基礎物理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式: A₁v₁ = A₂v₂
ベルヌーイの定理: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
円の面積: A = πd²/4

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式: pV = nRT
気体定数: R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物質量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

熱機関と冷凍機

効率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
カルノー効率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
冷凍機の COP: COP_R = Q_C/W
ヒートポンプの COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
エネルギー収支: Q_H = W + Q_C

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

100 km/h で走っている車が、一定の減速度 6.5 m/s² でブレーキをかけて停止する。制動距離 s を求めよ。

v₀ = 100 km/ha = −6.5 m/s²v = 0

s = m

2.運動学むずかしい

地面から高さ 5 m の屋上の端から、ボールを 12 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗は無視し、g = 9.81 m/s² とする。投げてから地面に落ちるまでの時間 t を求めよ。

v₀ = 12 m/sh₀ = 5 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.ニュートンの法則ふつう

質量 10 kg のそりを、水平から 20° 上向きのロープで、70 N の力で水平な雪の上を引く。動摩擦係数は 0.25 である。g = 9.81 m/s² とする。そりの加速度 a を求めよ。

m = 10 kgF = 70 Nθ = 20°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 2.5 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 5 kg のおもりとつながれている。ブロックと机の間の動摩擦係数は 0.2 である。 g = 9.81 m/s² とする。全体の加速度 a を求めよ。

m₁ = 2.5 kgm₂ = 5 kgμ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.放物運動ふつう

ボールを平らな地面から水平から 35° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでに進む水平距離 x を求めよ。

v₀ = 36 m/sθ = 35°g = 9.81 m/s²

x = m

6.放物運動むずかしい

ボールを高さ 60 m の崖の上から水平から 20° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでの飛行時間 t を求めよ。

v₀ = 23 m/sθ = 20°h = 60 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.仕事とエネルギーふつう

質量 1500 kg の自動車が 8° の坂を一定の 90 km/h で上る。空気抵抗と転がり抵抗の合計は 550 N である。車輪が出さなければならない動力 P を kW で求めよ。

m = 1500 kgθ = 8°F_r = 550 Nv = 90 km/hg = 9.81 m/s²

P = kW

8.仕事とエネルギーむずかしい

質量 5 kg のブロックがあらい水平な机の上にある（μ = 0.15）。軽い糸がそこから机の端のなめらかな滑車を通って、つり下げられた質量 3 kg のブロックにつながっている。系を静かに放す。つり下げられたブロックが 2.5 m 下がった後のブロックの速さ v を求めよ。

m₁ = 5 kgm₂ = 3 kgμ = 0.15d = 2.5 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.運動量と衝突ふつう

摩擦のないレール上で、6 m/s で動く質量 4 kg のグライダーが、静止している質量 1 kg のグライダーと完全弾性的に正面衝突する。衝突後の 2 台目のグライダーの速度 v′₂ を求めよ。

m₁ = 4 kgm₂ = 1 kgv₁ = 6 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

10.運動量と衝突むずかしい

質量 0.3 kg のボールが 25 m/s で壁に当たり、14 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 50 ms である。壁がボールに与える力積の大きさ J を求めよ。

m = 0.3 kgv_in = 25 m/sv_out = 14 m/sΔt = 50 ms

J = N·s

11.静水圧ふつう

幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 2.5 mH = 1 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水圧むずかしい

幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、グリセリンを入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 1 mH = 3 mb = 1.5 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.連続の式とベルヌーイふつう

水が 11 L/s で、100 mm から 75 mm に細くなる水平管を流れる。細い部分の圧力は 70 kPa である。損失を無視して、太い部分の圧力 p₁ を求めよ。

Q = 11 L/sd₁ = 100 mmd₂ = 75 mmp₂ = 70 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

14.連続の式とベルヌーイむずかしい

水が、75 mm から 40 mm に細くなりながら 2 m 上昇する管を上向きに流れる。断面 1 での圧力は 330 kPa、流速は 2.5 m/s である。損失を無視して、断面 2 での圧力 p₂ を求めよ。

d₁ = 75 mmd₂ = 40 mmp₁ = 330 kPav₁ = 2.5 m/sΔz = 2 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.理想気体の状態方程式ふつう

650 kPa、55 °C において、CH₄ 320 g が占める体積 V はいくらか。理想気体として扱う。

m = 320 gM = 16.04 g/molP = 650 kPaT = 55 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想気体の状態方程式むずかしい

一定量のHeが 300 kPa、20 L、40 °C から 800 kPa、70 °C に変化する。新しい体積 V₂ を求めよ。

P₁ = 300 kPaV₁ = 20 LT₁ = 40 °CP₂ = 800 kPaT₂ = 70 °C

V₂ = L

17.熱機関と冷凍機ふつう

熱機関が 650 °C の高温熱源と 15 °C の低温熱源の間で働く。可能な最大の熱効率 η_max を求めよ。

T_H = 650 °CT_L = 15 °C

η_max = %

18.熱機関と冷凍機むずかしい

冷蔵庫が、32 °C のキッチンで冷蔵室を -10 °C に保ち、冷蔵室から 5 kW の熱を取り除く。必要な最小入力動力 Ẇ_min を求めよ。

T_H = 32 °CT_L = -10 °CQ̇_L = 5 kW

Ẇ_min = kW

19.波・音・光学ふつう

両端が開いた管の長さは 0.65 m です。音速は 343 m/s です。その第 4 倍音の振動数 f₄ を求めてください。

v = 343 m/sn = 4L = 0.65 m

f₄ = Hz

20.波・音・光学むずかしい

波長 500 nm の光が、幅 0.1 mm の単スリットを通ります。1.5 m 先のスクリーン上の、中央の明るい極大の幅 w（両側の最初の暗線の間）を求めてください。

λ = 500 nma = 0.1 mmL = 1.5 m

w = mm

3溶液

1.運動学

答え: s = 59.35 m

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

単位

v₀ = 100/3.6 = 27.78 m/s

制動距離

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 27.78²/(2·6.5) = 59.35 m

答え

s = 59.35 m

2.運動学

答え: t = 2.809 s

運動の式

上向きを正とし、地面は出発点の h₀ 下にあります。

−5 = 12·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 12·t − 5 = 0

2 次方程式を解く

物理的に意味があるのは正の解だけです。

t = (12 + √(12² + 2·9.81·5))/9.81 = 2.809 s

答え

t = 2.809 s

3.ニュートンの法則

答え: a = 4.724 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

垂直抗力

N = m·g − F·sin θ = 98.1 − 70·sin 20° = 74.16 N

水平方向の力

m·a = F·cos θ − μ·N = 65.78 − 18.54

a = 47.24/10 = 4.724 m/s²

答え

a = 4.724 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: a = 5.886 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (49.05 − 4.905)/7.5 = 5.886 m/s²

答え

a = 5.886 m/s²

5.放物運動

答え: x = 124.1 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 36·cos 35° = 29.49 m/s

v_y = v₀·sin θ = 36·sin 35° = 20.65 m/s

滞空時間

発射点と着地点が同じ高さ：t = 2v_y/g。

t = 2·20.65/9.81 = 4.21 s

水平距離

x = v_x·t = 29.49·4.21 = 124.1 m

答え

x = 124.1 m

6.放物運動

答え: t = 4.39 s

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 23·cos 20° = 21.61 m/s

v_y = v₀·sin θ = 23·sin 20° = 7.866 m/s

滞空時間

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 60 + 7.866·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (7.866 + √(61.88 + 1177))/9.81 = 4.39 s

答え

t = 4.39 s

7.仕事とエネルギー

答え: P = 64.95 kW

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。動力は力 × 速さです：P = F·v。

駆動力

m·g = 1500·9.81 = 14715 N

mg·sin θ = 14715·sin 8° = 2048 N

F = 2048 + 550 = 2598 N

電力

v = 90/3.6 = 25 m/s

P = F·v = 2598·25 = 64948 W = 64.95 kW

答え

P = 64.95 kW

8.仕事とエネルギー

答え: v = 3.714 m/s

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

放出されるエネルギーと失われるエネルギー

m₂g·d = 29.43·2.5 = 73.58 J

μ·m₁g·d = 0.15·49.05·2.5 = 18.39 J

両方のブロックの運動エネルギー

½(m₁ + m₂)v² = 55.18 → v = √(2·55.18/8) = 3.714 m/s

答え

v = 3.714 m/s

9.運動量と衝突

答え: v′₂ = 9.6 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

静止した相手との弾性衝突

運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くと、この 2 つの結果が得られます。

v′₁ = (4 − 1)/(4 + 1)·6 = 3.6 m/s

v′₂ = 2·4/(4 + 1)·6 = 9.6 m/s

答え

v′₂ = 9.6 m/s

10.運動量と衝突

答え: J = 11.7 N·s

運動量の変化

J = m·Δv = 0.3·(14 + 25) = 11.7 N·s

答え

J = 11.7 N·s

11.静水圧

答え: F = 58.86 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 2.5 + 1/2 = 3 m

A = H·b = 1·2 = 2 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3·2 = 58.86 kN

答え

F = 58.86 kN

12.静水圧

答え: F = 139.1 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 1 + 3/2 = 2.5 m

A = H·b = 3·1.5 = 4.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·2.5·4.5 = 139.1 kN

答え

F = 139.1 kN

13.連続の式とベルヌーイ

答え: p₁ = 72.12 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

流速

v₁ = Q/A₁ = 0.011/0.007854 = 1.401 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0.011/0.004418 = 2.49 m/s

ベルヌーイの定理

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 70 + ½·1000·(2.49² − 1.401²)/1000 = 70 + 2.119 = 72.12 kPa

答え

p₁ = 72.12 kPa

14.連続の式とベルヌーイ

答え: p₂ = 274.9 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2.5·(75/40)² = 8.789 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2.5² − 8.789²)/1000 = −35.5 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·2/1000 = 19.62 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 330 + (−35.5) − 19.62 = 274.9 kPa

答え

p₂ = 274.9 kPa

15.理想気体の状態方程式

答え: V = 83.74 L

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = 320/16.04 = 19.95 mol

T = 55 + 273.15 = 328.1 K

体積

V = nRT/P = 19.95·8.314·328.1/650 = 83.74 L

答え

V = 83.74 L

16.理想気体の状態方程式

答え: V₂ = 8.219 L

ボイル・シャルルの法則：一定量の理想気体では P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂。

絶対温度

T₁ = 313.1 K, T₂ = 343.1 K

ボイル・シャルルの法則

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 20·(300/800)·(343.1/313.1) = 8.219 L

答え

V₂ = 8.219 L

17.熱機関と冷凍機

答え: η_max = 68.79 %

第 2 法則による限界：絶対温度 T_H と T_L の熱源の間で働くどんなサイクルも、可逆（カルノー）サイクルを上回れません：η_max = 1 − T_L/T_H、COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)、COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。エネルギーは常に保存されます：Q_H = W + Q_L。

絶対温度

T_H = 650 + 273.15 = 923.1 K

T_L = 15 + 273.15 = 288.1 K

カルノー効率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 288.1/923.1 = 68.79 %

答え

η_max = 68.79 %

18.熱機関と冷凍機

答え: Ẇ_min = 0.798 kW

絶対温度

T_H = 32 + 273.15 = 305.1 K

T_L = -10 + 273.15 = 263.1 K

可能な最良の COP

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 263.1/(305.1 − 263.1) = 6.265

最小動力

必要な仕事が最も少ないのは、COP が最大の可逆機械です。

Ẇ_min = Q̇_L/COP = 5/6.265 = 0.798 kW

答え

Ẇ_min = 0.798 kW

19.波・音・光学

答え: f₄ = 1055 Hz

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、f_n = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、f_n = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

このモードの波長

λ = 2L/n = 2·0.65/4 = 0.325 m

振動数

f = v/λ = 343/0.325 = 1055 Hz

答え

f₄ = 1055 Hz

20.波・音・光学

答え: w = 15 mm

干渉と回折：距離 d だけ離れた 2 本のスリットを通った光は、スクリーン上の点に行路差 d·sin θ で届きます。明線は d·sin θ = mλ（m = 0, ±1, ±2, …）の位置に現れます。スクリーンまでの距離が L ≫ d のとき、m 番目の明線は y = mλL/d の位置にあり、縞の間隔は Δy = λL/d です。1 ミリメートルあたり N 本の線をもつ回折格子では d = 1/N で、鋭い極大が d·sin θ = mλ の位置に現れます。sin θ ≤ 1 なので、最高次数は m ≤ d/λ を満たす最大の整数 m です。幅 a の単スリットでは、a·sin θ = mλ（m = ±1, ±2, …）の位置に暗線ができます。

最初の暗線

y₁ = λL/a = 500 × 10⁻⁹·1.5/(0.1 × 10⁻³) = 7.5 mm

中央の極大の幅

w = 2y₁ = 15 mm

答え

w = 15 mm

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