入っている。理想気体として圧力 P を求めよ。

m = 260 gM = 28.01 g/molV = 50 LT = 15 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.理想気体の状態方程式むずかしい

一定量のCH₄が 250 kPa、20 L、20 °C から 600 kPa、130 °C に変化する。新しい体積 V₂ を求めよ。

P₁ = 250 kPaV₁ = 20 LT₁ = 20 °CP₂ = 600 kPaT₂ = 130 °C

V₂ = L

17.熱機関と冷凍機ふつう

可逆冷凍機が 2 kW の熱を取り除いて冷蔵室を -10 °C に保ち、35 °C の周囲へ熱を放出する。放出する熱量 Q̇_H を求めよ。

T_L = -10 °CT_H = 35 °CQ̇_L = 2 kW

Q̇_H = kW

18.熱機関と冷凍機むずかしい

カルノー熱機関が 850 °C の熱源から 80 kW の熱を受け取り、25 °C の周囲へ熱を放出する。その仕事はすべてカルノー冷凍機を駆動し、冷凍機は -5 °C の冷凍庫から熱を取り除いて、同じく 25 °C の周囲へ熱を放出する。冷凍庫から熱を取り除く割合 Q̇_L を求めよ。

T_H = 850 °CT₀ = 25 °CT_L = -5 °CQ̇_H = 80 kW

Q̇_L = kW

19.波・音・光学ふつう

透明なブロックの内部の光は、45° を超えるすべての入射角で、エタノール（n = 1.36）との境界で全反射します。ブロックの屈折率 n₁ を求めてください。

θ_c = 45°n₂ = 1.36

n₁ =

20.波・音・光学むずかしい

光ファイバーのコアは n₁ = 1.5、クラッドは n₂ = 1.4 です。空気中からファイバーの端に入った光が、全反射によってなお導かれる、ファイバーの軸に対する最大の角度 θ_a を求めてください。

n₁ = 1.5n₂ = 1.4n₀ = 1.00

θ_a = °

3溶液

1.運動学

答え: t = 10.33 s

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

等しい距離

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·31/6 = 10.33 s

答え

t = 10.33 s

その瞬間、パトカーは 2v = 62 m/s で走っています。

2.運動学

答え: t = 3.199 s

運動の式

上向きを正とし、地面は出発点の h₀ 下にあります。

−15 = 11·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 11·t − 15 = 0

2 次方程式を解く

物理的に意味があるのは正の解だけです。

t = (11 + √(11² + 2·9.81·15))/9.81 = 3.199 s

答え

t = 3.199 s

3.ニュートンの法則

答え: a = 5.549 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 45° − 0.2·cos 45°) = 9.81·(0.7071 − 0.1414) = 5.549 m/s²

答え

a = 5.549 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: a = 7.216 m/s²

糸に沿った力

m₂·g = 73.58 N

m₁·g·sin θ = 7.357 N

μ·m₁·g·cos θ = 1.274 N

系の加速度

a = (73.58 − 7.357 − 1.274)/9 = 7.216 m/s²

答え

a = 7.216 m/s²

5.放物運動

答え: v₀ = 38.91 m/s

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

水平到達距離の式を v₀ について解く

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·145/sin 70°) = 38.91 m/s

答え

v₀ = 38.91 m/s

6.放物運動

答え: α = 66.97 °

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

v_x = 16·cos 55° = 9.177 m/s

v_y0 = 16·sin 55° = 13.11 m/s

衝突時の鉛直方向の速さ

エネルギー、または鉛直方向の v² = v₀² + 2as。

v_y = √(13.11² + 2·9.81·15) = 21.59 m/s

衝突角

tan α = v_y/v_x = 21.59/9.177 → α = 66.97°

答え

α = 66.97°

7.仕事とエネルギー

答え: d = 49.16 m

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

基本単位での速さ

v = 100/3.6 = 27.78 m/s

エネルギー収支

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 27.78²/(2·0.8·9.81) = 49.16 m

答え

d = 49.16 m

速さを 2 倍にすると、停止距離は 4 倍になります。

8.仕事とエネルギー

答え: v = 3.836 m/s

放出されるエネルギーと失われるエネルギー

m₂g·d = 58.86·3 = 176.6 J

μ·m₁g·d = 0.2·98.1·3 = 58.86 J

両方のブロックの運動エネルギー

½(m₁ + m₂)v² = 117.7 → v = √(2·117.7/16) = 3.836 m/s

答え

v = 3.836 m/s

9.運動量と衝突

答え: v′₁ = 3.636 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

静止した相手との弾性衝突

運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くと、この 2 つの結果が得られます。

v′₁ = (4 − 1.5)/(4 + 1.5)·8 = 3.636 m/s

v′₂ = 2·4/(4 + 1.5)·8 = 11.64 m/s

答え

v′₁ = 3.636 m/s

10.運動量と衝突

答え: J = 7.75 N·s

運動量の変化

J = m·Δv = 0.25·(16 + 15) = 7.75 N·s

答え

J = 7.75 N·s

11.静水圧

答え: F = 103 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 2 + 3/2 = 3.5 m

A = H·b = 3·1 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.5·3 = 103 kN

答え

F = 103 kN

12.静水圧

答え: F = 12.95 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 1 + 1/2 = 1.5 m

A = H·b = 1·1 = 1 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 880·9.81·1.5·1 = 12.95 kN

答え

F = 12.95 kN

13.連続の式とベルヌーイ

答え: p₂ = 281.7 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1.75·(100/40)² = 10.94 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1.75² − 10.94²)/1000 = −58.28 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 340 + (−58.28) = 281.7 kPa

答え

p₂ = 281.7 kPa

14.連続の式とベルヌーイ

答え: p_C = 57.15 kPa

ホース内の流速

水面と出口はどちらも大気に開放されているので、圧力の項は打ち消し合います。

v = √(2g·1.5) = √(2·9.81·1.5) = 5.425 m/s

水面から C へのベルヌーイの式

p_atm = p_C + ½ρv² + ρgz_C

p_C = 101.3 − 1000·(5.425²/2 + 9.81·3)/1000 = 101.3 − 44.15 = 57.15 kPa

答え

p_C = 57.15 kPa

この圧力が水の蒸気圧まで下がると、サイホンは働かなくなります。

15.理想気体の状態方程式

答え: P = 444.8 kPa

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = m/M = 260/28.01 = 9.282 mol

T = 15 + 273.15 = 288.1 K

圧力

P = nRT/V = 9.282·8.314·288.1/0.05 = 444.8 kPa

答え

P = 444.8 kPa

16.理想気体の状態方程式

答え: V₂ = 11.46 L

ボイル・シャルルの法則：一定量の理想気体では P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂。

絶対温度

T₁ = 293.1 K, T₂ = 403.1 K

ボイル・シャルルの法則

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 20·(250/600)·(403.1/293.1) = 11.46 L

答え

V₂ = 11.46 L

17.熱機関と冷凍機

答え: Q̇_H = 2.342 kW

第 2 法則による限界：絶対温度 T_H と T_L の熱源の間で働くどんなサイクルも、可逆（カルノー）サイクルを上回れません：η_max = 1 − T_L/T_H、COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)、COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。エネルギーは常に保存されます：Q_H = W + Q_L。

絶対温度

T_H = 35 + 273.15 = 308.1 K

T_L = -10 + 273.15 = 263.1 K

可逆サイクルの熱量比

Q̇_H = Q̇_L·T_H/T_L = 2·308.1/263.1 = 2.342 kW

答え

Q̇_H = 2.342 kW

入力動力：Ẇ = 0.342 kW。

18.熱機関と冷凍機

答え: Q̇_L = 525.2 kW

絶対温度

T_H = 850 + 273.15 = 1123 K

T₀ = 25 + 273.15 = 298.1 K

T_L = -5 + 273.15 = 268.1 K

機関の仕事

η = 1 − 298.1/1123 = 0.7345

Ẇ = 0.7345·80 = 58.76 kW

冷凍機が取り除く熱

COP_R = 268.1/(298.1 − 268.1) = 8.938

Q̇_L = 8.938·58.76 = 525.2 kW

答え

Q̇_L = 525.2 kW

19.波・音・光学

答え: n₁ = 1.923

幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/d_o + 1/d_i に従い、倍率は m = −d_i/d_o です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。d_i > 0 は実像、d_i < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。

ブロックの屈折率

n₁ = n₂/sin θc = 1.36/0.7071 = 1.923

答え

n₁ = 1.923

20.波・音・光学

答え: θ_a = 32.58 °

クラッドでの臨界角

sin θc = 1.4/1.5 = 0.9333 → θc = 68.96°

開口数

NA = √(1.5² − 1.4²) = 0.5385

受光角

θ_a = arcsin(0.5385) = 32.58°

答え

θ_a = 32.58°

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