基礎物理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

新しい問題科目に戻る

印刷ウィンドウで「PDF として保存」を選ぶと、コピーを端末に保存できます。

1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式: A₁v₁ = A₂v₂
ベルヌーイの定理: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
円の面積: A = πd²/4

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式: pV = nRT
気体定数: R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物質量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

熱機関と冷凍機

効率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
カルノー効率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
冷凍機の COP: COP_R = Q_C/W
ヒートポンプの COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
エネルギー収支: Q_H = W + Q_C

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

72 km/h で走っている車が、一定の減速度 3 m/s² でブレーキをかけて停止する。ブレーキをかけてから停止するまでの時間 t を求めよ。

v₀ = 72 km/ha = −3 m/s²v = 0

t = s

2.運動学むずかしい

石を井戸に静かに落とす。石を放してから 3.7 s 後に水音が聞こえる。音速は 343 m/s とし、空気抵抗を無視して g = 9.81 m/s² とする。井戸の深さ d を求めよ。

t_total = 3.7 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.ニュートンの法則ふつう

質量 8 kg と 3 kg のおもりが、軽くて摩擦のない滑車の両側に軽い糸でつながれてつり下げられている。系を静かに放す。g = 9.81 m/s² とする。糸の張力 T を求めよ。

m₁ = 8 kgm₂ = 3 kgg = 9.81 m/s²

T = N

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な床の上の 2 つのブロックが軽い水平な糸でつながれている。水平な力 135 N が前の 11 kg のブロックを引き、9 kg のブロックは後ろから引かれる。両方のブロックの動摩擦係数は 0.15 である。g = 9.81 m/s² とする。ブロックの加速度 a を求めよ。

m₁ = 9 kgm₂ = 11 kgF = 135 Nμ = 0.15g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.放物運動ふつう

水平な地面からボールを水平から 25° 上向きに打ち出すと、95 m 先に着地する。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。打ち出した速さ v₀ を求めよ。

θ = 25°R = 95 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.放物運動むずかしい

高さ 50 m のがけの上から、ボールを 16 m/s、水平から 20° 上向きに打ち出す。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。ボールは水平から下向きにどの角度 α で地面に当たるか。

v₀ = 16 m/sθ = 20°h = 50 mg = 9.81 m/s²

α = °

7.仕事とエネルギーふつう

水平な道路を 120 km/h で走る自動車が急ブレーキをかけ、車輪がロックしたまますべって停止する。タイヤと路面の間の動摩擦係数は 0.8 である。停止距離 d を求めよ。

v = 120 km/hμ = 0.8g = 9.81 m/s²

d = m

8.仕事とエネルギーむずかしい

質量 2 kg の台車が、半径 4 m の鉛直な円形ループにつながるなめらかな軌道上の高さ 16 m から静かに放される。ループの最高点で軌道が台車に及ぼす垂直抗力 N を求めよ。

m = 2 kgh = 16 mR = 4 mg = 9.81 m/s²

N = N

9.運動量と衝突ふつう

質量 12 g の弾丸を、軽い糸でつり下げた質量 3 kg の木片に水平に撃ち込むと、弾丸は木片の中にとどまる。木片は初めより 20 cm 高い位置まで振れ上がる。g = 9.81 m/s² とする。衝突前の弾丸の速さ v を求めよ。

m = 12 gM = 3 kgh = 20 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.運動量と衝突むずかしい

質量 0.5 kg のボールが 25 m/s で壁に当たり、15 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 40 ms である。壁がボールに及ぼす平均の力 F_avg を求めよ。

m = 0.5 kgv_in = 25 m/sv_out = 15 m/sΔt = 40 ms

F_avg = N

11.静水圧ふつう

幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 2.5 mH = 2.5 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水圧むずかしい

幅 3 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 4 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 4 mH = 2.5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.連続の式とベルヌーイふつう

水が、75 mm から 25 mm に細くなる水平管を流れる。太い部分の圧力は 390 kPa、流速は 0.75 m/s である。損失を無視して、細い部分の圧力 p₂ を求めよ。

d₁ = 75 mmd₂ = 25 mmp₁ = 390 kPav₁ = 0.75 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.連続の式とベルヌーイむずかしい

水が、150 mm から 100 mm に細くなりながら 3 m 上昇する管を上向きに流れる。断面 1 での圧力は 390 kPa、流速は 0.75 m/s である。損失を無視して、断面 2 での圧力 p₂ を求めよ。

d₁ = 150 mmd₂ = 100 mmp₁ = 390 kPav₁ = 0.75 m/sΔz = 3 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.理想気体の状態方程式ふつう

容積 10 L のタンクに、温度 5 °C のO₂が 290 g 入っている。理想気体として圧力 P を求めよ。

m = 290 gM = 32 g/molV = 10 LT = 5 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.理想気体の状態方程式むずかしい

500 kPa、10 °C におけるN₂の密度 ρ を、理想気体として求めよ。

M = 28.01 g/molP = 500 kPaT = 10 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.熱機関と冷凍機ふつう

熱機関が 225 °C の高温熱源と 35 °C の低温熱源の間で働く。この機関は 800 kJ の熱を受け取る。得られる最大の仕事 W_max を求めよ。

T_H = 225 °CT_L = 35 °CQ_H = 800 kJ

W_max = kJ

18.熱機関と冷凍機むずかしい

2 つのカルノー機関が直列に働く。機関 A は 750 °C の熱源から熱を受け取り、温度 T_m の中間熱源へ熱を放出する。機関 B はその熱をすべて受け取り、40 °C の熱源へ熱を放出する。両方の機関の仕事は等しい。T_m を °C で求めよ。

T_H = 750 °CT_L = 40 °C

T_m = °C

19.波・音・光学ふつう

両端が開いた管の長さは 1.5 m です。音速は 343 m/s です。その第 4 倍音の振動数 f₄ を求めてください。

v = 343 m/sn = 4L = 1.5 m

f₄ = Hz

20.波・音・光学むずかしい

光ファイバーのコアは n₁ = 1.48、クラッドは n₂ = 1.38 です。その開口数 NA を求めてください。

n₁ = 1.48n₂ = 1.38

NA =

3溶液

1.運動学

答え: t = 6.667 s

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

単位

v₀ = 72/3.6 = 20 m/s

制動時間

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 20/3 = 6.667 s

答え

t = 6.667 s

2.運動学

答え: d = 60.86 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

時間の 2 つの部分

½·9.81·t₁² = 343·(3.7 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 1269 = 0

落下時間

物理的に意味があるのは正の解だけです。

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·1269))/(2·4.905) = 3.523 s

深さ

d = ½·9.81·3.523² = 60.86 m

答え

d = 60.86 m

3.ニュートンの法則

答え: T = 42.81 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

加速度

正味の駆動力は重さの差で、それが全質量を動かします。

a = (8 − 3)·9.81/(8 + 3) = 4.459 m/s²

軽いおもりから求める張力

T − m₂·g = m₂·a → T = 3·(9.81 + 4.459) = 42.81 N

答え

T = 42.81 N

4.ニュートンの法則

答え: a = 5.279 m/s²

系全体

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (135 − 29.43)/20 = 5.279 m/s²

答え

a = 5.279 m/s²

5.放物運動

答え: v₀ = 34.88 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

水平到達距離の式を v₀ について解く

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·95/sin 50°) = 34.88 m/s

答え

v₀ = 34.88 m/s

6.放物運動

答え: α = 64.69 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

初速度を分解する

v_x = 16·cos 20° = 15.04 m/s

v_y0 = 16·sin 20° = 5.472 m/s

衝突時の鉛直方向の速さ

エネルギー、または鉛直方向の v² = v₀² + 2as。

v_y = √(5.472² + 2·9.81·50) = 31.8 m/s

衝突角

tan α = v_y/v_x = 31.8/15.04 → α = 64.69°

答え

α = 64.69°

7.仕事とエネルギー

答え: d = 70.79 m

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

基本単位での速さ

v = 120/3.6 = 33.33 m/s

エネルギー収支

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 33.33²/(2·0.8·9.81) = 70.79 m

答え

d = 70.79 m

速さを 2 倍にすると、停止距離は 4 倍になります。

8.仕事とエネルギー

答え: N = 58.86 N

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。円軌道上では、中心に向かう合力は mv²/r に等しくなければなりません。

最高点での速さ

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(16 − 8) = 157 m²/s²

最高点での力

m·g = 2·9.81 = 19.62 N

N = mv²/R − mg = 2·157/4 − 19.62 = 58.86 N

答え

N = 58.86 N

h = 2.5R のとき台車はぎりぎりで一周でき、最高点で N = 0 になります。

9.運動量と衝突

答え: v = 497.2 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

衝突後の振れ上がり

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.2) = 1.981 m/s

衝突

m·v = (m + M)·V → v = (0.012 + 3)·1.981/0.012 = 497.2 m/s

答え

v = 497.2 m/s

10.運動量と衝突

答え: F_avg = 500 N

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

運動量の変化

J = m·Δv = 0.5·(15 + 25) = 20 N·s

平均の力

F_avg = J/Δt = 20/0.04 = 500 N

答え

F_avg = 500 N

11.静水圧

答え: F = 138 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 2.5 + 2.5/2 = 3.75 m

A = H·b = 2.5·1.5 = 3.75 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.75·3.75 = 138 kN

答え

F = 138 kN

12.静水圧

答え: F = 386.3 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 4 + 2.5/2 = 5.25 m

A = H·b = 2.5·3 = 7.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·5.25·7.5 = 386.3 kN

答え

F = 386.3 kN

13.連続の式とベルヌーイ

答え: p₂ = 367.5 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0.75·(75/25)² = 6.75 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0.75² − 6.75²)/1000 = −22.5 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 390 + (−22.5) = 367.5 kPa

答え

p₂ = 367.5 kPa

14.連続の式とベルヌーイ

答え: p₂ = 359.4 kPa

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0.75·(150/100)² = 1.688 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0.75² − 1.688²)/1000 = −1.143 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·3/1000 = 29.43 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 390 + (−1.143) − 29.43 = 359.4 kPa

答え

p₂ = 359.4 kPa

15.理想気体の状態方程式

答え: P = 2096 kPa

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = m/M = 290/32 = 9.063 mol

T = 5 + 273.15 = 278.1 K

圧力

P = nRT/V = 9.063·8.314·278.1/0.01 = 2096 kPa

答え

P = 2096 kPa

16.理想気体の状態方程式

答え: ρ = 5.949 kg/m³

理想気体の密度：ρ = PM/(RT)。

状態方程式を変形する

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 10 + 273.15 = 283.1 K

密度

ρ = 500·28.01/(8.314·283.1) = 5.949 kg/m³

答え

ρ = 5.949 kg/m³

17.熱機関と冷凍機

答え: W_max = 305.1 kJ

第 2 法則による限界：絶対温度 T_H と T_L の熱源の間で働くどんなサイクルも、可逆（カルノー）サイクルを上回れません：η_max = 1 − T_L/T_H、COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)、COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。エネルギーは常に保存されます：Q_H = W + Q_L。

絶対温度

T_H = 225 + 273.15 = 498.1 K

T_L = 35 + 273.15 = 308.1 K

カルノー効率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 308.1/498.1 = 38.14 %

最大仕事

W_max = η_max·Q_H = 0.3814·800 = 305.1 kJ

答え

W_max = 305.1 kJ

18.熱機関と冷凍機

答え: T_m = 395 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

絶対温度

T_H = 750 + 273.15 = 1023 K

T_L = 40 + 273.15 = 313.1 K

仕事が等しい

W = Q·(1 − T_low/T_high) で、Q/T はどの熱源でも同じなので、W は温度降下に比例します。

T_m = (1023 + 313.1)/2 = 668.1 K = 395 °C

答え

T_m = 395 °C

19.波・音・光学

答え: f₄ = 457.3 Hz

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、f_n = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、f_n = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

このモードの波長

λ = 2L/n = 2·1.5/4 = 0.75 m

振動数

f = v/λ = 343/0.75 = 457.3 Hz

答え

f₄ = 457.3 Hz

20.波・音・光学

答え: NA = 0.5348

幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/d_o + 1/d_i に従い、倍率は m = −d_i/d_o です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。d_i > 0 は実像、d_i < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。

クラッドでの臨界角

sin θc = 1.38/1.48 = 0.9324 → θc = 68.82°

開口数

NA = √(1.48² − 1.38²) = 0.5348

答え

NA = 0.5348

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-for-engineers