基礎物理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式: A₁v₁ = A₂v₂
ベルヌーイの定理: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
円の面積: A = πd²/4

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式: pV = nRT
気体定数: R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物質量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

熱機関と冷凍機

効率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
カルノー効率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
冷凍機の COP: COP_R = Q_C/W
ヒートポンプの COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
エネルギー収支: Q_H = W + Q_C

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

100 km/h で走っている運転者が障害物を見つける。反応時間は 0.9 s で、その後、自動車は一定の減速度 5.5 m/s² でブレーキをかける。障害物を見た瞬間からの全停止距離 d を求めよ。

v₀ = 100 km/ht_r = 0.9 sa = −5.5 m/s²

d = m

2.運動学むずかしい

石を井戸に静かに落とす。石を放してから 2.2 s 後に水音が聞こえる。音速は 343 m/s とし、空気抵抗を無視して g = 9.81 m/s² とする。井戸の深さ d を求めよ。

t_total = 2.2 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.ニュートンの法則ふつう

箱が水平な床の上を初速 4.5 m/s ですべり、3.4 m 進んで止まる。g = 9.81 m/s² とする。動摩擦係数 μ を求めよ。

v₀ = 4.5 m/sd = 3.4 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 6 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 1.5 kg のおもりとつながれている。ブロックと机の間の動摩擦係数は 0.1 である。 g = 9.81 m/s² とする。全体の加速度 a を求めよ。

m₁ = 6 kgm₂ = 1.5 kgμ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.放物運動ふつう

水平な地面からボールを 40 m/s で打ち出し、80 m 先に着地させなければならない。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。2 つの可能な打ち出し角のうち小さい方 θ を求めよ。

v₀ = 40 m/sR = 80 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.放物運動むずかしい

高さ 15 m のがけの上から、ボールを 12 m/s、水平から 55° 上向きに打ち出す。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。ボールが地面に当たるときの速さ v を求めよ。

v₀ = 12 m/sθ = 55°h = 15 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

7.仕事とエネルギーふつう

質量 0.5 kg の小球が長さ 0.5 m の軽い糸につり下げられている。糸が鉛直と 40° をなすまで横に引き、静かに放す。小球が最下点を通過するときの糸の張力 T を求めよ。

m = 0.5 kgL = 0.5 mθ = 40°g = 9.81 m/s²

T = N

8.仕事とエネルギーむずかしい

35° の斜面の下端にあるばね定数 3000 N/m のばねを、質量 0.5 kg のブロックに押し当てて 8 cm 縮めてから放す。ブロックと斜面の間の動摩擦係数は 0.2 である。ブロックは放した点から斜面をどれだけの距離 d 上がって止まるか。（ばねが押す短い距離は無視し、摩擦と重力は全距離 d にわたって作用するとする。）

m = 0.5 kgk = 3000 N/mx = 8 cmθ = 35°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

d = m

9.運動量と衝突ふつう

摩擦のないレール上で、9 m/s で動く質量 0.5 kg のグライダーが、静止している質量 4 kg のグライダーと完全弾性的に正面衝突する。衝突後の 2 台目のグライダーの速度 v′₂ を求めよ。

m₁ = 0.5 kgm₂ = 4 kgv₁ = 9 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

10.運動量と衝突むずかしい

質量 0.25 kg のボールが 8 m/s で壁に当たり、19 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 20 ms である。壁がボールに与える力積の大きさ J を求めよ。

m = 0.25 kgv_in = 8 m/sv_out = 19 m/sΔt = 20 ms

J = N·s

11.静水圧ふつう

幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 1 mH = 2.5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水圧むずかしい

幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、グリセリンを入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1.5 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ y_cp を求めよ。

d = 1.5 mH = 1 mb = 1.5 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.連続の式とベルヌーイふつう

水が 34 L/s で、200 mm から 150 mm に細くなる水平管を流れる。細い部分の圧力は 290 kPa である。損失を無視して、太い部分の圧力 p₁ を求めよ。

Q = 34 L/sd₁ = 200 mmd₂ = 150 mmp₂ = 290 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

14.連続の式とベルヌーイむずかしい

水が、200 mm から 75 mm に細くなりながら 8 m 上昇する管を上向きに流れる。断面 1 での圧力は 330 kPa、流速は 1.25 m/s である。損失を無視して、断面 2 での圧力 p₂ を求めよ。

d₁ = 200 mmd₂ = 75 mmp₁ = 330 kPav₁ = 1.25 m/sΔz = 8 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.理想気体の状態方程式ふつう

700 kPa、50 °C において、N₂ 500 g が占める体積 V はいくらか。理想気体として扱う。

m = 500 gM = 28.01 g/molP = 700 kPaT = 50 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想気体の状態方程式むずかしい

450 kPa、120 °C におけるCH₄の密度 ρ を、理想気体として求めよ。

M = 16.04 g/molP = 450 kPaT = 120 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.熱機関と冷凍機ふつう

可逆冷凍機が 9 kW の熱を取り除いて冷蔵室を -10 °C に保ち、40 °C の周囲へ熱を放出する。放出する熱量 Q̇_H を求めよ。

T_L = -10 °CT_H = 40 °CQ̇_L = 9 kW

Q̇_H = kW

18.熱機関と冷凍機むずかしい

カルノー熱機関が 750 °C の熱源から 10 kW の熱を受け取り、27 °C の周囲へ熱を放出する。その仕事はすべてカルノー冷凍機を駆動し、冷凍機は -10 °C の冷凍庫から熱を取り除いて、同じく 27 °C の周囲へ熱を放出する。冷凍庫から熱を取り除く割合 Q̇_L を求めよ。

T_H = 750 °CT₀ = 27 °CT_L = -10 °CQ̇_H = 10 kW

Q̇_L = kW

19.波・音・光学ふつう

400 Hz の音源が、静止している観測者に向かって 10 m/s で動いています。音速は 343 m/s です。観測者に聞こえる振動数 f′ を求めてください。

f = 400 Hzv = 343 m/sv_s = 10 m/s

f′ = Hz

20.波・音・光学むずかしい

光ファイバーのコアは n₁ = 1.52、クラッドは n₂ = 1.5 です。空気中からファイバーの端に入った光が、全反射によってなお導かれる、ファイバーの軸に対する最大の角度 θ_a を求めてください。

n₁ = 1.52n₂ = 1.5n₀ = 1.00

θ_a = °

3溶液

1.運動学

答え: d = 95.15 m

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

単位

v₀ = 100/3.6 = 27.78 m/s

空走距離

d₁ = v₀·t_r = 27.78·0.9 = 25 m

制動距離

d₂ = v₀²/(2a) = 27.78²/(2·5.5) = 70.15 m

合計

d = 25 + 70.15 = 95.15 m

答え

d = 95.15 m

2.運動学

答え: d = 22.35 m

時間の 2 つの部分

½·9.81·t₁² = 343·(2.2 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 754.6 = 0

落下時間

物理的に意味があるのは正の解だけです。

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·754.6))/(2·4.905) = 2.135 s

深さ

d = ½·9.81·2.135² = 22.35 m

答え

d = 22.35 m

3.ニュートンの法則

答え: μ = 0.3036

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

減速度

a = v₀²/(2d) = 4.5²/(2·3.4) = 2.978 m/s²

摩擦係数

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 2.978/9.81 = 0.3036

答え

μ = 0.3036

4.ニュートンの法則

答え: a = 1.177 m/s²

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (14.71 − 5.886)/7.5 = 1.177 m/s²

答え

a = 1.177 m/s²

5.放物運動

答え: θ = 14.69 °

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

水平到達距離の式

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·80/40² = 0.4905

位相角

2θ = 29.37° → θ = 14.69°

答え

θ = 14.69°

もう 1 つの解は 90° − θ = 75.31° です。

6.放物運動

答え: v = 20.94 m/s

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

v_x = 12·cos 55° = 6.883 m/s

v_y0 = 12·sin 55° = 9.83 m/s

衝突時の鉛直方向の速さ

エネルギー、または鉛直方向の v² = v₀² + 2as。

v_y = √(9.83² + 2·9.81·15) = 19.77 m/s

衝突時の速さ

v = √(6.883² + 19.77²) = 20.94 m/s

答え

v = 20.94 m/s

エネルギーで確認：v² = v₀² + 2gh。

7.仕事とエネルギー

答え: T = 7.2 N

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。円軌道上では、中心に向かう合力は mv²/r に等しくなければなりません。

最下点での速さ

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·0.5·(1 − cos 40°) = 2.295 m²/s²

最下点での力

m·g = 0.5·9.81 = 4.905 N

T = mg + mv²/L = 4.905 + 0.5·2.295/0.5 = 7.2 N

答え

T = 7.2 N

確認：T = mg(3 − 2cos θ) = 7.2 N。

8.仕事とエネルギー

答え: d = 2.654 m

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

ばねのエネルギー

x = 8 cm = 0.08 m

½kx² = ½·3000·0.08² = 9.6 J

斜面に沿ったエネルギー収支

m·g = 0.5·9.81 = 4.905 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 9.6/(4.905·(0.5736 + 0.2·0.8192)) = 2.654 m

答え

d = 2.654 m

9.運動量と衝突

答え: v′₂ = 2 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

静止した相手との弾性衝突

運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くと、この 2 つの結果が得られます。

v′₁ = (0.5 − 4)/(0.5 + 4)·9 = −7 m/s

v′₂ = 2·0.5/(0.5 + 4)·9 = 2 m/s

答え

v′₂ = 2 m/s

10.運動量と衝突

答え: J = 6.75 N·s

運動量の変化

J = m·Δv = 0.25·(19 + 8) = 6.75 N·s

答え

J = 6.75 N·s

11.静水圧

答え: F = 110.4 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 1 + 2.5/2 = 2.25 m

A = H·b = 2.5·2 = 5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.25·5 = 110.4 kN

答え

F = 110.4 kN

12.静水圧

答え: y_cp = 2.042 m

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 1.5 + 1/2 = 2 m

A = H·b = 1·1.5 = 1.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·2·1.5 = 37.08 kN

圧力中心

圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。

I_c = b·H³/12 = 1.5·1³/12 = 0.125 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2 + 0.125/(2·1.5) = 2.042 m

答え

y_cp = 2.042 m

13.連続の式とベルヌーイ

答え: p₁ = 291.3 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

流速

v₁ = Q/A₁ = 0.034/0.03142 = 1.082 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0.034/0.01767 = 1.924 m/s

ベルヌーイの定理

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 290 + ½·1000·(1.924² − 1.082²)/1000 = 290 + 1.265 = 291.3 kPa

答え

p₁ = 291.3 kPa

14.連続の式とベルヌーイ

答え: p₂ = 212.8 kPa

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1.25·(200/75)² = 8.889 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1.25² − 8.889²)/1000 = −38.72 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·8/1000 = 78.48 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 330 + (−38.72) − 78.48 = 212.8 kPa

答え

p₂ = 212.8 kPa

15.理想気体の状態方程式

答え: V = 68.51 L

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = 500/28.01 = 17.85 mol

T = 50 + 273.15 = 323.1 K

体積

V = nRT/P = 17.85·8.314·323.1/700 = 68.51 L

答え

V = 68.51 L

16.理想気体の状態方程式

答え: ρ = 2.208 kg/m³

理想気体の密度：ρ = PM/(RT)。

状態方程式を変形する

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 120 + 273.15 = 393.1 K

密度

ρ = 450·16.04/(8.314·393.1) = 2.208 kg/m³

答え

ρ = 2.208 kg/m³

17.熱機関と冷凍機

答え: Q̇_H = 10.71 kW

第 2 法則による限界：絶対温度 T_H と T_L の熱源の間で働くどんなサイクルも、可逆（カルノー）サイクルを上回れません：η_max = 1 − T_L/T_H、COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)、COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。エネルギーは常に保存されます：Q_H = W + Q_L。

絶対温度

T_H = 40 + 273.15 = 313.1 K

T_L = -10 + 273.15 = 263.1 K

可逆サイクルの熱量比

Q̇_H = Q̇_L·T_H/T_L = 9·313.1/263.1 = 10.71 kW

答え

Q̇_H = 10.71 kW

入力動力：Ẇ = 1.71 kW。

18.熱機関と冷凍機

答え: Q̇_L = 50.26 kW

絶対温度

T_H = 750 + 273.15 = 1023 K

T₀ = 27 + 273.15 = 300.1 K

T_L = -10 + 273.15 = 263.1 K

機関の仕事

η = 1 − 300.1/1023 = 0.7066

Ẇ = 0.7066·10 = 7.066 kW

冷凍機が取り除く熱

COP_R = 263.1/(300.1 − 263.1) = 7.112

Q̇_L = 7.112·7.066 = 50.26 kW

答え

Q̇_L = 50.26 kW

19.波・音・光学

答え: f′ = 412 Hz

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、f_n = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、f_n = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

ドップラーの公式

f′ = f·(v + v_o)/(v − v_s) = 400·(343 + 0)/(343 − 10)

f′ = 412 Hz

答え

f′ = 412 Hz

20.波・音・光学

答え: θ_a = 14.23 °

幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/d_o + 1/d_i に従い、倍率は m = −d_i/d_o です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。d_i > 0 は実像、d_i < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。

クラッドでの臨界角

sin θc = 1.5/1.52 = 0.9868 → θc = 80.7°

開口数

NA = √(1.52² − 1.5²) = 0.2458

受光角

θ_a = arcsin(0.2458) = 14.23°

答え

θ_a = 14.23°

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