基礎物理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式: A₁v₁ = A₂v₂
ベルヌーイの定理: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
円の面積: A = πd²/4

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式: pV = nRT
気体定数: R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物質量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

熱機関と冷凍機

効率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
カルノー効率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
冷凍機の COP: COP_R = Q_C/W
ヒートポンプの COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
エネルギー収支: Q_H = W + Q_C

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

一定の 30 m/s でスピード違反をしている車が、停車中のパトカーの横を通過する。その瞬間、パトカーが発進し、2 m/s² で一様に加速する。パトカーは出発点からどれだけ離れた所で追いつくか。d を求めよ。

v_car = 30 m/sa_police = 2 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.運動学むずかしい

地面から高さ 5 m の屋上の端から、ボールを 5 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗は無視し、g = 9.81 m/s² とする。投げてから地面に落ちるまでの時間 t を求めよ。

v₀ = 5 m/sh₀ = 5 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.ニュートンの法則ふつう

箱が水平な床の上を初速 3.5 m/s ですべり、3.1 m 進んで止まる。g = 9.81 m/s² とする。動摩擦係数 μ を求めよ。

v₀ = 3.5 m/sd = 3.1 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な床の上の 2 つのブロックが軽い水平な糸でつながれている。水平な力 80 N が前の 11 kg のブロックを引き、2 kg のブロックは後ろから引かれる。両方のブロックの動摩擦係数は 0.2 である。g = 9.81 m/s² とする。つないでいる糸の張力 T を求めよ。

m₁ = 2 kgm₂ = 11 kgF = 80 Nμ = 0.2g = 9.81 m/s²

T = N

5.放物運動ふつう

水平な地面からボールを 22 m/s、水平から 25° 上向きに、8 m 先の壁に向かって蹴る。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。ボールはどの高さ y で壁を通過するか。

v₀ = 22 m/sθ = 25°x = 8 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.放物運動むずかしい

高さ 20 m のがけの上から、ボールを 29 m/s、水平から 25° 上向きに打ち出す。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。がけのふもとの地面からの最高の高さ H を求めよ。

v₀ = 29 m/sθ = 25°h = 20 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.仕事とエネルギーふつう

ブロックが水平と 40° をなす斜面を静止状態からすべり下りる。動摩擦係数は 0.2 である。斜面に沿って 19 m すべった後の速さ v を求めよ。

θ = 40°μ = 0.2d = 19 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

8.仕事とエネルギーむずかしい

質量 10 kg のブロックを、なめらかなスロープ上の高さ 3 m から静かに放す。下で長さ 1 m の粗い水平区間（μ = 0.1）を通り、その後なめらかな面でばね（k = 1000 N/m）に当たる。ばねの最大縮み x を求めよ。

m = 10 kgh = 3 mL = 1 mμ = 0.1k = 1000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

9.運動量と衝突ふつう

摩擦のないレール上で、2 m/s で動く質量 1.5 kg のグライダーが、静止している質量 2 kg のグライダーと完全弾性的に正面衝突する。衝突後の 2 台目のグライダーの速度 v′₂ を求めよ。

m₁ = 1.5 kgm₂ = 2 kgv₁ = 2 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

10.運動量と衝突むずかしい

質量 0.55 kg のボールが 22 m/s で壁に当たり、11 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 50 ms である。壁がボールに及ぼす平均の力 F_avg を求めよ。

m = 0.55 kgv_in = 22 m/sv_out = 11 m/sΔt = 50 ms

F_avg = N

11.静水圧ふつう

幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 2.5 mH = 2.5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水圧むずかしい

幅 3 m の鉛直な長方形ゲートが、海水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ y_cp を求めよ。

d = 1 mH = 1.5 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.連続の式とベルヌーイふつう

水が、100 mm から 75 mm に細くなる水平管を流れる。太い部分の圧力は 300 kPa、流速は 2.5 m/s である。損失を無視して、細い部分の圧力 p₂ を求めよ。

d₁ = 100 mmd₂ = 75 mmp₁ = 300 kPav₁ = 2.5 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.連続の式とベルヌーイむずかしい

水が、100 mm から 25 mm に細くなりながら 6 m 上昇する管を上向きに流れる。断面 1 での圧力は 350 kPa、流速は 0.5 m/s である。損失を無視して、断面 2 での圧力 p₂ を求めよ。

d₁ = 100 mmd₂ = 25 mmp₁ = 350 kPav₁ = 0.5 m/sΔz = 6 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.理想気体の状態方程式ふつう

容積 50 L のタンクに、温度 15 °C のO₂が 370 g 入っている。理想気体として圧力 P を求めよ。

m = 370 gM = 32 g/molV = 50 LT = 15 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.理想気体の状態方程式むずかしい

350 kPa、130 °C におけるO₂の密度 ρ を、理想気体として求めよ。

M = 32 g/molP = 350 kPaT = 130 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.熱機関と冷凍機ふつう

熱機関が 300 °C の高温熱源と 20 °C の低温熱源の間で働く。可能な最大の熱効率 η_max を求めよ。

T_H = 300 °CT_L = 20 °C

η_max = %

18.熱機関と冷凍機むずかしい

2 つのカルノー機関が直列に働く。機関 A は 950 °C の熱源から熱を受け取り、温度 T_m の中間熱源へ熱を放出する。機関 B はその熱をすべて受け取り、25 °C の熱源へ熱を放出する。両方の機関の熱効率は等しい。T_m を °C で求めよ。

T_H = 950 °CT_L = 25 °C

T_m = °C

19.波・音・光学ふつう

400 Hz の音源が、静止している観測者から遠ざかるように 30 m/s で動いています。音速は 343 m/s です。観測者に聞こえる振動数 f′ を求めてください。

f = 400 Hzv = 343 m/sv_s = 30 m/s

f′ = Hz

20.波・音・光学むずかしい

2 枚の薄いレンズが同じ光軸上に 40 cm 離れて置かれています：レンズ 1 は f₁ = 10 cm、レンズ 2 は f₂ = 10 cm です。物体はレンズ 1 の 12 cm 前にあります。レンズ 2 から測った最終的な像の位置 d_i2 を求めてください（レンズ 2 より先が正、実像が正の規則）。

f₁ = 10 cmf₂ = 10 cms = 40 cmd_o = 12 cm

d_i2 = cm

3溶液

1.運動学

答え: d = 900 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

等しい距離

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·30/2 = 30 s

距離

d = v·t = 30·30 = 900 m

答え

d = 900 m

その瞬間、パトカーは 2v = 60 m/s で走っています。

2.運動学

答え: t = 1.641 s

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

運動の式

上向きを正とし、地面は出発点の h₀ 下にあります。

−5 = 5·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 5·t − 5 = 0

2 次方程式を解く

物理的に意味があるのは正の解だけです。

t = (5 + √(5² + 2·9.81·5))/9.81 = 1.641 s

答え

t = 1.641 s

3.ニュートンの法則

答え: μ = 0.2014

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

減速度

a = v₀²/(2d) = 3.5²/(2·3.1) = 1.976 m/s²

摩擦係数

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 1.976/9.81 = 0.2014

答え

μ = 0.2014

4.ニュートンの法則

答え: T = 12.31 N

系全体

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (80 − 25.51)/13 = 4.192 m/s²

後ろのブロックだけ

T = m₁·(a + μ·g) = 2·(4.192 + 1.962) = 12.31 N

答え

T = 12.31 N

両方のブロックの μ が同じなら、摩擦は消えます：T = F·m₁/(m₁ + m₂)。

5.放物運動

答え: y = 2.941 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

壁までの時間

v_x = 22·cos 25° = 19.94 m/s

t = x/v_x = 8/19.94 = 0.4012 s

その時刻での高さ

y = 9.298·0.4012 − ½·9.81·0.4012² = 2.941 m

答え

y = 2.941 m

壁の位置では、ボールはまだ上昇中です。

6.放物運動

答え: H = 27.66 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

鉛直方向の初速

v_y = 29·sin 25° = 12.26 m/s

がけの上からの上昇高さ

Δh = v_y²/(2g) = 12.26²/(2·9.81) = 7.656 m

地面からの高さ

H = 20 + 7.656 = 27.66 m

答え

H = 27.66 m

7.仕事とエネルギー

答え: v = 13.51 m/s

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

斜面に沿ったエネルギー収支

ブロックは高さ d·sin θ だけ下がり、摩擦が μmg·cos θ·d を奪います。質量は消えます。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·19·(0.6428 − 0.2·0.766)) = 13.51 m/s

答え

v = 13.51 m/s

8.仕事とエネルギー

答え: x = 75.43 cm

粗い区間を通過した後のエネルギー

スロープはなめらかなので、エネルギーを奪うのは粗い区間だけです。

mgh − μmgL = 98.1·(3 − 0.1·1) = 284.5 J

最大縮み

½kx² = 284.5 → x = √(2·284.5/1000) = 0.7543 m = 75.43 cm

答え

x = 75.43 cm

9.運動量と衝突

答え: v′₂ = 1.714 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

静止した相手との弾性衝突

運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くと、この 2 つの結果が得られます。

v′₁ = (1.5 − 2)/(1.5 + 2)·2 = −0.2857 m/s

v′₂ = 2·1.5/(1.5 + 2)·2 = 1.714 m/s

答え

v′₂ = 1.714 m/s

10.運動量と衝突

答え: F_avg = 363 N

運動量の変化

J = m·Δv = 0.55·(11 + 22) = 18.15 N·s

平均の力

F_avg = J/Δt = 18.15/0.05 = 363 N

答え

F_avg = 363 N

11.静水圧

答え: F = 183.9 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 2.5 + 2.5/2 = 3.75 m

A = H·b = 2.5·2 = 5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.75·5 = 183.9 kN

答え

F = 183.9 kN

12.静水圧

答え: y_cp = 1.857 m

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 1 + 1.5/2 = 1.75 m

A = H·b = 1.5·3 = 4.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·1.75·4.5 = 79.19 kN

圧力中心

圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。

I_c = b·H³/12 = 3·1.5³/12 = 0.8438 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 1.75 + 0.8438/(1.75·4.5) = 1.857 m

答え

y_cp = 1.857 m

13.連続の式とベルヌーイ

答え: p₂ = 293.2 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2.5·(100/75)² = 4.444 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2.5² − 4.444²)/1000 = −6.752 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 300 + (−6.752) = 293.2 kPa

答え

p₂ = 293.2 kPa

14.連続の式とベルヌーイ

答え: p₂ = 259.3 kPa

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0.5·(100/25)² = 8 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0.5² − 8²)/1000 = −31.88 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·6/1000 = 58.86 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 350 + (−31.88) − 58.86 = 259.3 kPa

答え

p₂ = 259.3 kPa

15.理想気体の状態方程式

答え: P = 554 kPa

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = m/M = 370/32 = 11.56 mol

T = 15 + 273.15 = 288.1 K

圧力

P = nRT/V = 11.56·8.314·288.1/0.05 = 554 kPa

答え

P = 554 kPa

16.理想気体の状態方程式

答え: ρ = 3.341 kg/m³

理想気体の密度：ρ = PM/(RT)。

状態方程式を変形する

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 130 + 273.15 = 403.1 K

密度

ρ = 350·32/(8.314·403.1) = 3.341 kg/m³

答え

ρ = 3.341 kg/m³

17.熱機関と冷凍機

答え: η_max = 48.85 %

第 2 法則による限界：絶対温度 T_H と T_L の熱源の間で働くどんなサイクルも、可逆（カルノー）サイクルを上回れません：η_max = 1 − T_L/T_H、COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)、COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。エネルギーは常に保存されます：Q_H = W + Q_L。

絶対温度

T_H = 300 + 273.15 = 573.1 K

T_L = 20 + 273.15 = 293.1 K

カルノー効率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 293.1/573.1 = 48.85 %

答え

η_max = 48.85 %

18.熱機関と冷凍機

答え: T_m = 330.7 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

絶対温度

T_H = 950 + 273.15 = 1223 K

T_L = 25 + 273.15 = 298.1 K

効率が等しい

1 − T_m/T_H = 1 − T_L/T_m より T_m² = T_H·T_L。

T_m = √(1223·298.1) = 603.9 K = 330.7 °C

答え

T_m = 330.7 °C

19.波・音・光学

答え: f′ = 367.8 Hz

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、f_n = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、f_n = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

ドップラーの公式

f′ = f·(v − v_o)/(v + v_s) = 400·(343 − 0)/(343 + 30)

f′ = 367.8 Hz

答え

f′ = 367.8 Hz

20.波・音・光学

答え: d_i2 = 6.667 cm

幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/d_o + 1/d_i に従い、倍率は m = −d_i/d_o です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。d_i > 0 は実像、d_i < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。

レンズ 1 による像

1/d_i1 = 1/10 − 1/12 → d_i1 = 60 cm

レンズ 2 の物体

d_o2 = 40 − 60 = −20 cm

最終的な像

1/d_i2 = 1/10 − 1/(−20) → d_i2 = 6.667 cm

答え

d_i2 = 6.667 cm

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