基礎物理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式: A₁v₁ = A₂v₂
ベルヌーイの定理: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
円の面積: A = πd²/4

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式: pV = nRT
気体定数: R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物質量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

熱機関と冷凍機

効率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
カルノー効率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
冷凍機の COP: COP_R = Q_C/W
ヒートポンプの COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
エネルギー収支: Q_H = W + Q_C

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

72 km/h で走っている車が、一定の減速度 3 m/s² でブレーキをかけて停止する。制動距離 s を求めよ。

v₀ = 72 km/ha = −3 m/s²v = 0

s = m

2.運動学むずかしい

石を井戸に静かに落とす。石を放してから 3.9 s 後に水音が聞こえる。音速は 343 m/s とし、空気抵抗を無視して g = 9.81 m/s² とする。井戸の深さ d を求めよ。

t_total = 3.9 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.ニュートンの法則ふつう

箱が水平な床の上を初速 5 m/s ですべり、25 m 進んで止まる。g = 9.81 m/s² とする。動摩擦係数 μ を求めよ。

v₀ = 5 m/sd = 25 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.ニュートンの法則むずかしい

ブロックを押して、15° の斜面を速さ 3.5 m/s ですべり上がらせる。動摩擦係数は 0.25 である。g = 9.81 m/s² とする。止まるまでに斜面に沿ってどれだけの距離 d すべるか。

v₀ = 3.5 m/sθ = 15°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

d = m

5.放物運動ふつう

水平な地面からボールを 38 m/s で打ち出し、85 m 先に着地させなければならない。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。2 つの可能な打ち出し角のうち小さい方 θ を求めよ。

v₀ = 38 m/sR = 85 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.放物運動むずかしい

地面の高さからボールを 33 m/s、水平から 60° 上向きに投げる。ボールは下降中に、高さ 20 m の建物の平らな屋上に着地する。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。投げた点から着地点までの水平距離 x を求めよ。

v₀ = 33 m/sθ = 60°h_roof = 20 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.仕事とエネルギーふつう

質量 1800 kg の自動車が 5° の坂を一定の 72 km/h で上る。空気抵抗と転がり抵抗の合計は 200 N である。車輪が出さなければならない動力 P を kW で求めよ。

m = 1800 kgθ = 5°F_r = 200 Nv = 72 km/hg = 9.81 m/s²

P = kW

8.仕事とエネルギーむずかしい

質量 2.5 kg のブロックを、なめらかなスロープ上の高さ 2 m から静かに放す。下で長さ 3 m の粗い水平区間（μ = 0.25）を通り、その後なめらかな面でばね（k = 1000 N/m）に当たる。ばねの最大縮み x を求めよ。

m = 2.5 kgh = 2 mL = 3 mμ = 0.25k = 1000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

9.運動量と衝突ふつう

摩擦のないレール上で、3 m/s で動く質量 4 kg のグライダーが、静止している質量 5 kg のグライダーと完全弾性的に正面衝突する。衝突後の 2 台目のグライダーの速度 v′₂ を求めよ。

m₁ = 4 kgm₂ = 5 kgv₁ = 3 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

10.運動量と衝突むずかしい

質量 0.5 kg のボールが 21 m/s で壁に当たり、4 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 10 ms である。壁がボールに及ぼす平均の力 F_avg を求めよ。

m = 0.5 kgv_in = 21 m/sv_out = 4 m/sΔt = 10 ms

F_avg = N

11.静水圧ふつう

幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 4 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 4 mH = 2.5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水圧むずかしい

幅 3 m の鉛直な長方形ゲートが、海水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 0.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 0.5 mH = 1 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.連続の式とベルヌーイふつう

風洞内のピトー静圧管が、よどみ点圧と静圧の差として 750 Pa を示す。空気の密度は 1.2 kg/m³ である。風速 v を求めよ。

p₀ − p = 750 Paρ = 1.2 kg/m³

v = m/s

14.連続の式とベルヌーイむずかしい

水が、150 mm から 100 mm に細くなりながら 2 m 上昇する管を上向きに流れる。断面 1 での圧力は 210 kPa、流速は 3 m/s である。損失を無視して、断面 2 での圧力 p₂ を求めよ。

d₁ = 150 mmd₂ = 100 mmp₁ = 210 kPav₁ = 3 m/sΔz = 2 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.理想気体の状態方程式ふつう

容積 50 L のタンクに、温度 30 °C のCO₂が 90 g 入っている。理想気体として圧力 P を求めよ。

m = 90 gM = 44.01 g/molV = 50 LT = 30 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.理想気体の状態方程式むずかしい

一定量のHeが 200 kPa、20 L、15 °C から 700 kPa、160 °C に変化する。新しい体積 V₂ を求めよ。

P₁ = 200 kPaV₁ = 20 LT₁ = 15 °CP₂ = 700 kPaT₂ = 160 °C

V₂ = L

17.熱機関と冷凍機ふつう

熱機関が 800 °C の高温熱源と 35 °C の低温熱源の間で働く。この機関は 3300 kJ の熱を受け取る。得られる最大の仕事 W_max を求めよ。

T_H = 800 °CT_L = 35 °CQ_H = 3300 kJ

W_max = kJ

18.熱機関と冷凍機むずかしい

冷蔵庫が、25 °C のキッチンで冷蔵室を 4 °C に保ち、冷蔵室から 3 kW の熱を取り除く。可能な最大の成績係数 COP_max を求めよ。

T_H = 25 °CT_L = 4 °CQ̇_L = 3 kW

COP_max =

19.波・音・光学ふつう

光がエタノール（n = 1.36）の中を、空気（n = 1.00）との平らな境界に向かって進みます。それを超えると全反射する臨界角 θ_c を求めてください。

n₁ = 1.36n₂ = 1.00

θ_c = °

20.波・音・光学むずかしい

波長 600 nm の光が、幅 0.2 mm の単スリットを通ります。2.5 m 先のスクリーン上の、中央の明るい極大の幅 w（両側の最初の暗線の間）を求めてください。

λ = 600 nma = 0.2 mmL = 2.5 m

w = mm

3溶液

1.運動学

答え: s = 66.67 m

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

単位

v₀ = 72/3.6 = 20 m/s

制動距離

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 20²/(2·3) = 66.67 m

答え

s = 66.67 m

2.運動学

答え: d = 67.29 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

時間の 2 つの部分

½·9.81·t₁² = 343·(3.9 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 1338 = 0

落下時間

物理的に意味があるのは正の解だけです。

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·1338))/(2·4.905) = 3.704 s

深さ

d = ½·9.81·3.704² = 67.29 m

答え

d = 67.29 m

3.ニュートンの法則

答え: μ = 0.05097

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

減速度

a = v₀²/(2d) = 5²/(2·25) = 0.5 m/s²

摩擦係数

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 0.5/9.81 = 0.05097

答え

μ = 0.05097

4.ニュートンの法則

答え: d = 1.248 m

減速度

どちらの力も斜面を下る向きで、質量は消えます。

a = 9.81·(sin 15° + 0.25·cos 15°) = 4.908 m/s²

距離

d = v₀²/(2a) = 3.5²/(2·4.908) = 1.248 m

答え

d = 1.248 m

5.放物運動

答え: θ = 17.64 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

水平到達距離の式

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·85/38² = 0.5775

位相角

2θ = 35.27° → θ = 17.64°

答え

θ = 17.64°

もう 1 つの解は 90° − θ = 72.36° です。

6.放物運動

答え: x = 82.72 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

初速度を分解する

v_x = 16.5 m/s, v_y = 28.58 m/s

屋上に着地するまでの時間

大きい方の解：ボールは下降中です。

20 = 28.58·t − 4.905·t²

t = (28.58 + √(28.58² − 2·9.81·20))/9.81 = 5.013 s

水平距離

x = v_x·t = 16.5·5.013 = 82.72 m

答え

x = 82.72 m

7.仕事とエネルギー

答え: P = 34.78 kW

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。動力は力 × 速さです：P = F·v。

駆動力

m·g = 1800·9.81 = 17658 N

mg·sin θ = 17658·sin 5° = 1539 N

F = 1539 + 200 = 1739 N

電力

v = 72/3.6 = 20 m/s

P = F·v = 1739·20 = 34780 W = 34.78 kW

答え

P = 34.78 kW

8.仕事とエネルギー

答え: x = 24.76 cm

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

粗い区間を通過した後のエネルギー

スロープはなめらかなので、エネルギーを奪うのは粗い区間だけです。

mgh − μmgL = 24.53·(2 − 0.25·3) = 30.66 J

最大縮み

½kx² = 30.66 → x = √(2·30.66/1000) = 0.2476 m = 24.76 cm

答え

x = 24.76 cm

9.運動量と衝突

答え: v′₂ = 2.667 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

静止した相手との弾性衝突

運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くと、この 2 つの結果が得られます。

v′₁ = (4 − 5)/(4 + 5)·3 = −0.3333 m/s

v′₂ = 2·4/(4 + 5)·3 = 2.667 m/s

答え

v′₂ = 2.667 m/s

10.運動量と衝突

答え: F_avg = 1250 N

運動量の変化

J = m·Δv = 0.5·(4 + 21) = 12.5 N·s

平均の力

F_avg = J/Δt = 12.5/0.01 = 1250 N

答え

F_avg = 1250 N

11.静水圧

答え: F = 257.5 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 4 + 2.5/2 = 5.25 m

A = H·b = 2.5·2 = 5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·5.25·5 = 257.5 kN

答え

F = 257.5 kN

12.静水圧

答え: F = 30.17 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 0.5 + 1/2 = 1 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·1·3 = 30.17 kN

答え

F = 30.17 kN

13.連続の式とベルヌーイ

答え: v = 35.36 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

よどみ点へのベルヌーイの式

流れは先端で静止するので、その運動エネルギーが余分な圧力として現れます。

p₀ − p = ½ρv²

v = √(2·750/1.2) = 35.36 m/s

答え

v = 35.36 m/s

14.連続の式とベルヌーイ

答え: p₂ = 172.1 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 3·(150/100)² = 6.75 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(3² − 6.75²)/1000 = −18.28 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·2/1000 = 19.62 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 210 + (−18.28) − 19.62 = 172.1 kPa

答え

p₂ = 172.1 kPa

15.理想気体の状態方程式

答え: P = 103.1 kPa

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = m/M = 90/44.01 = 2.045 mol

T = 30 + 273.15 = 303.1 K

圧力

P = nRT/V = 2.045·8.314·303.1/0.05 = 103.1 kPa

答え

P = 103.1 kPa

16.理想気体の状態方程式

答え: V₂ = 8.59 L

ボイル・シャルルの法則：一定量の理想気体では P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂。

絶対温度

T₁ = 288.1 K, T₂ = 433.1 K

ボイル・シャルルの法則

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 20·(200/700)·(433.1/288.1) = 8.59 L

答え

V₂ = 8.59 L

17.熱機関と冷凍機

答え: W_max = 2352 kJ

第 2 法則による限界：絶対温度 T_H と T_L の熱源の間で働くどんなサイクルも、可逆（カルノー）サイクルを上回れません：η_max = 1 − T_L/T_H、COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)、COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。エネルギーは常に保存されます：Q_H = W + Q_L。

絶対温度

T_H = 800 + 273.15 = 1073 K

T_L = 35 + 273.15 = 308.1 K

カルノー効率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 308.1/1073 = 71.29 %

最大仕事

W_max = η_max·Q_H = 0.7129·3300 = 2352 kJ

答え

W_max = 2352 kJ

18.熱機関と冷凍機

答え: COP_max = 13.2

絶対温度

T_H = 25 + 273.15 = 298.1 K

T_L = 4 + 273.15 = 277.1 K

可能な最良の COP

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 277.1/(298.1 − 277.1) = 13.2

答え

COP_max = 13.2

19.波・音・光学

答え: θ_c = 47.33 °

幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/d_o + 1/d_i に従い、倍率は m = −d_i/d_o です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。d_i > 0 は実像、d_i < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。

90° の屈折

sin θc = n₂/n₁ = 1.00/1.36 = 0.7353

臨界角

θc = arcsin(0.7353) = 47.33°

答え

θ_c = 47.33°

20.波・音・光学

答え: w = 15 mm

干渉と回折：距離 d だけ離れた 2 本のスリットを通った光は、スクリーン上の点に行路差 d·sin θ で届きます。明線は d·sin θ = mλ（m = 0, ±1, ±2, …）の位置に現れます。スクリーンまでの距離が L ≫ d のとき、m 番目の明線は y = mλL/d の位置にあり、縞の間隔は Δy = λL/d です。1 ミリメートルあたり N 本の線をもつ回折格子では d = 1/N で、鋭い極大が d·sin θ = mλ の位置に現れます。sin θ ≤ 1 なので、最高次数は m ≤ d/λ を満たす最大の整数 m です。幅 a の単スリットでは、a·sin θ = mλ（m = ±1, ±2, …）の位置に暗線ができます。

最初の暗線

y₁ = λL/a = 600 × 10⁻⁹·2.5/(0.2 × 10⁻³) = 7.5 mm

中央の極大の幅

w = 2y₁ = 15 mm

答え

w = 15 mm

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