基礎物理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式: A₁v₁ = A₂v₂
ベルヌーイの定理: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
円の面積: A = πd²/4

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式: pV = nRT
気体定数: R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物質量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

熱機関と冷凍機

効率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
カルノー効率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
冷凍機の COP: COP_R = Q_C/W
ヒートポンプの COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
エネルギー収支: Q_H = W + Q_C

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

45 km/h で走っている車が、一定の減速度 6 m/s² でブレーキをかけて停止する。ブレーキをかけてから停止するまでの時間 t を求めよ。

v₀ = 45 km/ha = −6 m/s²v = 0

t = s

2.運動学むずかしい

地面から高さ 15 m の屋上の端から、ボールを 12 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗は無視し、g = 9.81 m/s² とする。投げてから地面に落ちるまでの時間 t を求めよ。

v₀ = 12 m/sh₀ = 15 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.ニュートンの法則ふつう

質量 8 kg のブロックが、水平と 45° をなす斜面をすべり下りる。動摩擦係数は 0.3 である。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 8 kgθ = 45°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 8 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 0.5 kg のおもりとつながれている。机の面はなめらかである。 g = 9.81 m/s² とする。全体の加速度 a を求めよ。

m₁ = 8 kgm₂ = 0.5 kgμ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.放物運動ふつう

水平な地面からボールを 32 m/s で打ち出し、50 m 先に着地させなければならない。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。2 つの可能な打ち出し角のうち小さい方 θ を求めよ。

v₀ = 32 m/sR = 50 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.放物運動むずかしい

ボールを高さ 30 m の崖の上から水平から 45° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでの飛行時間 t を求めよ。

v₀ = 18 m/sθ = 45°h = 30 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.仕事とエネルギーふつう

質量 0.2 kg の小球が長さ 3 m の軽い糸につり下げられている。糸が鉛直と 45° をなすまで横に引き、静かに放す。小球が最下点を通過するときの糸の張力 T を求めよ。

m = 0.2 kgL = 3 mθ = 45°g = 9.81 m/s²

T = N

8.仕事とエネルギーむずかしい

質量 2.5 kg のブロックを、なめらかなスロープ上の高さ 4.5 m から静かに放す。下で長さ 4.5 m の粗い水平区間（μ = 0.25）を通り、その後なめらかな面でばね（k = 1000 N/m）に当たる。ばねの最大縮み x を求めよ。

m = 2.5 kgh = 4.5 mL = 4.5 mμ = 0.25k = 1000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

9.運動量と衝突ふつう

質量 15 g の弾丸を、軽い糸でつり下げた質量 4.5 kg の木片に水平に撃ち込むと、弾丸は木片の中にとどまる。木片は初めより 24 cm 高い位置まで振れ上がる。g = 9.81 m/s² とする。衝突前の弾丸の速さ v を求めよ。

m = 15 gM = 4.5 kgh = 24 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.運動量と衝突むずかしい

質量 1000 kg の自動車が、駐車中の質量 1000 kg の自動車に衝突する。2 台は一体となって 17 m すべって止まる。タイヤと路面の間の動摩擦係数は 0.5 である。g = 9.81 m/s² とする。衝突直前の 1 台目の自動車の速さ v₁ を求めよ。

m₁ = 1000 kgm₂ = 1000 kgd = 17 mμ = 0.5g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

11.静水圧ふつう

幅 1 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 3 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 3 mH = 3 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水圧むずかしい

幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、グリセリンを入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 3 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ y_cp を求めよ。

d = 3 mH = 3 mb = 1.5 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.連続の式とベルヌーイふつう

入口径 100 mm、のど部径 60 mm の水平なベンチュリ管を水が流れる。入口の圧力はのど部より 7 kPa 高い。損失を無視して、流量 Q を求めよ。

d₁ = 100 mmd₂ = 60 mmp₁ − p₂ = 7 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

14.連続の式とベルヌーイむずかしい

水が、100 mm から 40 mm に細くなりながら 4 m 上昇する管を上向きに流れる。断面 1 での圧力は 310 kPa、流速は 0.5 m/s である。損失を無視して、断面 2 での圧力 p₂ を求めよ。

d₁ = 100 mmd₂ = 40 mmp₁ = 310 kPav₁ = 0.5 m/sΔz = 4 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.理想気体の状態方程式ふつう

容積 10 L のタンクに、温度 90 °C のHeが 210 g 入っている。理想気体として圧力 P を求めよ。

m = 210 gM = 4.003 g/molV = 10 LT = 90 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.理想気体の状態方程式むずかしい

900 kPa、130 °C におけるCH₄の密度 ρ を、理想気体として求めよ。

M = 16.04 g/molP = 900 kPaT = 130 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.熱機関と冷凍機ふつう

熱機関が 375 °C の高温熱源と 10 °C の低温熱源の間で働く。この機関は 2800 kJ の熱を受け取る。得られる最大の仕事 W_max を求めよ。

T_H = 375 °CT_L = 10 °CQ_H = 2800 kJ

W_max = kJ

18.熱機関と冷凍機むずかしい

冷蔵庫が、30 °C のキッチンで冷蔵室を 4 °C に保ち、冷蔵室から 4 kW の熱を取り除く。必要な最小入力動力 Ẇ_min を求めよ。

T_H = 30 °CT_L = 4 °CQ̇_L = 4 kW

Ẇ_min = kW

19.波・音・光学ふつう

光がダイヤモンド（n = 2.42）の中を、アクリル（n = 1.49）との平らな境界に向かって進みます。それを超えると全反射する臨界角 θ_c を求めてください。

n₁ = 2.42n₂ = 1.49

θ_c = °

20.波・音・光学むずかしい

静止している駐車センサーが、20 m/s で近づいてくる車に向けて 30 kHz の超音波を送ります。センサーに戻ってくるエコーの振動数 f″ を求めてください（音速 343 m/s）。

f = 30 kHzu = 20 m/sv = 343 m/s

f″ = Hz

3溶液

1.運動学

答え: t = 2.083 s

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

単位

v₀ = 45/3.6 = 12.5 m/s

制動時間

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 12.5/6 = 2.083 s

答え

t = 2.083 s

2.運動学

答え: t = 3.357 s

運動の式

上向きを正とし、地面は出発点の h₀ 下にあります。

−15 = 12·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 12·t − 15 = 0

2 次方程式を解く

物理的に意味があるのは正の解だけです。

t = (12 + √(12² + 2·9.81·15))/9.81 = 3.357 s

答え

t = 3.357 s

3.ニュートンの法則

答え: a = 4.856 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 45° − 0.3·cos 45°) = 9.81·(0.7071 − 0.2121) = 4.856 m/s²

答え

a = 4.856 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: a = 0.5771 m/s²

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (4.905 − 0)/8.5 = 0.5771 m/s²

答え

a = 0.5771 m/s²

5.放物運動

答え: θ = 14.31 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

水平到達距離の式

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·50/32² = 0.479

位相角

2θ = 28.62° → θ = 14.31°

答え

θ = 14.31°

もう 1 つの解は 90° − θ = 75.69° です。

6.放物運動

答え: t = 4.09 s

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 18·cos 45° = 12.73 m/s

v_y = v₀·sin θ = 18·sin 45° = 12.73 m/s

滞空時間

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 30 + 12.73·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (12.73 + √(162 + 588.6))/9.81 = 4.09 s

答え

t = 4.09 s

7.仕事とエネルギー

答え: T = 3.111 N

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。円軌道上では、中心に向かう合力は mv²/r に等しくなければなりません。

最下点での速さ

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·3·(1 − cos 45°) = 17.24 m²/s²

最下点での力

m·g = 0.2·9.81 = 1.962 N

T = mg + mv²/L = 1.962 + 0.2·17.24/3 = 3.111 N

答え

T = 3.111 N

確認：T = mg(3 − 2cos θ) = 3.111 N。

8.仕事とエネルギー

答え: x = 40.69 cm

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

粗い区間を通過した後のエネルギー

スロープはなめらかなので、エネルギーを奪うのは粗い区間だけです。

mgh − μmgL = 24.53·(4.5 − 0.25·4.5) = 82.77 J

最大縮み

½kx² = 82.77 → x = √(2·82.77/1000) = 0.4069 m = 40.69 cm

答え

x = 40.69 cm

9.運動量と衝突

答え: v = 653.2 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

衝突後の振れ上がり

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.24) = 2.17 m/s

衝突

m·v = (m + M)·V → v = (0.015 + 4.5)·2.17/0.015 = 653.2 m/s

答え

v = 653.2 m/s

10.運動量と衝突

答え: v₁ = 25.83 m/s

衝突後の速さ

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.5·9.81·17) = 12.91 m/s

衝突での運動量

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2000·12.91/1000 = 25.83 m/s

答え

v₁ = 25.83 m/s

(92.98 km/h)

11.静水圧

答え: F = 132.4 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 3 + 3/2 = 4.5 m

A = H·b = 3·1 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·4.5·3 = 132.4 kN

答え

F = 132.4 kN

12.静水圧

答え: y_cp = 4.667 m

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 3 + 3/2 = 4.5 m

A = H·b = 3·1.5 = 4.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·4.5·4.5 = 250.3 kN

圧力中心

圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。

I_c = b·H³/12 = 1.5·3³/12 = 3.375 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 4.5 + 3.375/(4.5·4.5) = 4.667 m

答え

y_cp = 4.667 m

13.連続の式とベルヌーイ

答え: Q = 11.34 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

連続の式

v₁ = v₂·(60/100)² = 0.36·v₂

入口とのど部の間のベルヌーイの式

管は水平なので、変化するのは圧力と流速だけです。

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·7000/(1000·(1 − 0.1296))) = 4.011 m/s

v₁ = 1.444 m/s

流量

Q = A₂·v₂ = 0.002827·4.011 = 0.01134 m³/s = 11.34 L/s

答え

Q = 11.34 L/s

14.連続の式とベルヌーイ

答え: p₂ = 266 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0.5·(100/40)² = 3.125 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0.5² − 3.125²)/1000 = −4.758 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·4/1000 = 39.24 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 310 + (−4.758) − 39.24 = 266 kPa

答え

p₂ = 266 kPa

15.理想気体の状態方程式

答え: P = 15839 kPa

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = m/M = 210/4.003 = 52.46 mol

T = 90 + 273.15 = 363.1 K

圧力

P = nRT/V = 52.46·8.314·363.1/0.01 = 15839 kPa

答え

P = 15839 kPa

16.理想気体の状態方程式

答え: ρ = 4.307 kg/m³

理想気体の密度：ρ = PM/(RT)。

状態方程式を変形する

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 130 + 273.15 = 403.1 K

密度

ρ = 900·16.04/(8.314·403.1) = 4.307 kg/m³

答え

ρ = 4.307 kg/m³

17.熱機関と冷凍機

答え: W_max = 1577 kJ

第 2 法則による限界：絶対温度 T_H と T_L の熱源の間で働くどんなサイクルも、可逆（カルノー）サイクルを上回れません：η_max = 1 − T_L/T_H、COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)、COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。エネルギーは常に保存されます：Q_H = W + Q_L。

絶対温度

T_H = 375 + 273.15 = 648.1 K

T_L = 10 + 273.15 = 283.1 K

カルノー効率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 283.1/648.1 = 56.31 %

最大仕事

W_max = η_max·Q_H = 0.5631·2800 = 1577 kJ

答え

W_max = 1577 kJ

18.熱機関と冷凍機

答え: Ẇ_min = 0.3752 kW

絶対温度

T_H = 30 + 273.15 = 303.1 K

T_L = 4 + 273.15 = 277.1 K

可能な最良の COP

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 277.1/(303.1 − 277.1) = 10.66

最小動力

必要な仕事が最も少ないのは、COP が最大の可逆機械です。

Ẇ_min = Q̇_L/COP = 4/10.66 = 0.3752 kW

答え

Ẇ_min = 0.3752 kW

19.波・音・光学

答え: θ_c = 38 °

幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/d_o + 1/d_i に従い、倍率は m = −d_i/d_o です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。d_i > 0 は実像、d_i < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。

90° の屈折

sin θc = n₂/n₁ = 1.49/2.42 = 0.6157

臨界角

θc = arcsin(0.6157) = 38°

答え

θ_c = 38°

20.波・音・光学

答え: f″ = 33715 Hz

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、f_n = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、f_n = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

車での振動数

f′ = 30000·(343 + 20)/343 = 31749 Hz

エコーの振動数

f″ = f′·343/(343 − 20) = 33715 Hz

答え

f″ = 33715 Hz

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