基礎物理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式: A₁v₁ = A₂v₂
ベルヌーイの定理: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
円の面積: A = πd²/4

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式: pV = nRT
気体定数: R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物質量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

熱機関と冷凍機

効率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
カルノー効率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
冷凍機の COP: COP_R = Q_C/W
ヒートポンプの COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
エネルギー収支: Q_H = W + Q_C

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

80 km/h で走っている車が、一定の減速度 4.5 m/s² でブレーキをかけて停止する。制動距離 s を求めよ。

v₀ = 80 km/ha = −4.5 m/s²v = 0

s = m

2.運動学むずかしい

路面電車が静止状態から 2.5 m/s² で 12 s 加速し、次に 25 s 等速で走り、最後に 3 m/s² でブレーキをかけて停止する。 2 つの停留所間の全距離 s を求めよ。

a₁ = 2.5 m/s²t₁ = 12 st₂ = 25 sa₃ = −3 m/s²

s = m

3.ニュートンの法則ふつう

質量 14 kg のブロックが、水平と 25° をなすなめらかな斜面をすべり下りる。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 14 kgθ = 25°μ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 3.5 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 2 kg のおもりとつながれている。ブロックと机の間の動摩擦係数は 0.25 である。 g = 9.81 m/s² とする。糸の張力 T を求めよ。

m₁ = 3.5 kgm₂ = 2 kgμ = 0.25g = 9.81 m/s²

T = N

5.放物運動ふつう

水平な地面からボールを 22 m/s、水平から 45° 上向きに、15 m 先の壁に向かって蹴る。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。ボールはどの高さ y で壁を通過するか。

v₀ = 22 m/sθ = 45°x = 15 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.放物運動むずかしい

地面の高さからボールを 40 m/s、水平から 65° 上向きに投げる。ボールは下降中に、高さ 24 m の建物の平らな屋上に着地する。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。投げた点から着地点までの水平距離 x を求めよ。

v₀ = 40 m/sθ = 65°h_roof = 24 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.仕事とエネルギーふつう

質量 2 kg の小球が長さ 0.8 m の軽い糸につり下げられている。糸が鉛直と 50° をなすまで横に引き、静かに放す。小球が最下点を通過するときの糸の張力 T を求めよ。

m = 2 kgL = 0.8 mθ = 50°g = 9.81 m/s²

T = N

8.仕事とエネルギーむずかしい

質量 10 kg のブロックがあらい水平な机の上にある（μ = 0.3）。軽い糸がそこから机の端のなめらかな滑車を通って、つり下げられた質量 4 kg のブロックにつながっている。系を静かに放す。つり下げられたブロックが 0.5 m 下がった後のブロックの速さ v を求めよ。

m₁ = 10 kgm₂ = 4 kgμ = 0.3d = 0.5 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.運動量と衝突ふつう

摩擦のないレール上で、10 m/s で動く質量 4 kg のグライダーが、静止している質量 5 kg のグライダーと完全弾性的に正面衝突する。衝突後の 2 台目のグライダーの速度 v′₂ を求めよ。

m₁ = 4 kgm₂ = 5 kgv₁ = 10 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

10.運動量と衝突むずかしい

質量 0.5 kg のボールが 29 m/s で壁に当たり、4 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 50 ms である。壁がボールに及ぼす平均の力 F_avg を求めよ。

m = 0.5 kgv_in = 29 m/sv_out = 4 m/sΔt = 50 ms

F_avg = N

11.静水圧ふつう

幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 4 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 4 mH = 3 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水圧むずかしい

幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、グリセリンを入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 4 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 4 mH = 2.5 mb = 2 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.連続の式とベルヌーイふつう

水が、75 mm から 25 mm に細くなる水平管を流れる。太い部分の圧力は 200 kPa、流速は 1 m/s である。損失を無視して、細い部分の圧力 p₂ を求めよ。

d₁ = 75 mmd₂ = 25 mmp₁ = 200 kPav₁ = 1 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.連続の式とベルヌーイむずかしい

水が、100 mm から 75 mm に細くなりながら 3 m 上昇する管を上向きに流れる。断面 1 での圧力は 360 kPa、流速は 2.75 m/s である。損失を無視して、断面 2 での圧力 p₂ を求めよ。

d₁ = 100 mmd₂ = 75 mmp₁ = 360 kPav₁ = 2.75 m/sΔz = 3 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.理想気体の状態方程式ふつう

容積 50 L のタンクに、温度 70 °C のCH₄が 260 g 入っている。理想気体として圧力 P を求めよ。

m = 260 gM = 16.04 g/molV = 50 LT = 70 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.理想気体の状態方程式むずかしい

700 kPa、150 °C におけるHeの密度 ρ を、理想気体として求めよ。

M = 4.003 g/molP = 700 kPaT = 150 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.熱機関と冷凍機ふつう

熱機関が 625 °C の高温熱源と 25 °C の低温熱源の間で働く。この機関は 1300 kJ の熱を受け取る。得られる最大の仕事 W_max を求めよ。

T_H = 625 °CT_L = 25 °CQ_H = 1300 kJ

W_max = kJ

18.熱機関と冷凍機むずかしい

2 つのカルノー機関が直列に働く。機関 A は 1100 °C の熱源から熱を受け取り、温度 T_m の中間熱源へ熱を放出する。機関 B はその熱をすべて受け取り、25 °C の熱源へ熱を放出する。両方の機関の熱効率は等しい。T_m を °C で求めよ。

T_H = 1100 °CT_L = 25 °C

T_m = °C

19.波・音・光学ふつう

一端が閉じた管の長さは 0.8 m です。音速は 343 m/s です。その基本振動（第 1 倍音）の振動数 f₁ を求めてください。

v = 343 m/sn = 1L = 0.8 m

f₁ = Hz

20.波・音・光学むずかしい

物体が、曲率半径 40 cm の凸面鏡の 4 cm 前にあります。像の距離 d_i を求めてください。鏡の前の像（実像）では正、鏡の後ろの像（虚像）では負とします。

d_o = 4 cmR = 40 cm

d_i = cm

3溶液

1.運動学

答え: s = 54.87 m

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

単位

v₀ = 80/3.6 = 22.22 m/s

制動距離

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 22.22²/(2·4.5) = 54.87 m

答え

s = 54.87 m

2.運動学

答え: s = 1080 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

最高速度

v = a₁·t₁ = 2.5·12 = 30 m/s

各段階の距離

s₁ = ½·2.5·12² = 180 m

s₂ = 30·25 = 750 m

s₃ = 30²/(2·3) = 150 m

全距離

s = 180 + 750 + 150 = 1080 m

答え

s = 1080 m

3.ニュートンの法則

答え: a = 4.146 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 25° − 0·cos 25°) = 9.81·(0.4226 − 0) = 4.146 m/s²

答え

a = 4.146 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: T = 15.61 N

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (19.62 − 8.584)/5.5 = 2.007 m/s²

机の上のブロックから求める張力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 3.5·2.007 + 8.584 = 15.61 N

答え

T = 15.61 N

5.放物運動

答え: y = 10.44 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

壁までの時間

v_x = 22·cos 45° = 15.56 m/s

t = x/v_x = 15/15.56 = 0.9642 s

その時刻での高さ

y = 15.56·0.9642 − ½·9.81·0.9642² = 10.44 m

答え

y = 10.44 m

壁の位置では、ボールはまだ上昇中です。

6.放物運動

答え: x = 112.5 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

初速度を分解する

v_x = 16.9 m/s, v_y = 36.25 m/s

屋上に着地するまでの時間

大きい方の解：ボールは下降中です。

24 = 36.25·t − 4.905·t²

t = (36.25 + √(36.25² − 2·9.81·24))/9.81 = 6.656 s

水平距離

x = v_x·t = 16.9·6.656 = 112.5 m

答え

x = 112.5 m

7.仕事とエネルギー

答え: T = 33.64 N

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。円軌道上では、中心に向かう合力は mv²/r に等しくなければなりません。

最下点での速さ

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·0.8·(1 − cos 50°) = 5.607 m²/s²

最下点での力

m·g = 2·9.81 = 19.62 N

T = mg + mv²/L = 19.62 + 2·5.607/0.8 = 33.64 N

答え

T = 33.64 N

確認：T = mg(3 − 2cos θ) = 33.64 N。

8.仕事とエネルギー

答え: v = 0.8371 m/s

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

放出されるエネルギーと失われるエネルギー

m₂g·d = 39.24·0.5 = 19.62 J

μ·m₁g·d = 0.3·98.1·0.5 = 14.71 J

両方のブロックの運動エネルギー

½(m₁ + m₂)v² = 4.905 → v = √(2·4.905/14) = 0.8371 m/s

答え

v = 0.8371 m/s

9.運動量と衝突

答え: v′₂ = 8.889 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

静止した相手との弾性衝突

運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くと、この 2 つの結果が得られます。

v′₁ = (4 − 5)/(4 + 5)·10 = −1.111 m/s

v′₂ = 2·4/(4 + 5)·10 = 8.889 m/s

答え

v′₂ = 8.889 m/s

10.運動量と衝突

答え: F_avg = 330 N

運動量の変化

J = m·Δv = 0.5·(4 + 29) = 16.5 N·s

平均の力

F_avg = J/Δt = 16.5/0.05 = 330 N

答え

F_avg = 330 N

11.静水圧

答え: F = 323.7 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 4 + 3/2 = 5.5 m

A = H·b = 3·2 = 6 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·5.5·6 = 323.7 kN

答え

F = 323.7 kN

12.静水圧

答え: F = 324.5 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 4 + 2.5/2 = 5.25 m

A = H·b = 2.5·2 = 5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·5.25·5 = 324.5 kN

答え

F = 324.5 kN

13.連続の式とベルヌーイ

答え: p₂ = 160 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1·(75/25)² = 9 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1² − 9²)/1000 = −40 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 200 + (−40) = 160 kPa

答え

p₂ = 160 kPa

14.連続の式とベルヌーイ

答え: p₂ = 322.4 kPa

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2.75·(100/75)² = 4.889 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2.75² − 4.889²)/1000 = −8.169 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·3/1000 = 29.43 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 360 + (−8.169) − 29.43 = 322.4 kPa

答え

p₂ = 322.4 kPa

15.理想気体の状態方程式

答え: P = 924.9 kPa

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = m/M = 260/16.04 = 16.21 mol

T = 70 + 273.15 = 343.1 K

圧力

P = nRT/V = 16.21·8.314·343.1/0.05 = 924.9 kPa

答え

P = 924.9 kPa

16.理想気体の状態方程式

答え: ρ = 0.7965 kg/m³

理想気体の密度：ρ = PM/(RT)。

状態方程式を変形する

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 150 + 273.15 = 423.1 K

密度

ρ = 700·4.003/(8.314·423.1) = 0.7965 kg/m³

答え

ρ = 0.7965 kg/m³

17.熱機関と冷凍機

答え: W_max = 868.5 kJ

第 2 法則による限界：絶対温度 T_H と T_L の熱源の間で働くどんなサイクルも、可逆（カルノー）サイクルを上回れません：η_max = 1 − T_L/T_H、COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)、COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。エネルギーは常に保存されます：Q_H = W + Q_L。

絶対温度

T_H = 625 + 273.15 = 898.1 K

T_L = 25 + 273.15 = 298.1 K

カルノー効率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 298.1/898.1 = 66.8 %

最大仕事

W_max = η_max·Q_H = 0.668·1300 = 868.5 kJ

答え

W_max = 868.5 kJ

18.熱機関と冷凍機

答え: T_m = 366.7 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

絶対温度

T_H = 1100 + 273.15 = 1373 K

T_L = 25 + 273.15 = 298.1 K

効率が等しい

1 − T_m/T_H = 1 − T_L/T_m より T_m² = T_H·T_L。

T_m = √(1373·298.1) = 639.8 K = 366.7 °C

答え

T_m = 366.7 °C

19.波・音・光学

答え: f₁ = 107.2 Hz

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、f_n = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、f_n = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

このモードの波長

λ = 4L/n = 4·0.8/1 = 3.2 m

振動数

f = v/λ = 343/3.2 = 107.2 Hz

答え

f₁ = 107.2 Hz

20.波・音・光学

答え: d_i = −3.333 cm

幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/d_o + 1/d_i に従い、倍率は m = −d_i/d_o です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。d_i > 0 は実像、d_i < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。

焦点距離

f = −R/2 = −20 cm

鏡の式

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−20) − 1/4

d_i = −3.333 cm

光線図

鏡の後ろにできる虚像

答え

d_i = −3.333 cm

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