基礎物理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式: A₁v₁ = A₂v₂
ベルヌーイの定理: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
円の面積: A = πd²/4

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式: pV = nRT
気体定数: R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物質量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

熱機関と冷凍機

効率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
カルノー効率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
冷凍機の COP: COP_R = Q_C/W
ヒートポンプの COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
エネルギー収支: Q_H = W + Q_C

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

50 km/h で走っている車が、一定の減速度 4 m/s² でブレーキをかけて停止する。制動距離 s を求めよ。

v₀ = 50 km/ha = −4 m/s²v = 0

s = m

2.運動学むずかしい

地面から高さ 15 m の屋上の端から、ボールを 12 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗は無視し、g = 9.81 m/s² とする。地面からの最高点の高さ h_max を求めよ。

v₀ = 12 m/sh₀ = 15 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.ニュートンの法則ふつう

質量 14 kg のブロックが、水平と 25° をなす斜面をすべり下りる。動摩擦係数は 0.15 である。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 14 kgθ = 25°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 4.5 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 5.5 kg のおもりとつながれている。ブロックと机の間の動摩擦係数は 0.3 である。 g = 9.81 m/s² とする。全体の加速度 a を求めよ。

m₁ = 4.5 kgm₂ = 5.5 kgμ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.放物運動ふつう

ボールを平らな地面から水平から 30° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが達する最高高さ H を求めよ。

v₀ = 16 m/sθ = 30°g = 9.81 m/s²

H = m

6.放物運動むずかしい

高さ 5 m のがけの上から、ボールを 23 m/s、水平から 30° 上向きに打ち出す。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。ボールは水平から下向きにどの角度 α で地面に当たるか。

v₀ = 23 m/sθ = 30°h = 5 mg = 9.81 m/s²

α = °

7.仕事とエネルギーふつう

質量 0.2 kg の小球が長さ 0.5 m の軽い糸につり下げられている。糸が鉛直と 45° をなすまで横に引き、静かに放す。小球が最下点を通過するときの糸の張力 T を求めよ。

m = 0.2 kgL = 0.5 mθ = 45°g = 9.81 m/s²

T = N

8.仕事とエネルギーむずかしい

質量 2.5 kg のブロックを、なめらかなスロープ上の高さ 3 m から静かに放す。下で長さ 1 m の粗い水平区間（μ = 0.3）を通り、その後なめらかな面でばね（k = 800 N/m）に当たる。ブロックがばねに達したときの速さ v を求めよ。

m = 2.5 kgh = 3 mL = 1 mμ = 0.3k = 800 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.運動量と衝突ふつう

質量 15 g の弾丸を、軽い糸でつり下げた質量 3 kg の木片に水平に撃ち込むと、弾丸は木片の中にとどまる。木片は初めより 20 cm 高い位置まで振れ上がる。g = 9.81 m/s² とする。衝突前の弾丸の速さ v を求めよ。

m = 15 gM = 3 kgh = 20 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.運動量と衝突むずかしい

質量 1600 kg の自動車が、駐車中の質量 900 kg の自動車に衝突する。2 台は一体となって 12 m すべって止まる。タイヤと路面の間の動摩擦係数は 0.6 である。g = 9.81 m/s² とする。衝突直前の 1 台目の自動車の速さ v₁ を求めよ。

m₁ = 1600 kgm₂ = 900 kgd = 12 mμ = 0.6g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

11.静水圧ふつう

幅 3 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 1.5 mH = 3 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水圧むずかしい

幅 3 m の鉛直な長方形ゲートが、グリセリンを入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 1.5 mH = 1.5 mb = 3 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.連続の式とベルヌーイふつう

水が、150 mm から 100 mm に細くなる水平管を流れる。太い部分の圧力は 300 kPa、流速は 2 m/s である。損失を無視して、細い部分の圧力 p₂ を求めよ。

d₁ = 150 mmd₂ = 100 mmp₁ = 300 kPav₁ = 2 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.連続の式とベルヌーイむずかしい

水が、100 mm から 75 mm に細くなりながら 1 m 上昇する管を上向きに流れる。断面 1 での圧力は 240 kPa、流速は 0.75 m/s である。損失を無視して、断面 2 での圧力 p₂ を求めよ。

d₁ = 100 mmd₂ = 75 mmp₁ = 240 kPav₁ = 0.75 m/sΔz = 1 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.理想気体の状態方程式ふつう

200 kPa、0 °C において、He 150 g が占める体積 V はいくらか。理想気体として扱う。

m = 150 gM = 4.003 g/molP = 200 kPaT = 0 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想気体の状態方程式むずかしい

800 kPa、120 °C におけるArの密度 ρ を、理想気体として求めよ。

M = 39.95 g/molP = 800 kPaT = 120 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.熱機関と冷凍機ふつう

熱機関が 750 °C の高温熱源と 20 °C の低温熱源の間で働く。この機関は 4000 kJ の熱を受け取る。得られる最大の仕事 W_max を求めよ。

T_H = 750 °CT_L = 20 °CQ_H = 4000 kJ

W_max = kJ

18.熱機関と冷凍機むずかしい

ヒートポンプが 5 °C の熱源から熱をくみ上げ、45 °C の暖房システムに 10 kW の熱を供給する。実際の COP はこれらの温度間のカルノー COP の 45% である。使う電力 Ẇ を求めよ。

T_H = 45 °CT_L = 5 °Cη_II = 45%Q̇_H = 10 kW

Ẇ = kW

19.波・音・光学ふつう

物体が、焦点距離 30 cm の薄い収束レンズの 8 cm 前にあります。倍率 m を求めてください（倒立像では負）。

d_o = 8 cmf = 30 cm

m =

20.波・音・光学むずかしい

光ファイバーのコアは n₁ = 1.52、クラッドは n₂ = 1.49 です。空気中からファイバーの端に入った光が、全反射によってなお導かれる、ファイバーの軸に対する最大の角度 θ_a を求めてください。

n₁ = 1.52n₂ = 1.49n₀ = 1.00

θ_a = °

3溶液

1.運動学

答え: s = 24.11 m

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

単位

v₀ = 50/3.6 = 13.89 m/s

制動距離

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 13.89²/(2·4) = 24.11 m

答え

s = 24.11 m

2.運動学

答え: h_max = 22.34 m

屋上からの上昇距離

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 12²/(2·9.81) = 7.339 m

地面からの高さ

h_max = 15 + 7.339 = 22.34 m

答え

h_max = 22.34 m

3.ニュートンの法則

答え: a = 2.812 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 25° − 0.15·cos 25°) = 9.81·(0.4226 − 0.1359) = 2.812 m/s²

答え

a = 2.812 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: a = 4.071 m/s²

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (53.96 − 13.24)/10 = 4.071 m/s²

答え

a = 4.071 m/s²

5.放物運動

答え: H = 3.262 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 16·cos 30° = 13.86 m/s

v_y = v₀·sin θ = 16·sin 30° = 8 m/s

最高点

最高点では鉛直速度が 0：v_y² = 2gH。

H = v_y²/(2g) = 8²/(2·9.81) = 3.262 m

答え

H = 3.262 m

6.放物運動

答え: α = 37.31 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

初速度を分解する

v_x = 23·cos 30° = 19.92 m/s

v_y0 = 23·sin 30° = 11.5 m/s

衝突時の鉛直方向の速さ

エネルギー、または鉛直方向の v² = v₀² + 2as。

v_y = √(11.5² + 2·9.81·5) = 15.18 m/s

衝突角

tan α = v_y/v_x = 15.18/19.92 → α = 37.31°

答え

α = 37.31°

7.仕事とエネルギー

答え: T = 3.111 N

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。円軌道上では、中心に向かう合力は mv²/r に等しくなければなりません。

最下点での速さ

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·0.5·(1 − cos 45°) = 2.873 m²/s²

最下点での力

m·g = 0.2·9.81 = 1.962 N

T = mg + mv²/L = 1.962 + 0.2·2.873/0.5 = 3.111 N

答え

T = 3.111 N

確認：T = mg(3 − 2cos θ) = 3.111 N。

8.仕事とエネルギー

答え: v = 7.278 m/s

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

粗い区間を通過した後のエネルギー

スロープはなめらかなので、エネルギーを奪うのは粗い区間だけです。

mgh − μmgL = 24.53·(3 − 0.3·1) = 66.22 J

ばねに達したときの速さ

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·2.7) = 7.278 m/s

答え

v = 7.278 m/s

9.運動量と衝突

答え: v = 398.2 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

衝突後の振れ上がり

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.2) = 1.981 m/s

衝突

m·v = (m + M)·V → v = (0.015 + 3)·1.981/0.015 = 398.2 m/s

答え

v = 398.2 m/s

10.運動量と衝突

答え: v₁ = 18.57 m/s

衝突後の速さ

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.6·9.81·12) = 11.89 m/s

衝突での運動量

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2500·11.89/1600 = 18.57 m/s

答え

v₁ = 18.57 m/s

(66.86 km/h)

11.静水圧

答え: F = 264.9 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 1.5 + 3/2 = 3 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3·9 = 264.9 kN

答え

F = 264.9 kN

12.静水圧

答え: F = 125.2 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 1.5 + 1.5/2 = 2.25 m

A = H·b = 1.5·3 = 4.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·2.25·4.5 = 125.2 kN

答え

F = 125.2 kN

13.連続の式とベルヌーイ

答え: p₂ = 291.9 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2·(150/100)² = 4.5 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2² − 4.5²)/1000 = −8.125 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 300 + (−8.125) = 291.9 kPa

答え

p₂ = 291.9 kPa

14.連続の式とベルヌーイ

答え: p₂ = 229.6 kPa

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0.75·(100/75)² = 1.333 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0.75² − 1.333²)/1000 = −0.6076 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·1/1000 = 9.81 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 240 + (−0.6076) − 9.81 = 229.6 kPa

答え

p₂ = 229.6 kPa

15.理想気体の状態方程式

答え: V = 425.5 L

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = 150/4.003 = 37.47 mol

T = 0 + 273.15 = 273.1 K

体積

V = nRT/P = 37.47·8.314·273.1/200 = 425.5 L

答え

V = 425.5 L

16.理想気体の状態方程式

答え: ρ = 9.778 kg/m³

理想気体の密度：ρ = PM/(RT)。

状態方程式を変形する

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 120 + 273.15 = 393.1 K

密度

ρ = 800·39.95/(8.314·393.1) = 9.778 kg/m³

答え

ρ = 9.778 kg/m³

17.熱機関と冷凍機

答え: W_max = 2854 kJ

第 2 法則による限界：絶対温度 T_H と T_L の熱源の間で働くどんなサイクルも、可逆（カルノー）サイクルを上回れません：η_max = 1 − T_L/T_H、COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)、COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。エネルギーは常に保存されます：Q_H = W + Q_L。

絶対温度

T_H = 750 + 273.15 = 1023 K

T_L = 20 + 273.15 = 293.1 K

カルノー効率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 293.1/1023 = 71.35 %

最大仕事

W_max = η_max·Q_H = 0.7135·4000 = 2854 kJ

答え

W_max = 2854 kJ

18.熱機関と冷凍機

答え: Ẇ = 2.794 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

絶対温度

T_H = 45 + 273.15 = 318.1 K

T_L = 5 + 273.15 = 278.1 K

カルノー COP と実際の COP

COP_max = 318.1/(318.1 − 278.1) = 7.954

COP = 0.45·7.954 = 3.579

入力動力

Ẇ = Q̇_H/COP = 10/3.579 = 2.794 kW

答え

Ẇ = 2.794 kW

19.波・音・光学

答え: m = 1.364

幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/d_o + 1/d_i に従い、倍率は m = −d_i/d_o です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。d_i > 0 は実像、d_i < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。

薄いレンズの式

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/30 − 1/8

d_i = −10.91 cm

倍率

m = −d_i/d_o = −(−10.91)/8 = 1.364

答え

m = 1.364

20.波・音・光学

答え: θ_a = 17.49 °

クラッドでの臨界角

sin θc = 1.49/1.52 = 0.9803 → θc = 78.6°

開口数

NA = √(1.52² − 1.49²) = 0.3005

受光角

θ_a = arcsin(0.3005) = 17.49°

答え

θ_a = 17.49°

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