基礎物理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式: A₁v₁ = A₂v₂
ベルヌーイの定理: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
円の面積: A = πd²/4

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式: pV = nRT
気体定数: R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物質量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

熱機関と冷凍機

効率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
カルノー効率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
冷凍機の COP: COP_R = Q_C/W
ヒートポンプの COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
エネルギー収支: Q_H = W + Q_C

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

一定の 29 m/s でスピード違反をしている車が、停車中のパトカーの横を通過する。その瞬間、パトカーが発進し、2 m/s² で一様に加速する。パトカーは出発点からどれだけ離れた所で追いつくか。d を求めよ。

v_car = 29 m/sa_police = 2 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.運動学むずかしい

路面電車が静止状態から 1 m/s² で 7 s 加速し、次に 22 s 等速で走り、最後に 3.5 m/s² でブレーキをかけて停止する。 2 つの停留所間の全距離 s を求めよ。

a₁ = 1 m/s²t₁ = 7 st₂ = 22 sa₃ = −3.5 m/s²

s = m

3.ニュートンの法則ふつう

質量 3 kg のブロックが、水平と 40° をなす斜面をすべり下りる。動摩擦係数は 0.3 である。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 3 kgθ = 40°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

ブロックを押して、30° の斜面を速さ 6 m/s ですべり上がらせる。動摩擦係数は 0.15 である。g = 9.81 m/s² とする。止まるまでに斜面に沿ってどれだけの距離 d すべるか。

v₀ = 6 m/sθ = 30°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

d = m

5.放物運動ふつう

ボールを平らな地面から水平から 40° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでの飛行時間 t を求めよ。

v₀ = 26 m/sθ = 40°g = 9.81 m/s²

t = s

6.放物運動むずかしい

ボールを高さ 60 m の崖の上から水平から 55° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでの飛行時間 t を求めよ。

v₀ = 27 m/sθ = 55°h = 60 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.仕事とエネルギーふつう

質量 1 kg のブロックが水平と 40° をなす斜面を 12 m すべり下りる。動摩擦係数は 0.1 である。摩擦に逆らってした仕事 W_f を求めよ。

m = 1 kgθ = 40°μ = 0.1d = 12 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

8.仕事とエネルギーむずかしい

質量 5 kg のブロックを、なめらかなスロープ上の高さ 4.5 m から静かに放す。下で長さ 4 m の粗い水平区間（μ = 0.15）を通り、その後なめらかな面でばね（k = 800 N/m）に当たる。ばねの最大縮み x を求めよ。

m = 5 kgh = 4.5 mL = 4 mμ = 0.15k = 800 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

9.運動量と衝突ふつう

摩擦のないレール上で、7 m/s で動く質量 0.5 kg のグライダーが、静止している質量 4 kg のグライダーと完全弾性的に正面衝突する。衝突後の 2 台目のグライダーの速度 v′₂ を求めよ。

m₁ = 0.5 kgm₂ = 4 kgv₁ = 7 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

10.運動量と衝突むずかしい

質量 0.5 kg のボールが 19 m/s で壁に当たり、11 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 25 ms である。壁がボールに与える力積の大きさ J を求めよ。

m = 0.5 kgv_in = 19 m/sv_out = 11 m/sΔt = 25 ms

J = N·s

11.静水圧ふつう

幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 1.5 mH = 2 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水圧むずかしい

幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、グリセリンを入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 0.5 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ y_cp を求めよ。

d = 0.5 mH = 2 mb = 1.5 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.連続の式とベルヌーイふつう

大きな開放水槽から、直径 30 mm の刃形オリフィスを通って水が流出する。水位はオリフィスより 6 m 上に保たれ、流量係数は 0.62 である。流量 Q を求めよ。g = 9.81 m/s² とする。

d = 30 mmh = 6 mC_d = 0.62g = 9.81 m/s²

Q = L/s

14.連続の式とベルヌーイむずかしい

水が、100 mm から 50 mm に細くなりながら 4 m 上昇する管を上向きに流れる。断面 1 での圧力は 170 kPa、流速は 1.5 m/s である。損失を無視して、断面 2 での圧力 p₂ を求めよ。

d₁ = 100 mmd₂ = 50 mmp₁ = 170 kPav₁ = 1.5 m/sΔz = 4 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.理想気体の状態方程式ふつう

容積 10 L のタンクに、温度 95 °C のO₂が 280 g 入っている。理想気体として圧力 P を求めよ。

m = 280 gM = 32 g/molV = 10 LT = 95 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.理想気体の状態方程式むずかしい

一定量のCH₄が 200 kPa、10 L、15 °C から 800 kPa、110 °C に変化する。新しい体積 V₂ を求めよ。

P₁ = 200 kPaV₁ = 10 LT₁ = 15 °CP₂ = 800 kPaT₂ = 110 °C

V₂ = L

17.熱機関と冷凍機ふつう

熱機関が 350 °C の熱源から熱を受け取り、30 °C の周囲へ熱を放出する。実際の熱効率は 31% である。第二法則効率（実際の効率とカルノー効率の比）η_II を求めよ。

T_H = 350 °CT_L = 30 °Cη = 31%

η_II = %

18.熱機関と冷凍機むずかしい

冷蔵庫が、32 °C のキッチンで冷蔵室を -25 °C に保ち、冷蔵室から 4.5 kW の熱を取り除く。可能な最大の成績係数 COP_max を求めよ。

T_H = 32 °CT_L = -25 °CQ̇_L = 4.5 kW

COP_max =

19.波・音・光学ふつう

高さ 1.5 cm の物体が、焦点距離 30 cm の薄い収束レンズの 60 cm 前にあります。像の高さ h_i を求めてください（倒立像では負）。

h_o = 1.5 cmd_o = 60 cmf = 30 cm

h_i = cm

20.波・音・光学むずかしい

光ファイバーのコアは n₁ = 1.5、クラッドは n₂ = 1.49 です。その開口数 NA を求めてください。

n₁ = 1.5n₂ = 1.49

NA =

3溶液

1.運動学

答え: d = 841 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

等しい距離

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·29/2 = 29 s

距離

d = v·t = 29·29 = 841 m

答え

d = 841 m

その瞬間、パトカーは 2v = 58 m/s で走っています。

2.運動学

答え: s = 185.5 m

最高速度

v = a₁·t₁ = 1·7 = 7 m/s

各段階の距離

s₁ = ½·1·7² = 24.5 m

s₂ = 7·22 = 154 m

s₃ = 7²/(2·3.5) = 7 m

全距離

s = 24.5 + 154 + 7 = 185.5 m

答え

s = 185.5 m

3.ニュートンの法則

答え: a = 4.051 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 40° − 0.3·cos 40°) = 9.81·(0.6428 − 0.2298) = 4.051 m/s²

答え

a = 4.051 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: d = 2.913 m

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

減速度

どちらの力も斜面を下る向きで、質量は消えます。

a = 9.81·(sin 30° + 0.15·cos 30°) = 6.179 m/s²

距離

d = v₀²/(2a) = 6²/(2·6.179) = 2.913 m

答え

d = 2.913 m

5.放物運動

答え: t = 3.407 s

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 26·cos 40° = 19.92 m/s

v_y = v₀·sin θ = 26·sin 40° = 16.71 m/s

滞空時間

発射点と着地点が同じ高さ：t = 2v_y/g。

t = 2·16.71/9.81 = 3.407 s

答え

t = 3.407 s

6.放物運動

答え: t = 6.416 s

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 27·cos 55° = 15.49 m/s

v_y = v₀·sin θ = 27·sin 55° = 22.12 m/s

滞空時間

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 60 + 22.12·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (22.12 + √(489.2 + 1177))/9.81 = 6.416 s

答え

t = 6.416 s

7.仕事とエネルギー

答え: W_f = 9.018 J

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 9.81·0.766 = 7.515 N

F = μN = 0.1·7.515 = 0.7515 N

摩擦に逆らう仕事

W_f = F·d = 0.7515·12 = 9.018 J

答え

W_f = 9.018 J

8.仕事とエネルギー

答え: x = 69.15 cm

粗い区間を通過した後のエネルギー

スロープはなめらかなので、エネルギーを奪うのは粗い区間だけです。

mgh − μmgL = 49.05·(4.5 − 0.15·4) = 191.3 J

最大縮み

½kx² = 191.3 → x = √(2·191.3/800) = 0.6915 m = 69.15 cm

答え

x = 69.15 cm

9.運動量と衝突

答え: v′₂ = 1.556 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

静止した相手との弾性衝突

運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くと、この 2 つの結果が得られます。

v′₁ = (0.5 − 4)/(0.5 + 4)·7 = −5.444 m/s

v′₂ = 2·0.5/(0.5 + 4)·7 = 1.556 m/s

答え

v′₂ = 1.556 m/s

10.運動量と衝突

答え: J = 15 N·s

運動量の変化

J = m·Δv = 0.5·(11 + 19) = 15 N·s

答え

J = 15 N·s

11.静水圧

答え: F = 98.1 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 1.5 + 2/2 = 2.5 m

A = H·b = 2·2 = 4 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.5·4 = 98.1 kN

答え

F = 98.1 kN

12.静水圧

答え: y_cp = 1.722 m

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 0.5 + 2/2 = 1.5 m

A = H·b = 2·1.5 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·1.5·3 = 55.62 kN

圧力中心

圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。

I_c = b·H³/12 = 1.5·2³/12 = 1 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 1.5 + 1/(1.5·3) = 1.722 m

答え

y_cp = 1.722 m

13.連続の式とベルヌーイ

答え: Q = 4.755 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

理想的な噴流速度

√(2gh) = √(2·9.81·6) = 10.85 m/s

実際の流量

流量係数は、噴流の縮流と縁での摩擦を考慮したものです。

Q = C_d·A·√(2gh) = 0.62·0.0007069·10.85 = 0.004755 m³/s = 4.755 L/s

答え

Q = 4.755 L/s

14.連続の式とベルヌーイ

答え: p₂ = 113.9 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1.5·(100/50)² = 6 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1.5² − 6²)/1000 = −16.88 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·4/1000 = 39.24 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 170 + (−16.88) − 39.24 = 113.9 kPa

答え

p₂ = 113.9 kPa

15.理想気体の状態方程式

答え: P = 2678 kPa

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = m/M = 280/32 = 8.75 mol

T = 95 + 273.15 = 368.1 K

圧力

P = nRT/V = 8.75·8.314·368.1/0.01 = 2678 kPa

答え

P = 2678 kPa

16.理想気体の状態方程式

答え: V₂ = 3.324 L

ボイル・シャルルの法則：一定量の理想気体では P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂。

絶対温度

T₁ = 288.1 K, T₂ = 383.1 K

ボイル・シャルルの法則

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 10·(200/800)·(383.1/288.1) = 3.324 L

答え

V₂ = 3.324 L

17.熱機関と冷凍機

答え: η_II = 60.37 %

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

絶対温度

T_H = 350 + 273.15 = 623.1 K

T_L = 30 + 273.15 = 303.1 K

カルノー効率

η_Carnot = 1 − 303.1/623.1 = 51.35 %

第二法則効率

η_II = η/η_Carnot = 31/51.35 = 60.37 %

答え

η_II = 60.37 %

18.熱機関と冷凍機

答え: COP_max = 4.354

第 2 法則による限界：絶対温度 T_H と T_L の熱源の間で働くどんなサイクルも、可逆（カルノー）サイクルを上回れません：η_max = 1 − T_L/T_H、COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)、COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。エネルギーは常に保存されます：Q_H = W + Q_L。

絶対温度

T_H = 32 + 273.15 = 305.1 K

T_L = -25 + 273.15 = 248.1 K

可能な最良の COP

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 248.1/(305.1 − 248.1) = 4.354

答え

COP_max = 4.354

19.波・音・光学

答え: h_i = −1.5 cm

幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/d_o + 1/d_i に従い、倍率は m = −d_i/d_o です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。d_i > 0 は実像、d_i < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。

薄いレンズの式

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/30 − 1/60

d_i = 60 cm

倍率と高さ

m = −60/60 = −1

h_i = −1·1.5 = −1.5 cm

答え

h_i = −1.5 cm

20.波・音・光学

答え: NA = 0.1729

クラッドでの臨界角

sin θc = 1.49/1.5 = 0.9933 → θc = 83.38°

開口数

NA = √(1.5² − 1.49²) = 0.1729

答え

NA = 0.1729

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