基礎物理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式: A₁v₁ = A₂v₂
ベルヌーイの定理: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
円の面積: A = πd²/4

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式: pV = nRT
気体定数: R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物質量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

熱機関と冷凍機

効率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
カルノー効率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
冷凍機の COP: COP_R = Q_C/W
ヒートポンプの COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
エネルギー収支: Q_H = W + Q_C

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

108 km/h で走っている車が、一定の減速度 8 m/s² でブレーキをかけて停止する。ブレーキをかけてから停止するまでの時間 t を求めよ。

v₀ = 108 km/ha = −8 m/s²v = 0

t = s

2.運動学むずかしい

地面から高さ 30 m の屋上の端から、ボールを 19 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗は無視し、g = 9.81 m/s² とする。投げてから地面に落ちるまでの時間 t を求めよ。

v₀ = 19 m/sh₀ = 30 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.ニュートンの法則ふつう

質量 17 kg のブロックが、水平と 30° をなすなめらかな斜面をすべり下りる。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 17 kgθ = 30°μ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 8 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 4.5 kg のおもりとつながれている。ブロックと机の間の動摩擦係数は 0.25 である。 g = 9.81 m/s² とする。糸の張力 T を求めよ。

m₁ = 8 kgm₂ = 4.5 kgμ = 0.25g = 9.81 m/s²

T = N

5.放物運動ふつう

水平な地面からボールを 34 m/s、水平から 70° 上向きに、53 m 先の壁に向かって蹴る。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。ボールはどの高さ y で壁を通過するか。

v₀ = 34 m/sθ = 70°x = 53 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.放物運動むずかしい

地面の高さからボールを 31 m/s、水平から 55° 上向きに投げる。ボールは下降中に、高さ 4 m の建物の平らな屋上に着地する。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。投げた点から着地点までの水平距離 x を求めよ。

v₀ = 31 m/sθ = 55°h_roof = 4 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.仕事とエネルギーふつう

質量 0.5 kg のブロックが水平と 40° をなす斜面を 2 m すべり下りる。動摩擦係数は 0.35 である。摩擦に逆らってした仕事 W_f を求めよ。

m = 0.5 kgθ = 40°μ = 0.35d = 2 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

8.仕事とエネルギーむずかしい

質量 4 kg のブロックを、なめらかなスロープ上の高さ 2.5 m から静かに放す。下で長さ 3.5 m の粗い水平区間（μ = 0.2）を通り、その後なめらかな面でばね（k = 1500 N/m）に当たる。ブロックがばねに達したときの速さ v を求めよ。

m = 4 kgh = 2.5 mL = 3.5 mμ = 0.2k = 1500 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.運動量と衝突ふつう

摩擦のないレール上で、5 m/s で動く質量 3 kg のグライダーが、静止している質量 2.5 kg のグライダーと完全弾性的に正面衝突する。衝突後の 2 台目のグライダーの速度 v′₂ を求めよ。

m₁ = 3 kgm₂ = 2.5 kgv₁ = 5 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

10.運動量と衝突むずかしい

交差点で、東向きに 16 m/s で走る質量 2000 kg の自動車が、北向きに 10 m/s で走る質量 1800 kg の自動車と衝突する。2 台は一体となる。衝突直後の残骸の速さ v′ を求めよ。

m₁ = 2000 kgv₁ = 16 m/s (E)m₂ = 1800 kgv₂ = 10 m/s (N)

v′ = m/s

11.静水圧ふつう

幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 4 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 4 mH = 2 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水圧むずかしい

幅 3 m の鉛直な長方形ゲートが、グリセリンを入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 0.5 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ y_cp を求めよ。

d = 0.5 mH = 3 mb = 3 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.連続の式とベルヌーイふつう

水道管内のピトー静圧管が、よどみ点圧と静圧の差として 7 kPa を示す。先端での水の流速 v を求めよ。

p₀ − p = 7 kPaρ = 1000 kg/m³

v = m/s

14.連続の式とベルヌーイむずかしい

密閉水槽の水面上に、ゲージ圧 100 kPa の圧縮空気がある。水面より 3.5 m 下にある直径 40 mm の孔から、水が大気中に流出する。損失を無視して、次を求めよ噴流速度 v。 g = 9.81 m/s² とする。

p_air = 100 kPa (ゲージ圧)h = 3.5 md = 40 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

v = m/s

15.理想気体の状態方程式ふつう

容積 50 L のタンクに、温度 75 °C のHeが 300 g 入っている。理想気体として圧力 P を求めよ。

m = 300 gM = 4.003 g/molV = 50 LT = 75 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.理想気体の状態方程式むずかしい

650 kPa、110 °C におけるCO₂の密度 ρ を、理想気体として求めよ。

M = 44.01 g/molP = 650 kPaT = 110 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.熱機関と冷凍機ふつう

熱機関が 450 °C の熱源から熱を受け取り、35 °C の周囲へ熱を放出する。実際の熱効率は 40% である。第二法則効率（実際の効率とカルノー効率の比）η_II を求めよ。

T_H = 450 °CT_L = 35 °Cη = 40%

η_II = %

18.熱機関と冷凍機むずかしい

熱機関が 1 サイクルあたり 300 °C の熱源から 4900 kJ の熱を受け取り、1421 kJ の仕事をして、残りを 20 °C の熱源へ放出する。1 サイクルあたりの全エントロピー生成量 S_gen を求めよ。

T_H = 300 °CT_L = 20 °CQ_H = 4900 kJW = 1421 kJ

S_gen = kJ/K

19.波・音・光学ふつう

34 m/s で動く 600 Hz の音源と、20 m/s で動く観測者が、互いに遠ざかっています。音速は 343 m/s です。観測者に聞こえる振動数 f′ を求めてください。

f = 600 Hzv = 343 m/sv_s = 34 m/sv_o = 20 m/s

f′ = Hz

20.波・音・光学むずかしい

波長 500 nm の光が、1 ミリメートルあたり 100 本の線をもつ回折格子に直角に当たります。次数 3 の極大の角度 θ₃ を求めてください。

N = 100 mm⁻¹λ = 500 nmm = 3

θ₃ = °

3溶液

1.運動学

答え: t = 3.75 s

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

単位

v₀ = 108/3.6 = 30 m/s

制動時間

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 30/8 = 3.75 s

答え

t = 3.75 s

2.運動学

答え: t = 5.078 s

運動の式

上向きを正とし、地面は出発点の h₀ 下にあります。

−30 = 19·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 19·t − 30 = 0

2 次方程式を解く

物理的に意味があるのは正の解だけです。

t = (19 + √(19² + 2·9.81·30))/9.81 = 5.078 s

答え

t = 5.078 s

3.ニュートンの法則

答え: a = 4.905 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 30° − 0·cos 30°) = 9.81·(0.5 − 0) = 4.905 m/s²

答え

a = 4.905 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: T = 35.32 N

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (44.15 − 19.62)/12.5 = 1.962 m/s²

机の上のブロックから求める張力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 8·1.962 + 19.62 = 35.32 N

答え

T = 35.32 N

5.放物運動

答え: y = 43.73 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

壁までの時間

v_x = 34·cos 70° = 11.63 m/s

t = x/v_x = 53/11.63 = 4.558 s

その時刻での高さ

y = 31.95·4.558 − ½·9.81·4.558² = 43.73 m

答え

y = 43.73 m

壁の位置では、ボールはすでに下降中です。

6.放物運動

答え: x = 89.16 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

初速度を分解する

v_x = 17.78 m/s, v_y = 25.39 m/s

屋上に着地するまでの時間

大きい方の解：ボールは下降中です。

4 = 25.39·t − 4.905·t²

t = (25.39 + √(25.39² − 2·9.81·4))/9.81 = 5.014 s

水平距離

x = v_x·t = 17.78·5.014 = 89.16 m

答え

x = 89.16 m

7.仕事とエネルギー

答え: W_f = 2.63 J

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 4.905·0.766 = 3.757 N

F = μN = 0.35·3.757 = 1.315 N

摩擦に逆らう仕事

W_f = F·d = 1.315·2 = 2.63 J

答え

W_f = 2.63 J

8.仕事とエネルギー

答え: v = 5.943 m/s

粗い区間を通過した後のエネルギー

スロープはなめらかなので、エネルギーを奪うのは粗い区間だけです。

mgh − μmgL = 39.24·(2.5 − 0.2·3.5) = 70.63 J

ばねに達したときの速さ

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·1.8) = 5.943 m/s

答え

v = 5.943 m/s

9.運動量と衝突

答え: v′₂ = 5.455 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

静止した相手との弾性衝突

運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くと、この 2 つの結果が得られます。

v′₁ = (3 − 2.5)/(3 + 2.5)·5 = 0.4545 m/s

v′₂ = 2·3/(3 + 2.5)·5 = 5.455 m/s

答え

v′₂ = 5.455 m/s

10.運動量と衝突

答え: v′ = 9.662 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

運動量の成分

p_x = 2000·16 = 32000 kg·m/s

p_y = 1800·10 = 18000 kg·m/s

残骸の速さ

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 36715/3800 = 9.662 m/s

答え

v′ = 9.662 m/s

11.静水圧

答え: F = 196.2 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 4 + 2/2 = 5 m

A = H·b = 2·2 = 4 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·5·4 = 196.2 kN

答え

F = 196.2 kN

12.静水圧

答え: y_cp = 2.375 m

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 0.5 + 3/2 = 2 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·2·9 = 222.5 kN

圧力中心

圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。

I_c = b·H³/12 = 3·3³/12 = 6.75 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2 + 6.75/(2·9) = 2.375 m

答え

y_cp = 2.375 m

13.連続の式とベルヌーイ

答え: v = 3.742 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

よどみ点へのベルヌーイの式

流れは先端で静止するので、その運動エネルギーが余分な圧力として現れます。

p₀ − p = ½ρv²

v = √(2·7000/1000) = 3.742 m/s

答え

v = 3.742 m/s

14.連続の式とベルヌーイ

答え: v = 16.39 m/s

水面から噴流へのベルヌーイの式

v = √(2·(100000/1000 + 9.81·3.5)) = 16.39 m/s

答え

v = 16.39 m/s

15.理想気体の状態方程式

答え: P = 4339 kPa

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = m/M = 300/4.003 = 74.94 mol

T = 75 + 273.15 = 348.1 K

圧力

P = nRT/V = 74.94·8.314·348.1/0.05 = 4339 kPa

答え

P = 4339 kPa

16.理想気体の状態方程式

答え: ρ = 8.98 kg/m³

理想気体の密度：ρ = PM/(RT)。

状態方程式を変形する

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 110 + 273.15 = 383.1 K

密度

ρ = 650·44.01/(8.314·383.1) = 8.98 kg/m³

答え

ρ = 8.98 kg/m³

17.熱機関と冷凍機

答え: η_II = 69.7 %

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

絶対温度

T_H = 450 + 273.15 = 723.1 K

T_L = 35 + 273.15 = 308.1 K

カルノー効率

η_Carnot = 1 − 308.1/723.1 = 57.39 %

第二法則効率

η_II = η/η_Carnot = 40/57.39 = 69.7 %

答え

η_II = 69.7 %

18.熱機関と冷凍機

答え: S_gen = 3.318 kJ/K

エントロピー生成：1 サイクル全体で作動流体の正味のエントロピー変化はありません。高温熱源は Q_H/T_H を失い、低温熱源は Q_L/T_L を得ます。その和が生成されたエントロピーで、可逆サイクルでは 0、実際のサイクルではすべて正になります。

放出熱

Q_L = Q_H − W = 4900 − 1421 = 3479 kJ

絶対温度

T_H = 300 + 273.15 = 573.1 K

T_L = 20 + 273.15 = 293.1 K

熱源のエントロピー変化

ΔS_H = −4900/573.1 = −8.549 kJ/K

ΔS_L = 3479/293.1 = 11.87 kJ/K

S_gen = 11.87 − 8.549 = 3.318 kJ/K

答え

S_gen = 3.318 kJ/K

S_gen > 0 なので、この機関は実現可能ですが不可逆です。

19.波・音・光学

答え: f′ = 514.1 Hz

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、f_n = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、f_n = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

ドップラーの公式

f′ = f·(v − v_o)/(v + v_s) = 600·(343 − 20)/(343 + 34)

f′ = 514.1 Hz

答え

f′ = 514.1 Hz

20.波・音・光学

答え: θ₃ = 8.627 °

干渉と回折：距離 d だけ離れた 2 本のスリットを通った光は、スクリーン上の点に行路差 d·sin θ で届きます。明線は d·sin θ = mλ（m = 0, ±1, ±2, …）の位置に現れます。スクリーンまでの距離が L ≫ d のとき、m 番目の明線は y = mλL/d の位置にあり、縞の間隔は Δy = λL/d です。1 ミリメートルあたり N 本の線をもつ回折格子では d = 1/N で、鋭い極大が d·sin θ = mλ の位置に現れます。sin θ ≤ 1 なので、最高次数は m ≤ d/λ を満たす最大の整数 m です。幅 a の単スリットでは、a·sin θ = mλ（m = ±1, ±2, …）の位置に暗線ができます。

線の間隔

d = 1/100 mm = 1 × 10⁻⁵ m

回折格子の式

sin θ = mλ/d = 3·500 × 10⁻⁹/(1 × 10⁻⁵) = 0.15

θ = 8.627°

答え

θ₃ = 8.627°

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