基礎物理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式: A₁v₁ = A₂v₂
ベルヌーイの定理: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
円の面積: A = πd²/4

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式: pV = nRT
気体定数: R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物質量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

熱機関と冷凍機

効率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
カルノー効率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
冷凍機の COP: COP_R = Q_C/W
ヒートポンプの COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
エネルギー収支: Q_H = W + Q_C

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

50 km/h で走っている車が、一定の減速度 6 m/s² でブレーキをかけて停止する。ブレーキをかけてから停止するまでの時間 t を求めよ。

v₀ = 50 km/ha = −6 m/s²v = 0

t = s

2.運動学むずかしい

地面から高さ 25 m の屋上の端から、ボールを 11 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗は無視し、g = 9.81 m/s² とする。投げてから地面に落ちるまでの時間 t を求めよ。

v₀ = 11 m/sh₀ = 25 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.ニュートンの法則ふつう

質量 9 kg のブロックが、水平と 35° をなす斜面をすべり下りる。動摩擦係数は 0.1 である。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 9 kgθ = 35°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

25° の斜面上にある質量 4 kg のブロックが、斜面の上端にある摩擦のない滑車を通る軽い糸で、つり下げられた質量 8 kg のおもりにつながれている。つり下げられたおもりは下向きに動く。ブロックと斜面の間の動摩擦係数は 0.15 である。 g = 9.81 m/s² とする。全体の加速度 a を求めよ。

m₁ = 4 kgm₂ = 8 kgθ = 25°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.放物運動ふつう

水平な地面からボールを 26 m/s で打ち出し、25 m 先に着地させなければならない。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。2 つの可能な打ち出し角のうち小さい方 θ を求めよ。

v₀ = 26 m/sR = 25 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.放物運動むずかしい

地面の高さからボールを 22 m/s、水平から 70° 上向きに投げる。ボールは下降中に、高さ 4 m の建物の平らな屋上に着地する。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。投げた点から着地点までの水平距離 x を求めよ。

v₀ = 22 m/sθ = 70°h_roof = 4 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.仕事とエネルギーふつう

質量 1 kg の小球が長さ 0.8 m の軽い糸につり下げられている。糸が鉛直と 50° をなすまで横に引き、静かに放す。小球が最下点を通過するときの糸の張力 T を求めよ。

m = 1 kgL = 0.8 mθ = 50°g = 9.81 m/s²

T = N

8.仕事とエネルギーむずかしい

質量 2.5 kg のブロックを、なめらかなスロープ上の高さ 1 m から静かに放す。下で長さ 1 m の粗い水平区間（μ = 0.3）を通り、その後なめらかな面でばね（k = 2000 N/m）に当たる。ばねの最大縮み x を求めよ。

m = 2.5 kgh = 1 mL = 1 mμ = 0.3k = 2000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

9.運動量と衝突ふつう

摩擦のないレール上で、9 m/s で動く質量 3 kg のグライダーが、静止している質量 4.5 kg のグライダーと完全弾性的に正面衝突する。衝突後の 1 台目のグライダーの速度 v′₁ を求めよ（元の進行方向を正とする）。

m₁ = 3 kgm₂ = 4.5 kgv₁ = 9 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

10.運動量と衝突むずかしい

質量 0.45 kg のボールが 13 m/s で壁に当たり、19 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 10 ms である。壁がボールに与える力積の大きさ J を求めよ。

m = 0.45 kgv_in = 13 m/sv_out = 19 m/sΔt = 10 ms

J = N·s

11.静水圧ふつう

幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 0.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 0.5 mH = 2.5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水圧むずかしい

幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1.5 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ y_cp を求めよ。

d = 1.5 mH = 2.5 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.連続の式とベルヌーイふつう

水が、100 mm から 50 mm に細くなる水平管を流れる。太い部分の圧力は 180 kPa、流速は 0.5 m/s である。損失を無視して、細い部分の圧力 p₂ を求めよ。

d₁ = 100 mmd₂ = 50 mmp₁ = 180 kPav₁ = 0.5 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.連続の式とベルヌーイむずかしい

水が、150 mm から 100 mm に細くなりながら 3 m 上昇する管を上向きに流れる。断面 1 での圧力は 130 kPa、流速は 0.5 m/s である。損失を無視して、断面 2 での圧力 p₂ を求めよ。

d₁ = 150 mmd₂ = 100 mmp₁ = 130 kPav₁ = 0.5 m/sΔz = 3 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.理想気体の状態方程式ふつう

容積 5 L のタンクに、温度 100 °C のO₂が 180 g 入っている。理想気体として圧力 P を求めよ。

m = 180 gM = 32 g/molV = 5 LT = 100 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.理想気体の状態方程式むずかしい

一定量のCH₄が 250 kPa、20 L、40 °C から 450 kPa、90 °C に変化する。新しい体積 V₂ を求めよ。

P₁ = 250 kPaV₁ = 20 LT₁ = 40 °CP₂ = 450 kPaT₂ = 90 °C

V₂ = L

17.熱機関と冷凍機ふつう

熱機関が 400 °C の高温熱源と 15 °C の低温熱源の間で働く。可能な最大の熱効率 η_max を求めよ。

T_H = 400 °CT_L = 15 °C

η_max = %

18.熱機関と冷凍機むずかしい

ヒートポンプが、外気 -5 °C のときに家を 20 °C に保ち、家に 10 kW の熱を供給する。必要な最小入力動力 Ẇ_min を求めよ。

T_H = 20 °CT_L = -5 °CQ̇_H = 10 kW

Ẇ_min = kW

19.波・音・光学ふつう

440 Hz の音源が、静止している観測者から遠ざかるように 20 m/s で動いています。音速は 343 m/s です。観測者に聞こえる振動数 f′ を求めてください。

f = 440 Hzv = 343 m/sv_s = 20 m/s

f′ = Hz

20.波・音・光学むずかしい

波長 500 nm の光が、1 ミリメートルあたり 100 本の線をもつ回折格子に直角に当たります。次数 2 の極大の角度 θ₂ を求めてください。

N = 100 mm⁻¹λ = 500 nmm = 2

θ₂ = °

3溶液

1.運動学

答え: t = 2.315 s

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

単位

v₀ = 50/3.6 = 13.89 m/s

制動時間

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 13.89/6 = 2.315 s

答え

t = 2.315 s

2.運動学

答え: t = 3.642 s

運動の式

上向きを正とし、地面は出発点の h₀ 下にあります。

−25 = 11·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 11·t − 25 = 0

2 次方程式を解く

物理的に意味があるのは正の解だけです。

t = (11 + √(11² + 2·9.81·25))/9.81 = 3.642 s

答え

t = 3.642 s

3.ニュートンの法則

答え: a = 4.823 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 35° − 0.1·cos 35°) = 9.81·(0.5736 − 0.08192) = 4.823 m/s²

答え

a = 4.823 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: a = 4.713 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

糸に沿った力

m₂·g = 78.48 N

m₁·g·sin θ = 16.58 N

μ·m₁·g·cos θ = 5.335 N

系の加速度

a = (78.48 − 16.58 − 5.335)/12 = 4.713 m/s²

答え

a = 4.713 m/s²

5.放物運動

答え: θ = 10.64 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

水平到達距離の式

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·25/26² = 0.3628

位相角

2θ = 21.27° → θ = 10.64°

答え

θ = 10.64°

もう 1 つの解は 90° − θ = 79.36° です。

6.放物運動

答え: x = 30.18 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

初速度を分解する

v_x = 7.524 m/s, v_y = 20.67 m/s

屋上に着地するまでの時間

大きい方の解：ボールは下降中です。

4 = 20.67·t − 4.905·t²

t = (20.67 + √(20.67² − 2·9.81·4))/9.81 = 4.011 s

水平距離

x = v_x·t = 7.524·4.011 = 30.18 m

答え

x = 30.18 m

7.仕事とエネルギー

答え: T = 16.82 N

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。円軌道上では、中心に向かう合力は mv²/r に等しくなければなりません。

最下点での速さ

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·0.8·(1 − cos 50°) = 5.607 m²/s²

最下点での力

m·g = 1·9.81 = 9.81 N

T = mg + mv²/L = 9.81 + 1·5.607/0.8 = 16.82 N

答え

T = 16.82 N

確認：T = mg(3 − 2cos θ) = 16.82 N。

8.仕事とエネルギー

答え: x = 13.1 cm

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

粗い区間を通過した後のエネルギー

スロープはなめらかなので、エネルギーを奪うのは粗い区間だけです。

mgh − μmgL = 24.53·(1 − 0.3·1) = 17.17 J

最大縮み

½kx² = 17.17 → x = √(2·17.17/2000) = 0.131 m = 13.1 cm

答え

x = 13.1 cm

9.運動量と衝突

答え: v′₁ = −1.8 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

静止した相手との弾性衝突

運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くと、この 2 つの結果が得られます。

v′₁ = (3 − 4.5)/(3 + 4.5)·9 = −1.8 m/s

v′₂ = 2·3/(3 + 4.5)·9 = 7.2 m/s

答え

v′₁ = −1.8 m/s

負の符号は、1 台目のグライダーがはね返ることを意味します。

10.運動量と衝突

答え: J = 14.4 N·s

運動量の変化

J = m·Δv = 0.45·(19 + 13) = 14.4 N·s

答え

J = 14.4 N·s

11.静水圧

答え: F = 85.84 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 0.5 + 2.5/2 = 1.75 m

A = H·b = 2.5·2 = 5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·1.75·5 = 85.84 kN

答え

F = 85.84 kN

12.静水圧

答え: y_cp = 2.939 m

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 1.5 + 2.5/2 = 2.75 m

A = H·b = 2.5·1.5 = 3.75 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.75·3.75 = 101.2 kN

圧力中心

圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。

I_c = b·H³/12 = 1.5·2.5³/12 = 1.953 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2.75 + 1.953/(2.75·3.75) = 2.939 m

答え

y_cp = 2.939 m

13.連続の式とベルヌーイ

答え: p₂ = 178.1 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0.5·(100/50)² = 2 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0.5² − 2²)/1000 = −1.875 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 180 + (−1.875) = 178.1 kPa

答え

p₂ = 178.1 kPa

14.連続の式とベルヌーイ

答え: p₂ = 100.1 kPa

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0.5·(150/100)² = 1.125 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0.5² − 1.125²)/1000 = −0.5078 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·3/1000 = 29.43 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 130 + (−0.5078) − 29.43 = 100.1 kPa

答え

p₂ = 100.1 kPa

15.理想気体の状態方程式

答え: P = 3490 kPa

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = m/M = 180/32 = 5.625 mol

T = 100 + 273.15 = 373.1 K

圧力

P = nRT/V = 5.625·8.314·373.1/0.005 = 3490 kPa

答え

P = 3490 kPa

16.理想気体の状態方程式

答え: V₂ = 12.89 L

ボイル・シャルルの法則：一定量の理想気体では P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂。

絶対温度

T₁ = 313.1 K, T₂ = 363.1 K

ボイル・シャルルの法則

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 20·(250/450)·(363.1/313.1) = 12.89 L

答え

V₂ = 12.89 L

17.熱機関と冷凍機

答え: η_max = 57.19 %

第 2 法則による限界：絶対温度 T_H と T_L の熱源の間で働くどんなサイクルも、可逆（カルノー）サイクルを上回れません：η_max = 1 − T_L/T_H、COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)、COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。エネルギーは常に保存されます：Q_H = W + Q_L。

絶対温度

T_H = 400 + 273.15 = 673.1 K

T_L = 15 + 273.15 = 288.1 K

カルノー効率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 288.1/673.1 = 57.19 %

答え

η_max = 57.19 %

18.熱機関と冷凍機

答え: Ẇ_min = 0.8528 kW

絶対温度

T_H = 20 + 273.15 = 293.1 K

T_L = -5 + 273.15 = 268.1 K

可能な最良の COP

COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L) = 293.1/(293.1 − 268.1) = 11.73

最小動力

必要な仕事が最も少ないのは、COP が最大の可逆機械です。

Ẇ_min = Q̇_H/COP = 10/11.73 = 0.8528 kW

答え

Ẇ_min = 0.8528 kW

19.波・音・光学

答え: f′ = 415.8 Hz

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、f_n = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、f_n = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

ドップラーの公式

f′ = f·(v − v_o)/(v + v_s) = 440·(343 − 0)/(343 + 20)

f′ = 415.8 Hz

答え

f′ = 415.8 Hz

20.波・音・光学

答え: θ₂ = 5.739 °

干渉と回折：距離 d だけ離れた 2 本のスリットを通った光は、スクリーン上の点に行路差 d·sin θ で届きます。明線は d·sin θ = mλ（m = 0, ±1, ±2, …）の位置に現れます。スクリーンまでの距離が L ≫ d のとき、m 番目の明線は y = mλL/d の位置にあり、縞の間隔は Δy = λL/d です。1 ミリメートルあたり N 本の線をもつ回折格子では d = 1/N で、鋭い極大が d·sin θ = mλ の位置に現れます。sin θ ≤ 1 なので、最高次数は m ≤ d/λ を満たす最大の整数 m です。幅 a の単スリットでは、a·sin θ = mλ（m = ±1, ±2, …）の位置に暗線ができます。

線の間隔

d = 1/100 mm = 1 × 10⁻⁵ m

回折格子の式

sin θ = mλ/d = 2·500 × 10⁻⁹/(1 × 10⁻⁵) = 0.1

θ = 5.739°

答え

θ₂ = 5.739°

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