基礎物理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式: A₁v₁ = A₂v₂
ベルヌーイの定理: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
円の面積: A = πd²/4

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式: pV = nRT
気体定数: R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物質量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

熱機関と冷凍機

効率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
カルノー効率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
冷凍機の COP: COP_R = Q_C/W
ヒートポンプの COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
エネルギー収支: Q_H = W + Q_C

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

108 km/h で走っている車が、一定の減速度 4.5 m/s² でブレーキをかけて停止する。制動距離 s を求めよ。

v₀ = 108 km/ha = −4.5 m/s²v = 0

s = m

2.運動学むずかしい

地面から高さ 30 m の屋上の端から、ボールを 7 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗は無視し、g = 9.81 m/s² とする。投げてから地面に落ちるまでの時間 t を求めよ。

v₀ = 7 m/sh₀ = 30 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.ニュートンの法則ふつう

質量 30 kg のそりを、水平から 15° 上向きのロープで、200 N の力で水平な雪の上を引く。動摩擦係数は 0.4 である。g = 9.81 m/s² とする。そりの加速度 a を求めよ。

m = 30 kgF = 200 Nθ = 15°μ = 0.4g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

ブロックを押して、30° の斜面を速さ 12 m/s ですべり上がらせる。動摩擦係数は 0.25 である。g = 9.81 m/s² とする。止まるまでに斜面に沿ってどれだけの距離 d すべるか。

v₀ = 12 m/sθ = 30°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

d = m

5.放物運動ふつう

ボールを平らな地面から水平から 25° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでの飛行時間 t を求めよ。

v₀ = 24 m/sθ = 25°g = 9.81 m/s²

t = s

6.放物運動むずかしい

高さ 20 m のがけの上から、ボールを 23 m/s、水平から 65° 上向きに打ち出す。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。がけのふもとの地面からの最高の高さ H を求めよ。

v₀ = 23 m/sθ = 65°h = 20 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.仕事とエネルギーふつう

質量 1 kg のブロックが水平と 30° をなす斜面を 17 m すべり下りる。動摩擦係数は 0.35 である。摩擦に逆らってした仕事 W_f を求めよ。

m = 1 kgθ = 30°μ = 0.35d = 17 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

8.仕事とエネルギーむずかしい

質量 8 kg のブロックが 35° の斜面の下端で静止しており、斜面に平行な一定の力 65 N で斜面を引き上げられる。動摩擦係数は 0.1 である。ブロックが斜面を 3 m 上がった後の速さ v を求めよ。

m = 8 kgF = 65 Nθ = 35°μ = 0.1d = 3 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.運動量と衝突ふつう

摩擦のないレール上で、12 m/s で動く質量 2.5 kg のグライダーが、静止している質量 3.5 kg のグライダーと完全弾性的に正面衝突する。衝突後の 2 台目のグライダーの速度 v′₂ を求めよ。

m₁ = 2.5 kgm₂ = 3.5 kgv₁ = 12 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

10.運動量と衝突むずかしい

質量 0.35 kg のボールが 20 m/s で壁に当たり、19 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 25 ms である。壁がボールに与える力積の大きさ J を求めよ。

m = 0.35 kgv_in = 20 m/sv_out = 19 m/sΔt = 25 ms

J = N·s

11.静水圧ふつう

幅 3 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 4 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 4 mH = 1 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水圧むずかしい

幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、海水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2.5 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ y_cp を求めよ。

d = 2.5 mH = 3 mb = 1.5 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.連続の式とベルヌーイふつう

水が、150 mm から 100 mm に細くなる水平管を流れる。太い部分の圧力は 180 kPa、流速は 0.75 m/s である。損失を無視して、細い部分の圧力 p₂ を求めよ。

d₁ = 150 mmd₂ = 100 mmp₁ = 180 kPav₁ = 0.75 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.連続の式とベルヌーイむずかしい

水が、200 mm から 75 mm に細くなりながら 1 m 上昇する管を上向きに流れる。断面 1 での圧力は 380 kPa、流速は 1.25 m/s である。損失を無視して、断面 2 での圧力 p₂ を求めよ。

d₁ = 200 mmd₂ = 75 mmp₁ = 380 kPav₁ = 1.25 m/sΔz = 1 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.理想気体の状態方程式ふつう

100 kPa、20 °C において、He 420 g が占める体積 V はいくらか。理想気体として扱う。

m = 420 gM = 4.003 g/molP = 100 kPaT = 20 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想気体の状態方程式むずかしい

300 kPa、20 °C におけるN₂の密度 ρ を、理想気体として求めよ。

M = 28.01 g/molP = 300 kPaT = 20 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.熱機関と冷凍機ふつう

熱機関が 725 °C の高温熱源と 10 °C の低温熱源の間で働く。この機関は 4200 kJ の熱を受け取る。得られる最大の仕事 W_max を求めよ。

T_H = 725 °CT_L = 10 °CQ_H = 4200 kJ

W_max = kJ

18.熱機関と冷凍機むずかしい

ヒートポンプが 7 °C の熱源から熱をくみ上げ、55 °C の暖房システムに 8 kW の熱を供給する。実際の COP はこれらの温度間のカルノー COP の 60% である。使う電力 Ẇ を求めよ。

T_H = 55 °CT_L = 7 °Cη_II = 60%Q̇_H = 8 kW

Ẇ = kW

19.波・音・光学ふつう

両端が開いた管の長さは 0.8 m です。音速は 343 m/s です。その第 4 倍音の振動数 f₄ を求めてください。

v = 343 m/sn = 4L = 0.8 m

f₄ = Hz

20.波・音・光学むずかしい

物体が、曲率半径 10 cm の凹面鏡の 12 cm 前にあります。倍率 m を求めてください（倒立像では負）。

d_o = 12 cmR = 10 cm

m =

3溶液

1.運動学

答え: s = 100 m

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

単位

v₀ = 108/3.6 = 30 m/s

制動距離

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 30²/(2·4.5) = 100 m

答え

s = 100 m

2.運動学

答え: t = 3.288 s

運動の式

上向きを正とし、地面は出発点の h₀ 下にあります。

−30 = 7·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 7·t − 30 = 0

2 次方程式を解く

物理的に意味があるのは正の解だけです。

t = (7 + √(7² + 2·9.81·30))/9.81 = 3.288 s

答え

t = 3.288 s

3.ニュートンの法則

答え: a = 3.206 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

垂直抗力

N = m·g − F·sin θ = 294.3 − 200·sin 15° = 242.5 N

水平方向の力

m·a = F·cos θ − μ·N = 193.2 − 97.01

a = 96.17/30 = 3.206 m/s²

答え

a = 3.206 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: d = 10.24 m

減速度

どちらの力も斜面を下る向きで、質量は消えます。

a = 9.81·(sin 30° + 0.25·cos 30°) = 7.029 m/s²

距離

d = v₀²/(2a) = 12²/(2·7.029) = 10.24 m

答え

d = 10.24 m

5.放物運動

答え: t = 2.068 s

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 24·cos 25° = 21.75 m/s

v_y = v₀·sin θ = 24·sin 25° = 10.14 m/s

滞空時間

発射点と着地点が同じ高さ：t = 2v_y/g。

t = 2·10.14/9.81 = 2.068 s

答え

t = 2.068 s

6.放物運動

答え: H = 42.15 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

鉛直方向の初速

v_y = 23·sin 65° = 20.85 m/s

がけの上からの上昇高さ

Δh = v_y²/(2g) = 20.85²/(2·9.81) = 22.15 m

地面からの高さ

H = 20 + 22.15 = 42.15 m

答え

H = 42.15 m

7.仕事とエネルギー

答え: W_f = 50.55 J

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 9.81·0.866 = 8.496 N

F = μN = 0.35·8.496 = 2.973 N

摩擦に逆らう仕事

W_f = F·d = 2.973·17 = 50.55 J

答え

W_f = 50.55 J

8.仕事とエネルギー

答え: v = 3.189 m/s

斜面に沿った力

m·g = 8·9.81 = 78.48 N

mg·sin θ = 45.01 N

μ·mg·cos θ = 6.429 N

仕事とエネルギー

½mv² = (65 − 51.44)·3 = 40.67 J

v = √(2·40.67/8) = 3.189 m/s

答え

v = 3.189 m/s

9.運動量と衝突

答え: v′₂ = 10 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

静止した相手との弾性衝突

運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くと、この 2 つの結果が得られます。

v′₁ = (2.5 − 3.5)/(2.5 + 3.5)·12 = −2 m/s

v′₂ = 2·2.5/(2.5 + 3.5)·12 = 10 m/s

答え

v′₂ = 10 m/s

10.運動量と衝突

答え: J = 13.65 N·s

運動量の変化

J = m·Δv = 0.35·(19 + 20) = 13.65 N·s

答え

J = 13.65 N·s

11.静水圧

答え: F = 132.4 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 4 + 1/2 = 4.5 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·4.5·3 = 132.4 kN

答え

F = 132.4 kN

12.静水圧

答え: y_cp = 4.188 m

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 2.5 + 3/2 = 4 m

A = H·b = 3·1.5 = 4.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·4·4.5 = 181 kN

圧力中心

圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。

I_c = b·H³/12 = 1.5·3³/12 = 3.375 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 4 + 3.375/(4·4.5) = 4.188 m

答え

y_cp = 4.188 m

13.連続の式とベルヌーイ

答え: p₂ = 178.9 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0.75·(150/100)² = 1.688 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0.75² − 1.688²)/1000 = −1.143 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 180 + (−1.143) = 178.9 kPa

答え

p₂ = 178.9 kPa

14.連続の式とベルヌーイ

答え: p₂ = 331.5 kPa

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1.25·(200/75)² = 8.889 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1.25² − 8.889²)/1000 = −38.72 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·1/1000 = 9.81 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 380 + (−38.72) − 9.81 = 331.5 kPa

答え

p₂ = 331.5 kPa

15.理想気体の状態方程式

答え: V = 2557 L

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = 420/4.003 = 104.9 mol

T = 20 + 273.15 = 293.1 K

体積

V = nRT/P = 104.9·8.314·293.1/100 = 2557 L

答え

V = 2557 L

16.理想気体の状態方程式

答え: ρ = 3.448 kg/m³

理想気体の密度：ρ = PM/(RT)。

状態方程式を変形する

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 20 + 273.15 = 293.1 K

密度

ρ = 300·28.01/(8.314·293.1) = 3.448 kg/m³

答え

ρ = 3.448 kg/m³

17.熱機関と冷凍機

答え: W_max = 3009 kJ

第 2 法則による限界：絶対温度 T_H と T_L の熱源の間で働くどんなサイクルも、可逆（カルノー）サイクルを上回れません：η_max = 1 − T_L/T_H、COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)、COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。エネルギーは常に保存されます：Q_H = W + Q_L。

絶対温度

T_H = 725 + 273.15 = 998.1 K

T_L = 10 + 273.15 = 283.1 K

カルノー効率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 283.1/998.1 = 71.63 %

最大仕事

W_max = η_max·Q_H = 0.7163·4200 = 3009 kJ

答え

W_max = 3009 kJ

18.熱機関と冷凍機

答え: Ẇ = 1.95 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

絶対温度

T_H = 55 + 273.15 = 328.1 K

T_L = 7 + 273.15 = 280.1 K

カルノー COP と実際の COP

COP_max = 328.1/(328.1 − 280.1) = 6.836

COP = 0.6·6.836 = 4.102

入力動力

Ẇ = Q̇_H/COP = 8/4.102 = 1.95 kW

答え

Ẇ = 1.95 kW

19.波・音・光学

答え: f₄ = 857.5 Hz

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、f_n = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、f_n = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

このモードの波長

λ = 2L/n = 2·0.8/4 = 0.4 m

振動数

f = v/λ = 343/0.4 = 857.5 Hz

答え

f₄ = 857.5 Hz

20.波・音・光学

答え: m = −0.7143

幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/d_o + 1/d_i に従い、倍率は m = −d_i/d_o です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。d_i > 0 は実像、d_i < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。

焦点距離

f = R/2 = 5 cm

鏡の式

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/5 − 1/12

d_i = 8.571 cm

倍率

m = −8.571/12 = −0.7143

答え

m = −0.7143

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