基礎物理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式: A₁v₁ = A₂v₂
ベルヌーイの定理: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
円の面積: A = πd²/4

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式: pV = nRT
気体定数: R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物質量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

熱機関と冷凍機

効率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
カルノー効率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
冷凍機の COP: COP_R = Q_C/W
ヒートポンプの COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
エネルギー収支: Q_H = W + Q_C

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

60 km/h で走っている車が、一定の減速度 6.5 m/s² でブレーキをかけて停止する。制動距離 s を求めよ。

v₀ = 60 km/ha = −6.5 m/s²v = 0

s = m

2.運動学むずかしい

地面から高さ 35 m の屋上の端から、ボールを 10 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗は無視し、g = 9.81 m/s² とする。地面からの最高点の高さ h_max を求めよ。

v₀ = 10 m/sh₀ = 35 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.ニュートンの法則ふつう

質量 30 kg の箱を、水平と 25° をなす斜面に平行な力で、斜面を一定の速さで押し上げる。動摩擦係数は 0.1 である。g = 9.81 m/s² とする。押す力 F を求めよ。

m = 30 kgθ = 25°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

F = N

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 2.5 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 1 kg のおもりとつながれている。ブロックと机の間の動摩擦係数は 0.2 である。 g = 9.81 m/s² とする。全体の加速度 a を求めよ。

m₁ = 2.5 kgm₂ = 1 kgμ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.放物運動ふつう

ボールを平らな地面から水平から 25° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでに進む水平距離 x を求めよ。

v₀ = 20 m/sθ = 25°g = 9.81 m/s²

x = m

6.放物運動むずかしい

地面の高さからボールを 22 m/s、水平から 50° 上向きに投げる。ボールは下降中に、高さ 5 m の建物の平らな屋上に着地する。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。投げた点から着地点までの水平距離 x を求めよ。

v₀ = 22 m/sθ = 50°h_roof = 5 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.仕事とエネルギーふつう

質量 2 kg のブロックが水平と 40° をなす斜面を 4 m すべり下りる。動摩擦係数は 0.1 である。摩擦に逆らってした仕事 W_f を求めよ。

m = 2 kgθ = 40°μ = 0.1d = 4 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

8.仕事とエネルギーむずかしい

質量 4 kg のブロックを、なめらかなスロープ上の高さ 1.5 m から静かに放す。下で長さ 2.5 m の粗い水平区間（μ = 0.3）を通り、その後なめらかな面でばね（k = 5000 N/m）に当たる。ばねの最大縮み x を求めよ。

m = 4 kgh = 1.5 mL = 2.5 mμ = 0.3k = 5000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

9.運動量と衝突ふつう

摩擦のないレール上で、11 m/s で動く質量 3 kg のグライダーが、静止している質量 0.5 kg のグライダーと完全弾性的に正面衝突する。衝突後の 1 台目のグライダーの速度 v′₁ を求めよ（元の進行方向を正とする）。

m₁ = 3 kgm₂ = 0.5 kgv₁ = 11 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

10.運動量と衝突むずかしい

質量 20 g の弾丸を、長さ 0.9 m の軽い糸でつり下げた質量 3 kg の木片に水平に撃ち込むと、弾丸は木片の中にとどまる。糸は鉛直から最大 20° まで振れる。g = 9.81 m/s² とする。衝突前の弾丸の速さ v を求めよ。

m = 20 gM = 3 kgL = 0.9 mθ = 20°g = 9.81 m/s²

v = m/s

11.静水圧ふつう

幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 2 mH = 3 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水圧むずかしい

幅 1 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ y_cp を求めよ。

d = 2 mH = 2.5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.連続の式とベルヌーイふつう

水が、100 mm から 40 mm に細くなる水平管を流れる。太い部分の圧力は 240 kPa、流速は 1.75 m/s である。損失を無視して、細い部分の圧力 p₂ を求めよ。

d₁ = 100 mmd₂ = 40 mmp₁ = 240 kPav₁ = 1.75 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.連続の式とベルヌーイむずかしい

内径 20 mm のホースで開放水槽から水をサイホンで吸い出す。ホースの最高点 C は水面より 2.5 m 上にあり、出口（大気に開放）は水面より 1 m 下にある。損失を無視し、g = 9.81 m/s² とする。点 C での絶対圧力 p_C を求めよ。大気圧は 101.3 kPa である。

d = 20 mmz_C = +2.5 mz₂ = −1 mg = 9.81 m/s²p_atm = 101.3 kPa

p_C = kPa

15.理想気体の状態方程式ふつう

容積 50 L のタンクに、温度 80 °C のCH₄が 170 g 入っている。理想気体として圧力 P を求めよ。

m = 170 gM = 16.04 g/molV = 50 LT = 80 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.理想気体の状態方程式むずかしい

650 kPa、0 °C におけるHeの密度 ρ を、理想気体として求めよ。

M = 4.003 g/molP = 650 kPaT = 0 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.熱機関と冷凍機ふつう

熱機関が 650 °C の熱源から熱を受け取り、30 °C の周囲へ熱を放出する。実際の熱効率は 50% である。第二法則効率（実際の効率とカルノー効率の比）η_II を求めよ。

T_H = 650 °CT_L = 30 °Cη = 50%

η_II = %

18.熱機関と冷凍機むずかしい

熱機関が 1 サイクルあたり 400 °C の熱源から 2700 kJ の熱を受け取り、729 kJ の仕事をして、残りを 40 °C の熱源へ放出する。1 サイクルあたりの全エントロピー生成量 S_gen を求めよ。

T_H = 400 °CT_L = 40 °CQ_H = 2700 kJW = 729 kJ

S_gen = kJ/K

19.波・音・光学ふつう

600 Hz の音源が、静止している観測者から遠ざかるように 15 m/s で動いています。音速は 343 m/s です。観測者に聞こえる振動数 f′ を求めてください。

f = 600 Hzv = 343 m/sv_s = 15 m/s

f′ = Hz

20.波・音・光学むずかしい

1 ミリメートルあたり 500 本の線をもつ回折格子で、あるスペクトル線の次数 2 の極大が、直進方向から 36.9° の位置に見えます。そのスペクトル線の波長 λ を求めてください。

N = 500 mm⁻¹θ₂ = 36.9°m = 2

λ = nm

3溶液

1.運動学

答え: s = 21.37 m

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

単位

v₀ = 60/3.6 = 16.67 m/s

制動距離

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 16.67²/(2·6.5) = 21.37 m

答え

s = 21.37 m

2.運動学

答え: h_max = 40.1 m

屋上からの上昇距離

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 10²/(2·9.81) = 5.097 m

地面からの高さ

h_max = 35 + 5.097 = 40.1 m

答え

h_max = 40.1 m

3.ニュートンの法則

答え: F = 151 N

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

一定の速さ：力はつり合っています。

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

押す力

F = 124.4 + 26.67 = 151 N

答え

F = 151 N

4.ニュートンの法則

答え: a = 1.401 m/s²

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (9.81 − 4.905)/3.5 = 1.401 m/s²

答え

a = 1.401 m/s²

5.放物運動

答え: x = 31.24 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 20·cos 25° = 18.13 m/s

v_y = v₀·sin θ = 20·sin 25° = 8.452 m/s

滞空時間

発射点と着地点が同じ高さ：t = 2v_y/g。

t = 2·8.452/9.81 = 1.723 s

水平距離

x = v_x·t = 18.13·1.723 = 31.24 m

答え

x = 31.24 m

6.放物運動

答え: x = 43.95 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

v_x = 14.14 m/s, v_y = 16.85 m/s

屋上に着地するまでの時間

大きい方の解：ボールは下降中です。

5 = 16.85·t − 4.905·t²

t = (16.85 + √(16.85² − 2·9.81·5))/9.81 = 3.108 s

水平距離

x = v_x·t = 14.14·3.108 = 43.95 m

答え

x = 43.95 m

7.仕事とエネルギー

答え: W_f = 6.012 J

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 19.62·0.766 = 15.03 N

F = μN = 0.1·15.03 = 1.503 N

摩擦に逆らう仕事

W_f = F·d = 1.503·4 = 6.012 J

答え

W_f = 6.012 J

8.仕事とエネルギー

答え: x = 10.85 cm

粗い区間を通過した後のエネルギー

スロープはなめらかなので、エネルギーを奪うのは粗い区間だけです。

mgh − μmgL = 39.24·(1.5 − 0.3·2.5) = 29.43 J

最大縮み

½kx² = 29.43 → x = √(2·29.43/5000) = 0.1085 m = 10.85 cm

答え

x = 10.85 cm

9.運動量と衝突

答え: v′₁ = 7.857 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

静止した相手との弾性衝突

運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くと、この 2 つの結果が得られます。

v′₁ = (3 − 0.5)/(3 + 0.5)·11 = 7.857 m/s

v′₂ = 2·3/(3 + 0.5)·11 = 18.86 m/s

答え

v′₁ = 7.857 m/s

10.運動量と衝突

答え: v = 155.8 m/s

木片の上昇

h = L·(1 − cos θ) = 0.9·(1 − cos 20°) = 0.05428 m

衝突後の速さ

V = √(2·9.81·0.05428) = 1.032 m/s

衝突

v = (m + M)·V/m = 3.02·1.032/0.02 = 155.8 m/s

答え

v = 155.8 m/s

11.静水圧

答え: F = 206 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 2 + 3/2 = 3.5 m

A = H·b = 3·2 = 6 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.5·6 = 206 kN

答え

F = 206 kN

12.静水圧

答え: y_cp = 3.41 m

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 2 + 2.5/2 = 3.25 m

A = H·b = 2.5·1 = 2.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.25·2.5 = 79.71 kN

圧力中心

圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。

I_c = b·H³/12 = 1·2.5³/12 = 1.302 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3.25 + 1.302/(3.25·2.5) = 3.41 m

答え

y_cp = 3.41 m

13.連続の式とベルヌーイ

答え: p₂ = 181.7 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1.75·(100/40)² = 10.94 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1.75² − 10.94²)/1000 = −58.28 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 240 + (−58.28) = 181.7 kPa

答え

p₂ = 181.7 kPa

14.連続の式とベルヌーイ

答え: p_C = 66.97 kPa

ホース内の流速

水面と出口はどちらも大気に開放されているので、圧力の項は打ち消し合います。

v = √(2g·1) = √(2·9.81·1) = 4.429 m/s

水面から C へのベルヌーイの式

p_atm = p_C + ½ρv² + ρgz_C

p_C = 101.3 − 1000·(4.429²/2 + 9.81·2.5)/1000 = 101.3 − 34.34 = 66.97 kPa

答え

p_C = 66.97 kPa

この圧力が水の蒸気圧まで下がると、サイホンは働かなくなります。

15.理想気体の状態方程式

答え: P = 622.4 kPa

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = m/M = 170/16.04 = 10.6 mol

T = 80 + 273.15 = 353.1 K

圧力

P = nRT/V = 10.6·8.314·353.1/0.05 = 622.4 kPa

答え

P = 622.4 kPa

16.理想気体の状態方程式

答え: ρ = 1.146 kg/m³

理想気体の密度：ρ = PM/(RT)。

状態方程式を変形する

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 0 + 273.15 = 273.1 K

密度

ρ = 650·4.003/(8.314·273.1) = 1.146 kg/m³

答え

ρ = 1.146 kg/m³

17.熱機関と冷凍機

答え: η_II = 74.45 %

第 2 法則による限界：絶対温度 T_H と T_L の熱源の間で働くどんなサイクルも、可逆（カルノー）サイクルを上回れません：η_max = 1 − T_L/T_H、COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)、COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。エネルギーは常に保存されます：Q_H = W + Q_L。

絶対温度

T_H = 650 + 273.15 = 923.1 K

T_L = 30 + 273.15 = 303.1 K

カルノー効率

η_Carnot = 1 − 303.1/923.1 = 67.16 %

第二法則効率

η_II = η/η_Carnot = 50/67.16 = 74.45 %

答え

η_II = 74.45 %

18.熱機関と冷凍機

答え: S_gen = 2.283 kJ/K

エントロピー生成：1 サイクル全体で作動流体の正味のエントロピー変化はありません。高温熱源は Q_H/T_H を失い、低温熱源は Q_L/T_L を得ます。その和が生成されたエントロピーで、可逆サイクルでは 0、実際のサイクルではすべて正になります。

放出熱

Q_L = Q_H − W = 2700 − 729 = 1971 kJ

絶対温度

T_H = 400 + 273.15 = 673.1 K

T_L = 40 + 273.15 = 313.1 K

熱源のエントロピー変化

ΔS_H = −2700/673.1 = −4.011 kJ/K

ΔS_L = 1971/313.1 = 6.294 kJ/K

S_gen = 6.294 − 4.011 = 2.283 kJ/K

答え

S_gen = 2.283 kJ/K

S_gen > 0 なので、この機関は実現可能ですが不可逆です。

19.波・音・光学

答え: f′ = 574.9 Hz

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、f_n = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、f_n = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

ドップラーの公式

f′ = f·(v − v_o)/(v + v_s) = 600·(343 − 0)/(343 + 15)

f′ = 574.9 Hz

答え

f′ = 574.9 Hz

20.波・音・光学

答え: λ = 600.4 nm

干渉と回折：距離 d だけ離れた 2 本のスリットを通った光は、スクリーン上の点に行路差 d·sin θ で届きます。明線は d·sin θ = mλ（m = 0, ±1, ±2, …）の位置に現れます。スクリーンまでの距離が L ≫ d のとき、m 番目の明線は y = mλL/d の位置にあり、縞の間隔は Δy = λL/d です。1 ミリメートルあたり N 本の線をもつ回折格子では d = 1/N で、鋭い極大が d·sin θ = mλ の位置に現れます。sin θ ≤ 1 なので、最高次数は m ≤ d/λ を満たす最大の整数 m です。幅 a の単スリットでは、a·sin θ = mλ（m = ±1, ±2, …）の位置に暗線ができます。

波長

λ = d·sin θ/m = 2 × 10⁻⁶·sin 36.9°/2 = 600.4 nm

答え

λ = 600.4 nm

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