基礎物理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式: A₁v₁ = A₂v₂
ベルヌーイの定理: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
円の面積: A = πd²/4

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式: pV = nRT
気体定数: R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物質量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

熱機関と冷凍機

効率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
カルノー効率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
冷凍機の COP: COP_R = Q_C/W
ヒートポンプの COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
エネルギー収支: Q_H = W + Q_C

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

飛行機が静止状態から滑走路に沿って 1.5 m/s² で一様に加速する。1300 m 進んだ後の速さ v を求めよ。

v₀ = 0a = 1.5 m/s²s = 1300 m

v = m/s

2.運動学むずかしい

地面から高さ 35 m の屋上の端から、ボールを 5 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗は無視し、g = 9.81 m/s² とする。投げてから地面に落ちるまでの時間 t を求めよ。

v₀ = 5 m/sh₀ = 35 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.ニュートンの法則ふつう

箱が水平な床の上を初速 7 m/s ですべり、6.2 m 進んで止まる。g = 9.81 m/s² とする。動摩擦係数 μ を求めよ。

v₀ = 7 m/sd = 6.2 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 1 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 5 kg のおもりとつながれている。ブロックと机の間の動摩擦係数は 0.25 である。 g = 9.81 m/s² とする。糸の張力 T を求めよ。

m₁ = 1 kgm₂ = 5 kgμ = 0.25g = 9.81 m/s²

T = N

5.放物運動ふつう

ボールを平らな地面から水平から 20° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでの飛行時間 t を求めよ。

v₀ = 10 m/sθ = 20°g = 9.81 m/s²

t = s

6.放物運動むずかしい

ボールを高さ 5 m の崖の上から水平から 45° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでに進む水平距離 x を求めよ。

v₀ = 15 m/sθ = 45°h = 5 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.仕事とエネルギーふつう

質量 10 kg のブロックが水平と 30° をなす斜面を 17 m すべり下りる。動摩擦係数は 0.1 である。摩擦に逆らってした仕事 W_f を求めよ。

m = 10 kgθ = 30°μ = 0.1d = 17 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

8.仕事とエネルギーむずかしい

質量 1 kg のブロックを、なめらかなスロープ上の高さ 1.5 m から静かに放す。下で長さ 1.5 m の粗い水平区間（μ = 0.25）を通り、その後なめらかな面でばね（k = 1500 N/m）に当たる。ブロックがばねに達したときの速さ v を求めよ。

m = 1 kgh = 1.5 mL = 1.5 mμ = 0.25k = 1500 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.運動量と衝突ふつう

質量 15 g の弾丸を、軽い糸でつり下げた質量 2 kg の木片に水平に撃ち込むと、弾丸は木片の中にとどまる。木片は初めより 12 cm 高い位置まで振れ上がる。g = 9.81 m/s² とする。衝突前の弾丸の速さ v を求めよ。

m = 15 gM = 2 kgh = 12 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.運動量と衝突むずかしい

質量 1200 kg の自動車が、駐車中の質量 1700 kg の自動車に衝突する。2 台は一体となって 24.5 m すべって止まる。タイヤと路面の間の動摩擦係数は 0.5 である。g = 9.81 m/s² とする。衝突直前の 1 台目の自動車の速さ v₁ を求めよ。

m₁ = 1200 kgm₂ = 1700 kgd = 24.5 mμ = 0.5g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

11.静水圧ふつう

幅 1 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 0.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 0.5 mH = 1 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水圧むずかしい

幅 3 m の鉛直な長方形ゲートが、海水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 4 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ y_cp を求めよ。

d = 4 mH = 3 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.連続の式とベルヌーイふつう

水が、100 mm から 50 mm に細くなる水平管を流れる。太い部分の圧力は 230 kPa、流速は 2 m/s である。損失を無視して、細い部分の圧力 p₂ を求めよ。

d₁ = 100 mmd₂ = 50 mmp₁ = 230 kPav₁ = 2 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.連続の式とベルヌーイむずかしい

密閉水槽の水面上に、ゲージ圧 70 kPa の圧縮空気がある。水面より 4 m 下にある直径 50 mm の孔から、水が大気中に流出する。損失を無視して、次を求めよ噴流速度 v。 g = 9.81 m/s² とする。

p_air = 70 kPa (ゲージ圧)h = 4 md = 50 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

v = m/s

15.理想気体の状態方程式ふつう

容積 10 L のタンクに、温度 55 °C のHeが 130 g 入っている。理想気体として圧力 P を求めよ。

m = 130 gM = 4.003 g/molV = 10 LT = 55 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.理想気体の状態方程式むずかしい

一定量のCH₄が 100 kPa、10 L、15 °C から 750 kPa、150 °C に変化する。新しい体積 V₂ を求めよ。

P₁ = 100 kPaV₁ = 10 LT₁ = 15 °CP₂ = 750 kPaT₂ = 150 °C

V₂ = L

17.熱機関と冷凍機ふつう

熱機関が 775 °C の高温熱源と 25 °C の低温熱源の間で働く。可能な最大の熱効率 η_max を求めよ。

T_H = 775 °CT_L = 25 °C

η_max = %

18.熱機関と冷凍機むずかしい

熱機関が 1 サイクルあたり 400 °C の熱源から 900 kJ の熱を受け取り、396 kJ の仕事をして、残りを 30 °C の熱源へ放出する。1 サイクルあたりの全エントロピー生成量 S_gen を求めよ。

T_H = 400 °CT_L = 30 °CQ_H = 900 kJW = 396 kJ

S_gen = kJ/K

19.波・音・光学ふつう

透明なブロックの内部の光は、35° を超えるすべての入射角で、エタノール（n = 1.36）との境界で全反射します。ブロックの屈折率 n₁ を求めてください。

θ_c = 35°n₂ = 1.36

n₁ =

20.波・音・光学むずかしい

2 枚の薄いレンズが同じ光軸上に 60 cm 離れて置かれています：レンズ 1 は f₁ = 12 cm、レンズ 2 は f₂ = −20 cm です。物体はレンズ 1 の 18 cm 前にあります。レンズ 2 から測った最終的な像の位置 d_i2 を求めてください（レンズ 2 より先が正、実像が正の規則）。

f₁ = 12 cmf₂ = −20 cms = 60 cmd_o = 18 cm

d_i2 = cm

3溶液

1.運動学

答え: v = 62.45 m/s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

その距離を進んだ後の速さ

v = √(2·a·s) = √(2·1.5·1300) = 62.45 m/s

答え

v = 62.45 m/s

(224.8 km/h)

2.運動学

答え: t = 3.229 s

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

運動の式

上向きを正とし、地面は出発点の h₀ 下にあります。

−35 = 5·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 5·t − 35 = 0

2 次方程式を解く

物理的に意味があるのは正の解だけです。

t = (5 + √(5² + 2·9.81·35))/9.81 = 3.229 s

答え

t = 3.229 s

3.ニュートンの法則

答え: μ = 0.4028

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

減速度

a = v₀²/(2d) = 7²/(2·6.2) = 3.952 m/s²

摩擦係数

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 3.952/9.81 = 0.4028

答え

μ = 0.4028

4.ニュートンの法則

答え: T = 10.22 N

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (49.05 − 2.453)/6 = 7.766 m/s²

机の上のブロックから求める張力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 1·7.766 + 2.453 = 10.22 N

答え

T = 10.22 N

5.放物運動

答え: t = 0.6973 s

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 10·cos 20° = 9.397 m/s

v_y = v₀·sin θ = 10·sin 20° = 3.42 m/s

滞空時間

発射点と着地点が同じ高さ：t = 2v_y/g。

t = 2·3.42/9.81 = 0.6973 s

答え

t = 0.6973 s

6.放物運動

答え: x = 27.16 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 15·cos 45° = 10.61 m/s

v_y = v₀·sin θ = 15·sin 45° = 10.61 m/s

滞空時間

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 5 + 10.61·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (10.61 + √(112.5 + 98.1))/9.81 = 2.561 s

水平距離

x = v_x·t = 10.61·2.561 = 27.16 m

答え

x = 27.16 m

7.仕事とエネルギー

答え: W_f = 144.4 J

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 98.1·0.866 = 84.96 N

F = μN = 0.1·84.96 = 8.496 N

摩擦に逆らう仕事

W_f = F·d = 8.496·17 = 144.4 J

答え

W_f = 144.4 J

8.仕事とエネルギー

答え: v = 4.698 m/s

粗い区間を通過した後のエネルギー

スロープはなめらかなので、エネルギーを奪うのは粗い区間だけです。

mgh − μmgL = 9.81·(1.5 − 0.25·1.5) = 11.04 J

ばねに達したときの速さ

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·1.125) = 4.698 m/s

答え

v = 4.698 m/s

9.運動量と衝突

答え: v = 206.1 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

衝突後の振れ上がり

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.12) = 1.534 m/s

衝突

m·v = (m + M)·V → v = (0.015 + 2)·1.534/0.015 = 206.1 m/s

答え

v = 206.1 m/s

10.運動量と衝突

答え: v₁ = 37.47 m/s

衝突後の速さ

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.5·9.81·24.5) = 15.5 m/s

衝突での運動量

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2900·15.5/1200 = 37.47 m/s

答え

v₁ = 37.47 m/s

(134.9 km/h)

11.静水圧

答え: F = 9.81 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 0.5 + 1/2 = 1 m

A = H·b = 1·1 = 1 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·1·1 = 9.81 kN

答え

F = 9.81 kN

12.静水圧

答え: y_cp = 5.636 m

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 4 + 3/2 = 5.5 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·5.5·9 = 497.7 kN

圧力中心

圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。

I_c = b·H³/12 = 3·3³/12 = 6.75 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 5.5 + 6.75/(5.5·9) = 5.636 m

答え

y_cp = 5.636 m

13.連続の式とベルヌーイ

答え: p₂ = 200 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2·(100/50)² = 8 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2² − 8²)/1000 = −30 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 230 + (−30) = 200 kPa

答え

p₂ = 200 kPa

14.連続の式とベルヌーイ

答え: v = 14.78 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

水面から噴流へのベルヌーイの式

v = √(2·(70000/1000 + 9.81·4)) = 14.78 m/s

答え

v = 14.78 m/s

15.理想気体の状態方程式

答え: P = 8860 kPa

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = m/M = 130/4.003 = 32.48 mol

T = 55 + 273.15 = 328.1 K

圧力

P = nRT/V = 32.48·8.314·328.1/0.01 = 8860 kPa

答え

P = 8860 kPa

16.理想気体の状態方程式

答え: V₂ = 1.958 L

ボイル・シャルルの法則：一定量の理想気体では P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂。

絶対温度

T₁ = 288.1 K, T₂ = 423.1 K

ボイル・シャルルの法則

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 10·(100/750)·(423.1/288.1) = 1.958 L

答え

V₂ = 1.958 L

17.熱機関と冷凍機

答え: η_max = 71.55 %

第 2 法則による限界：絶対温度 T_H と T_L の熱源の間で働くどんなサイクルも、可逆（カルノー）サイクルを上回れません：η_max = 1 − T_L/T_H、COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)、COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。エネルギーは常に保存されます：Q_H = W + Q_L。

絶対温度

T_H = 775 + 273.15 = 1048 K

T_L = 25 + 273.15 = 298.1 K

カルノー効率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 298.1/1048 = 71.55 %

答え

η_max = 71.55 %

18.熱機関と冷凍機

答え: S_gen = 0.3255 kJ/K

エントロピー生成：1 サイクル全体で作動流体の正味のエントロピー変化はありません。高温熱源は Q_H/T_H を失い、低温熱源は Q_L/T_L を得ます。その和が生成されたエントロピーで、可逆サイクルでは 0、実際のサイクルではすべて正になります。

放出熱

Q_L = Q_H − W = 900 − 396 = 504 kJ

絶対温度

T_H = 400 + 273.15 = 673.1 K

T_L = 30 + 273.15 = 303.1 K

熱源のエントロピー変化

ΔS_H = −900/673.1 = −1.337 kJ/K

ΔS_L = 504/303.1 = 1.663 kJ/K

S_gen = 1.663 − 1.337 = 0.3255 kJ/K

答え

S_gen = 0.3255 kJ/K

S_gen > 0 なので、この機関は実現可能ですが不可逆です。

19.波・音・光学

答え: n₁ = 2.371

幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/d_o + 1/d_i に従い、倍率は m = −d_i/d_o です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。d_i > 0 は実像、d_i < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。

ブロックの屈折率

n₁ = n₂/sin θc = 1.36/0.5736 = 2.371

答え

n₁ = 2.371

20.波・音・光学

答え: d_i2 = −10.91 cm

レンズ 1 による像

1/d_i1 = 1/12 − 1/18 → d_i1 = 36 cm

レンズ 2 の物体

d_o2 = 60 − 36 = 24 cm

最終的な像

1/d_i2 = 1/(−20) − 1/24 → d_i2 = −10.91 cm

答え

d_i2 = −10.91 cm

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