基礎物理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式: A₁v₁ = A₂v₂
ベルヌーイの定理: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
円の面積: A = πd²/4

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式: pV = nRT
気体定数: R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物質量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

熱機関と冷凍機

効率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
カルノー効率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
冷凍機の COP: COP_R = Q_C/W
ヒートポンプの COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
エネルギー収支: Q_H = W + Q_C

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

54 km/h で走っている車が、一定の減速度 4 m/s² でブレーキをかけて停止する。ブレーキをかけてから停止するまでの時間 t を求めよ。

v₀ = 54 km/ha = −4 m/s²v = 0

t = s

2.運動学むずかしい

地面から高さ 15 m の屋上の端から、ボールを 10 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗は無視し、g = 9.81 m/s² とする。投げてから地面に落ちるまでの時間 t を求めよ。

v₀ = 10 m/sh₀ = 15 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.ニュートンの法則ふつう

質量 30 kg のそりを、水平から 40° 上向きのロープで、150 N の力で水平な雪の上を引く。動摩擦係数は 0.3 である。g = 9.81 m/s² とする。そりの加速度 a を求めよ。

m = 30 kgF = 150 Nθ = 40°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

30° の斜面上にある質量 10 kg のブロックが、斜面の上端にある摩擦のない滑車を通る軽い糸で、つり下げられた質量 9.5 kg のおもりにつながれている。つり下げられたおもりは下向きに動く。ブロックと斜面の間の動摩擦係数は 0.15 である。 g = 9.81 m/s² とする。糸の張力 T を求めよ。

m₁ = 10 kgm₂ = 9.5 kgθ = 30°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

T = N

5.放物運動ふつう

水平な地面からボールを 22 m/s、水平から 50° 上向きに、15 m 先の壁に向かって蹴る。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。ボールはどの高さ y で壁を通過するか。

v₀ = 22 m/sθ = 50°x = 15 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.放物運動むずかしい

ボールを高さ 55 m の崖の上から水平から 30° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでに進む水平距離 x を求めよ。

v₀ = 17 m/sθ = 30°h = 55 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.仕事とエネルギーふつう

ブロックが水平と 45° をなす斜面を静止状態からすべり下りる。動摩擦係数は 0.15 である。斜面に沿って 14 m すべった後の速さ v を求めよ。

θ = 45°μ = 0.15d = 14 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

8.仕事とエネルギーむずかしい

15° の斜面の下端にあるばね定数 2000 N/m のばねを、質量 1 kg のブロックに押し当てて 5 cm 縮めてから放す。ブロックと斜面の間の動摩擦係数は 0.2 である。ブロックは放した点から斜面をどれだけの距離 d 上がって止まるか。（ばねが押す短い距離は無視し、摩擦と重力は全距離 d にわたって作用するとする。）

m = 1 kgk = 2000 N/mx = 5 cmθ = 15°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

d = m

9.運動量と衝突ふつう

摩擦のないレール上で、5 m/s で動く質量 1.5 kg のグライダーが、静止している質量 3 kg のグライダーと完全弾性的に正面衝突する。衝突後の 1 台目のグライダーの速度 v′₁ を求めよ（元の進行方向を正とする）。

m₁ = 1.5 kgm₂ = 3 kgv₁ = 5 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

10.運動量と衝突むずかしい

質量 0.55 kg のボールが 18 m/s で壁に当たり、12 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 20 ms である。壁がボールに与える力積の大きさ J を求めよ。

m = 0.55 kgv_in = 18 m/sv_out = 12 m/sΔt = 20 ms

J = N·s

11.静水圧ふつう

幅 1 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 0.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 0.5 mH = 3 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水圧むずかしい

幅 1 m の鉛直な長方形ゲートが、海水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 2.5 mH = 3 mb = 1 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.連続の式とベルヌーイふつう

水が、100 mm から 50 mm に細くなる水平管を流れる。太い部分の圧力は 230 kPa、流速は 1.25 m/s である。損失を無視して、細い部分の圧力 p₂ を求めよ。

d₁ = 100 mmd₂ = 50 mmp₁ = 230 kPav₁ = 1.25 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.連続の式とベルヌーイむずかしい

密閉水槽の水面上に、ゲージ圧 40 kPa の圧縮空気がある。水面より 2.5 m 下にある直径 30 mm の孔から、水が大気中に流出する。損失を無視して、次を求めよ流量 Q。 g = 9.81 m/s² とする。

p_air = 40 kPa (ゲージ圧)h = 2.5 md = 30 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

Q = L/s

15.理想気体の状態方程式ふつう

700 kPa、60 °C において、O₂ 330 g が占める体積 V はいくらか。理想気体として扱う。

m = 330 gM = 32 g/molP = 700 kPaT = 60 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想気体の状態方程式むずかしい

900 kPa、170 °C におけるArの密度 ρ を、理想気体として求めよ。

M = 39.95 g/molP = 900 kPaT = 170 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.熱機関と冷凍機ふつう

熱機関が 575 °C の高温熱源と 10 °C の低温熱源の間で働く。この機関は 1300 kJ の熱を受け取る。得られる最大の仕事 W_max を求めよ。

T_H = 575 °CT_L = 10 °CQ_H = 1300 kJ

W_max = kJ

18.熱機関と冷凍機むずかしい

ヒートポンプが 2 °C の熱源から熱をくみ上げ、22 °C の暖房システムに 11.5 kW の熱を供給する。実際の COP はこれらの温度間のカルノー COP の 45% である。使う電力 Ẇ を求めよ。

T_H = 22 °CT_L = 2 °Cη_II = 45%Q̇_H = 11.5 kW

Ẇ = kW

19.波・音・光学ふつう

物体が、焦点距離 20 cm の薄い発散レンズの 20 cm 前にあります。倍率 m を求めてください（倒立像では負）。

d_o = 20 cmf = −20 cm

m =

20.波・音・光学むずかしい

光ファイバーのコアは n₁ = 1.5、クラッドは n₂ = 1.45 です。空気中からファイバーの端に入った光が、全反射によってなお導かれる、ファイバーの軸に対する最大の角度 θ_a を求めてください。

n₁ = 1.5n₂ = 1.45n₀ = 1.00

θ_a = °

3溶液

1.運動学

答え: t = 3.75 s

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

単位

v₀ = 54/3.6 = 15 m/s

制動時間

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 15/4 = 3.75 s

答え

t = 3.75 s

2.運動学

答え: t = 3.044 s

運動の式

上向きを正とし、地面は出発点の h₀ 下にあります。

−15 = 10·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 10·t − 15 = 0

2 次方程式を解く

物理的に意味があるのは正の解だけです。

t = (10 + √(10² + 2·9.81·15))/9.81 = 3.044 s

答え

t = 3.044 s

3.ニュートンの法則

答え: a = 1.851 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

垂直抗力

N = m·g − F·sin θ = 294.3 − 150·sin 40° = 197.9 N

水平方向の力

m·a = F·cos θ − μ·N = 114.9 − 59.36

a = 55.54/30 = 1.851 m/s²

答え

a = 1.851 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: T = 77.9 N

糸に沿った力

m₂·g = 93.2 N

m₁·g·sin θ = 49.05 N

μ·m₁·g·cos θ = 12.74 N

系の加速度

a = (93.2 − 49.05 − 12.74)/19.5 = 1.61 m/s²

つり下げられたおもりから求める張力

m₂·g − T = m₂·a → T = 9.5·(9.81 − 1.61) = 77.9 N

答え

T = 77.9 N

5.放物運動

答え: y = 12.36 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

壁までの時間

v_x = 22·cos 50° = 14.14 m/s

t = x/v_x = 15/14.14 = 1.061 s

その時刻での高さ

y = 16.85·1.061 − ½·9.81·1.061² = 12.36 m

答え

y = 12.36 m

壁の位置では、ボールはまだ上昇中です。

6.放物運動

答え: x = 63.68 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 17·cos 30° = 14.72 m/s

v_y = v₀·sin θ = 17·sin 30° = 8.5 m/s

滞空時間

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 55 + 8.5·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (8.5 + √(72.25 + 1079))/9.81 = 4.325 s

水平距離

x = v_x·t = 14.72·4.325 = 63.68 m

答え

x = 63.68 m

7.仕事とエネルギー

答え: v = 12.85 m/s

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

斜面に沿ったエネルギー収支

ブロックは高さ d·sin θ だけ下がり、摩擦が μmg·cos θ·d を奪います。質量は消えます。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·14·(0.7071 − 0.15·0.7071)) = 12.85 m/s

答え

v = 12.85 m/s

8.仕事とエネルギー

答え: d = 0.5638 m

ばねのエネルギー

x = 5 cm = 0.05 m

½kx² = ½·2000·0.05² = 2.5 J

斜面に沿ったエネルギー収支

m·g = 1·9.81 = 9.81 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 2.5/(9.81·(0.2588 + 0.2·0.9659)) = 0.5638 m

答え

d = 0.5638 m

9.運動量と衝突

答え: v′₁ = −1.667 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

静止した相手との弾性衝突

運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くと、この 2 つの結果が得られます。

v′₁ = (1.5 − 3)/(1.5 + 3)·5 = −1.667 m/s

v′₂ = 2·1.5/(1.5 + 3)·5 = 3.333 m/s

答え

v′₁ = −1.667 m/s

負の符号は、1 台目のグライダーがはね返ることを意味します。

10.運動量と衝突

答え: J = 16.5 N·s

運動量の変化

J = m·Δv = 0.55·(12 + 18) = 16.5 N·s

答え

J = 16.5 N·s

11.静水圧

答え: F = 58.86 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 0.5 + 3/2 = 2 m

A = H·b = 3·1 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2·3 = 58.86 kN

答え

F = 58.86 kN

12.静水圧

答え: F = 120.7 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 2.5 + 3/2 = 4 m

A = H·b = 3·1 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·4·3 = 120.7 kN

答え

F = 120.7 kN

13.連続の式とベルヌーイ

答え: p₂ = 218.3 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1.25·(100/50)² = 5 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1.25² − 5²)/1000 = −11.72 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 230 + (−11.72) = 218.3 kPa

答え

p₂ = 218.3 kPa

14.連続の式とベルヌーイ

答え: Q = 8.03 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

水面から噴流へのベルヌーイの式

v = √(2·(40000/1000 + 9.81·2.5)) = 11.36 m/s

流量

Q = A·v = 0.0007069·11.36 = 0.00803 m³/s = 8.03 L/s

答え

Q = 8.03 L/s

15.理想気体の状態方程式

答え: V = 40.81 L

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = 330/32 = 10.31 mol

T = 60 + 273.15 = 333.1 K

体積

V = nRT/P = 10.31·8.314·333.1/700 = 40.81 L

答え

V = 40.81 L

16.理想気体の状態方程式

答え: ρ = 9.759 kg/m³

理想気体の密度：ρ = PM/(RT)。

状態方程式を変形する

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 170 + 273.15 = 443.1 K

密度

ρ = 900·39.95/(8.314·443.1) = 9.759 kg/m³

答え

ρ = 9.759 kg/m³

17.熱機関と冷凍機

答え: W_max = 866 kJ

第 2 法則による限界：絶対温度 T_H と T_L の熱源の間で働くどんなサイクルも、可逆（カルノー）サイクルを上回れません：η_max = 1 − T_L/T_H、COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)、COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。エネルギーは常に保存されます：Q_H = W + Q_L。

絶対温度

T_H = 575 + 273.15 = 848.1 K

T_L = 10 + 273.15 = 283.1 K

カルノー効率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 283.1/848.1 = 66.62 %

最大仕事

W_max = η_max·Q_H = 0.6662·1300 = 866 kJ

答え

W_max = 866 kJ

18.熱機関と冷凍機

答え: Ẇ = 1.732 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

絶対温度

T_H = 22 + 273.15 = 295.1 K

T_L = 2 + 273.15 = 275.1 K

カルノー COP と実際の COP

COP_max = 295.1/(295.1 − 275.1) = 14.76

COP = 0.45·14.76 = 6.641

入力動力

Ẇ = Q̇_H/COP = 11.5/6.641 = 1.732 kW

答え

Ẇ = 1.732 kW

19.波・音・光学

答え: m = 0.5

幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/d_o + 1/d_i に従い、倍率は m = −d_i/d_o です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。d_i > 0 は実像、d_i < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。

薄いレンズの式

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−20) − 1/20

d_i = −10 cm

倍率

m = −d_i/d_o = −(−10)/20 = 0.5

答え

m = 0.5

20.波・音・光学

答え: θ_a = 22.59 °

クラッドでの臨界角

sin θc = 1.45/1.5 = 0.9667 → θc = 75.16°

開口数

NA = √(1.5² − 1.45²) = 0.3841

受光角

θ_a = arcsin(0.3841) = 22.59°

答え

θ_a = 22.59°

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