基礎物理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式: A₁v₁ = A₂v₂
ベルヌーイの定理: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
円の面積: A = πd²/4

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式: pV = nRT
気体定数: R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物質量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

熱機関と冷凍機

効率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
カルノー効率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
冷凍機の COP: COP_R = Q_C/W
ヒートポンプの COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
エネルギー収支: Q_H = W + Q_C

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

100 km/h で走っている運転者が障害物を見つける。反応時間は 0.9 s で、その後、自動車は一定の減速度 7.5 m/s² でブレーキをかける。障害物を見た瞬間からの全停止距離 d を求めよ。

v₀ = 100 km/ht_r = 0.9 sa = −7.5 m/s²

d = m

2.運動学むずかしい

路面電車が静止状態から 2.5 m/s² で 11 s 加速し、次に 8 s 等速で走り、最後に 2.5 m/s² でブレーキをかけて停止する。全所要時間 t を求めよ。

a₁ = 2.5 m/s²t₁ = 11 st₂ = 8 sa₃ = −2.5 m/s²

t = s

3.ニュートンの法則ふつう

質量 13 kg のブロックが、水平と 40° をなす斜面をすべり下りる。動摩擦係数は 0.1 である。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 13 kgθ = 40°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 8 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 2.5 kg のおもりとつながれている。机の面はなめらかである。 g = 9.81 m/s² とする。糸の張力 T を求めよ。

m₁ = 8 kgm₂ = 2.5 kgμ = 0g = 9.81 m/s²

T = N

5.放物運動ふつう

ボールを平らな地面から水平から 50° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが達する最高高さ H を求めよ。

v₀ = 26 m/sθ = 50°g = 9.81 m/s²

H = m

6.放物運動むずかしい

ボールを高さ 45 m の崖の上から水平から 40° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでの飛行時間 t を求めよ。

v₀ = 35 m/sθ = 40°h = 45 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.仕事とエネルギーふつう

ブロックが水平と 35° をなす斜面を静止状態からすべり下りる。動摩擦係数は 0.35 である。斜面に沿って 19 m すべった後の速さ v を求めよ。

θ = 35°μ = 0.35d = 19 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

8.仕事とエネルギーむずかしい

質量 2.5 kg のブロックを、なめらかなスロープ上の高さ 5 m から静かに放す。下で長さ 3.5 m の粗い水平区間（μ = 0.15）を通り、その後なめらかな面でばね（k = 2500 N/m）に当たる。ブロックがばねに達したときの速さ v を求めよ。

m = 2.5 kgh = 5 mL = 3.5 mμ = 0.15k = 2500 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.運動量と衝突ふつう

質量 10 g の弾丸を、軽い糸でつり下げた質量 1 kg の木片に水平に撃ち込むと、弾丸は木片の中にとどまる。木片は初めより 8 cm 高い位置まで振れ上がる。g = 9.81 m/s² とする。衝突前の弾丸の速さ v を求めよ。

m = 10 gM = 1 kgh = 8 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.運動量と衝突むずかしい

質量 12 g の弾丸を、長さ 1 m の軽い糸でつり下げた質量 3.5 kg の木片に水平に撃ち込むと、弾丸は木片の中にとどまる。糸は鉛直から最大 40° まで振れる。g = 9.81 m/s² とする。衝突前の弾丸の速さ v を求めよ。

m = 12 gM = 3.5 kgL = 1 mθ = 40°g = 9.81 m/s²

v = m/s

11.静水圧ふつう

幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 2.5 mH = 1.5 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水圧むずかしい

幅 1 m の鉛直な長方形ゲートが、海水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2.5 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ y_cp を求めよ。

d = 2.5 mH = 1.5 mb = 1 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.連続の式とベルヌーイふつう

水が、150 mm から 75 mm に細くなる水平管を流れる。太い部分の圧力は 310 kPa、流速は 1.25 m/s である。損失を無視して、細い部分の圧力 p₂ を求めよ。

d₁ = 150 mmd₂ = 75 mmp₁ = 310 kPav₁ = 1.25 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.連続の式とベルヌーイむずかしい

内径 40 mm のホースで開放水槽から水をサイホンで吸い出す。ホースの最高点 C は水面より 1 m 上にあり、出口（大気に開放）は水面より 4 m 下にある。損失を無視し、g = 9.81 m/s² とする。点 C での絶対圧力 p_C を求めよ。大気圧は 101.3 kPa である。

d = 40 mmz_C = +1 mz₂ = −4 mg = 9.81 m/s²p_atm = 101.3 kPa

p_C = kPa

15.理想気体の状態方程式ふつう

700 kPa、10 °C において、CH₄ 160 g が占める体積 V はいくらか。理想気体として扱う。

m = 160 gM = 16.04 g/molP = 700 kPaT = 10 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想気体の状態方程式むずかしい

450 kPa、200 °C におけるArの密度 ρ を、理想気体として求めよ。

M = 39.95 g/molP = 450 kPaT = 200 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.熱機関と冷凍機ふつう

可逆（カルノー）熱機関が 1 サイクルあたり 800 °C の熱源から 1500 kJ の熱を受け取り、396 kJ を放出する。低温熱源の温度 T_L を °C で求めよ。

T_H = 800 °CQ_H = 1500 kJQ_L = 396 kJ

T_L = °C

18.熱機関と冷凍機むずかしい

カルノー熱機関が 850 °C の熱源から 200 kW の熱を受け取り、27 °C の周囲へ熱を放出する。その仕事はすべてカルノー冷凍機を駆動し、冷凍機は -15 °C の冷凍庫から熱を取り除いて、同じく 27 °C の周囲へ熱を放出する。冷凍庫から熱を取り除く割合 Q̇_L を求めよ。

T_H = 850 °CT₀ = 27 °CT_L = -15 °CQ̇_H = 200 kW

Q̇_L = kW

19.波・音・光学ふつう

光がフリントガラス（n = 1.62）の中を、空気（n = 1.00）との平らな境界に向かって進みます。それを超えると全反射する臨界角 θ_c を求めてください。

n₁ = 1.62n₂ = 1.00

θ_c = °

20.波・音・光学むずかしい

波長 550 nm の光が、0.3 mm 離れた 2 本のスリットに当たります。スクリーンは 3 m 先にあります。隣り合う明線の間隔 Δy を求めてください。

λ = 550 nmd = 0.3 mmL = 3 m

Δy = mm

3溶液

1.運動学

答え: d = 76.44 m

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

単位

v₀ = 100/3.6 = 27.78 m/s

空走距離

d₁ = v₀·t_r = 27.78·0.9 = 25 m

制動距離

d₂ = v₀²/(2a) = 27.78²/(2·7.5) = 51.44 m

合計

d = 25 + 51.44 = 76.44 m

答え

d = 76.44 m

2.運動学

答え: t = 30 s

最高速度

v = a₁·t₁ = 2.5·11 = 27.5 m/s

制動時間

t₃ = v/a₃ = 27.5/2.5 = 11 s

合計時間

t = 11 + 8 + 11 = 30 s

答え

t = 30 s

3.ニュートンの法則

答え: a = 5.554 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 40° − 0.1·cos 40°) = 9.81·(0.6428 − 0.0766) = 5.554 m/s²

答え

a = 5.554 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: T = 18.69 N

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (24.53 − 0)/10.5 = 2.336 m/s²

机の上のブロックから求める張力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 8·2.336 + 0 = 18.69 N

答え

T = 18.69 N

5.放物運動

答え: H = 20.22 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 26·cos 50° = 16.71 m/s

v_y = v₀·sin θ = 26·sin 50° = 19.92 m/s

最高点

最高点では鉛直速度が 0：v_y² = 2gH。

H = v_y²/(2g) = 19.92²/(2·9.81) = 20.22 m

答え

H = 20.22 m

6.放物運動

答え: t = 6.092 s

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 35·cos 40° = 26.81 m/s

v_y = v₀·sin θ = 35·sin 40° = 22.5 m/s

滞空時間

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 45 + 22.5·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (22.5 + √(506.1 + 882.9))/9.81 = 6.092 s

答え

t = 6.092 s

7.仕事とエネルギー

答え: v = 10.34 m/s

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

斜面に沿ったエネルギー収支

ブロックは高さ d·sin θ だけ下がり、摩擦が μmg·cos θ·d を奪います。質量は消えます。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·19·(0.5736 − 0.35·0.8192)) = 10.34 m/s

答え

v = 10.34 m/s

8.仕事とエネルギー

答え: v = 9.37 m/s

粗い区間を通過した後のエネルギー

スロープはなめらかなので、エネルギーを奪うのは粗い区間だけです。

mgh − μmgL = 24.53·(5 − 0.15·3.5) = 109.7 J

ばねに達したときの速さ

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·4.475) = 9.37 m/s

答え

v = 9.37 m/s

9.運動量と衝突

答え: v = 126.5 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

衝突後の振れ上がり

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.08) = 1.253 m/s

衝突

m·v = (m + M)·V → v = (0.01 + 1)·1.253/0.01 = 126.5 m/s

答え

v = 126.5 m/s

10.運動量と衝突

答え: v = 627 m/s

木片の上昇

h = L·(1 − cos θ) = 1·(1 − cos 40°) = 0.234 m

衝突後の速さ

V = √(2·9.81·0.234) = 2.142 m/s

衝突

v = (m + M)·V/m = 3.512·2.142/0.012 = 627 m/s

答え

v = 627 m/s

11.静水圧

答え: F = 71.74 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 2.5 + 1.5/2 = 3.25 m

A = H·b = 1.5·1.5 = 2.25 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.25·2.25 = 71.74 kN

答え

F = 71.74 kN

12.静水圧

答え: y_cp = 3.308 m

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 2.5 + 1.5/2 = 3.25 m

A = H·b = 1.5·1 = 1.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·3.25·1.5 = 49.02 kN

圧力中心

圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。

I_c = b·H³/12 = 1·1.5³/12 = 0.2813 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3.25 + 0.2813/(3.25·1.5) = 3.308 m

答え

y_cp = 3.308 m

13.連続の式とベルヌーイ

答え: p₂ = 298.3 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1.25·(150/75)² = 5 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1.25² − 5²)/1000 = −11.72 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 310 + (−11.72) = 298.3 kPa

答え

p₂ = 298.3 kPa

14.連続の式とベルヌーイ

答え: p_C = 52.25 kPa

ホース内の流速

水面と出口はどちらも大気に開放されているので、圧力の項は打ち消し合います。

v = √(2g·4) = √(2·9.81·4) = 8.859 m/s

水面から C へのベルヌーイの式

p_atm = p_C + ½ρv² + ρgz_C

p_C = 101.3 − 1000·(8.859²/2 + 9.81·1)/1000 = 101.3 − 49.05 = 52.25 kPa

答え

p_C = 52.25 kPa

この圧力が水の蒸気圧まで下がると、サイホンは働かなくなります。

15.理想気体の状態方程式

答え: V = 33.55 L

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = 160/16.04 = 9.975 mol

T = 10 + 273.15 = 283.1 K

体積

V = nRT/P = 9.975·8.314·283.1/700 = 33.55 L

答え

V = 33.55 L

16.理想気体の状態方程式

答え: ρ = 4.57 kg/m³

理想気体の密度：ρ = PM/(RT)。

状態方程式を変形する

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 200 + 273.15 = 473.1 K

密度

ρ = 450·39.95/(8.314·473.1) = 4.57 kg/m³

答え

ρ = 4.57 kg/m³

17.熱機関と冷凍機

答え: T_L = 10.16 °C

第 2 法則による限界：絶対温度 T_H と T_L の熱源の間で働くどんなサイクルも、可逆（カルノー）サイクルを上回れません：η_max = 1 − T_L/T_H、COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)、COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。エネルギーは常に保存されます：Q_H = W + Q_L。

熱源の絶対温度

T_H = 800 + 273.15 = 1073 K

可逆サイクルの熱量比

T_L = T_H·Q_L/Q_H = 1073·396/1500 = 283.3 K = 10.16 °C

答え

T_L = 10.16 °C

18.熱機関と冷凍機

答え: Q̇_L = 900.8 kW

絶対温度

T_H = 850 + 273.15 = 1123 K

T₀ = 27 + 273.15 = 300.1 K

T_L = -15 + 273.15 = 258.1 K

機関の仕事

η = 1 − 300.1/1123 = 0.7328

Ẇ = 0.7328·200 = 146.6 kW

冷凍機が取り除く熱

COP_R = 258.1/(300.1 − 258.1) = 6.146

Q̇_L = 6.146·146.6 = 900.8 kW

答え

Q̇_L = 900.8 kW

19.波・音・光学

答え: θ_c = 38.12 °

幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/d_o + 1/d_i に従い、倍率は m = −d_i/d_o です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。d_i > 0 は実像、d_i < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。

90° の屈折

sin θc = n₂/n₁ = 1.00/1.62 = 0.6173

臨界角

θc = arcsin(0.6173) = 38.12°

答え

θ_c = 38.12°

20.波・音・光学

答え: Δy = 5.5 mm

干渉と回折：距離 d だけ離れた 2 本のスリットを通った光は、スクリーン上の点に行路差 d·sin θ で届きます。明線は d·sin θ = mλ（m = 0, ±1, ±2, …）の位置に現れます。スクリーンまでの距離が L ≫ d のとき、m 番目の明線は y = mλL/d の位置にあり、縞の間隔は Δy = λL/d です。1 ミリメートルあたり N 本の線をもつ回折格子では d = 1/N で、鋭い極大が d·sin θ = mλ の位置に現れます。sin θ ≤ 1 なので、最高次数は m ≤ d/λ を満たす最大の整数 m です。幅 a の単スリットでは、a·sin θ = mλ（m = ±1, ±2, …）の位置に暗線ができます。

縞の間隔

Δy = λL/d = 550 × 10⁻⁹·3/(0.3 × 10⁻³) = 5.5 mm

答え

Δy = 5.5 mm

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