基礎物理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式: A₁v₁ = A₂v₂
ベルヌーイの定理: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
円の面積: A = πd²/4

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式: pV = nRT
気体定数: R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物質量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

熱機関と冷凍機

効率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
カルノー効率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
冷凍機の COP: COP_R = Q_C/W
ヒートポンプの COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
エネルギー収支: Q_H = W + Q_C

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

54 km/h で走っている車が、一定の減速度 6.5 m/s² でブレーキをかけて停止する。制動距離 s を求めよ。

v₀ = 54 km/ha = −6.5 m/s²v = 0

s = m

2.運動学むずかしい

球 A を高さ 35 m から静かに落とす。同時に、その真下の地面から球 B を 20 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。 2 つの球は地面からどれだけの高さ y で出会うか。

H = 35 mv_0B = 20 m/sg = 9.81 m/s²

y = m

3.ニュートンの法則ふつう

質量 5 kg の箱を、水平と 15° をなす斜面に平行な力で、斜面を一定の速さで押し上げる。動摩擦係数は 0.2 である。g = 9.81 m/s² とする。押す力 F を求めよ。

m = 5 kgθ = 15°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

F = N

4.ニュートンの法則むずかしい

ブロックを押して、20° の斜面を速さ 11 m/s ですべり上がらせる。動摩擦係数は 0.3 である。g = 9.81 m/s² とする。止まるまでに斜面に沿ってどれだけの距離 d すべるか。

v₀ = 11 m/sθ = 20°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

d = m

5.放物運動ふつう

ボールを平らな地面から水平から 20° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでの飛行時間 t を求めよ。

v₀ = 36 m/sθ = 20°g = 9.81 m/s²

t = s

6.放物運動むずかしい

高さ 15 m のがけの上から、ボールを 14 m/s、水平から 55° 上向きに打ち出す。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。ボールは水平から下向きにどの角度 α で地面に当たるか。

v₀ = 14 m/sθ = 55°h = 15 mg = 9.81 m/s²

α = °

7.仕事とエネルギーふつう

質量 800 kg の自動車が 5° の坂を一定の 36 km/h で上る。空気抵抗と転がり抵抗の合計は 500 N である。車輪が出さなければならない動力 P を kW で求めよ。

m = 800 kgθ = 5°F_r = 500 Nv = 36 km/hg = 9.81 m/s²

P = kW

8.仕事とエネルギーむずかしい

質量 5 kg のブロックを、なめらかなスロープ上の高さ 2.5 m から静かに放す。下で長さ 1.5 m の粗い水平区間（μ = 0.15）を通り、その後なめらかな面でばね（k = 500 N/m）に当たる。ブロックがばねに達したときの速さ v を求めよ。

m = 5 kgh = 2.5 mL = 1.5 mμ = 0.15k = 500 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.運動量と衝突ふつう

摩擦のないレール上で、11 m/s で動く質量 2 kg のグライダーが、静止している質量 3 kg のグライダーと完全弾性的に正面衝突する。衝突後の 2 台目のグライダーの速度 v′₂ を求めよ。

m₁ = 2 kgm₂ = 3 kgv₁ = 11 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

10.運動量と衝突むずかしい

質量 0.3 kg のボールが 22 m/s で壁に当たり、15 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 50 ms である。壁がボールに与える力積の大きさ J を求めよ。

m = 0.3 kgv_in = 22 m/sv_out = 15 m/sΔt = 50 ms

J = N·s

11.静水圧ふつう

幅 3 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 2 mH = 1 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水圧むずかしい

幅 3 m の鉛直な長方形ゲートが、海水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 1.5 mH = 3 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.連続の式とベルヌーイふつう

水が 34 L/s で、150 mm から 100 mm に細くなる水平管を流れる。細い部分の圧力は 80 kPa である。損失を無視して、太い部分の圧力 p₁ を求めよ。

Q = 34 L/sd₁ = 150 mmd₂ = 100 mmp₂ = 80 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

14.連続の式とベルヌーイむずかしい

水が、100 mm から 50 mm に細くなりながら 3 m 上昇する管を上向きに流れる。断面 1 での圧力は 120 kPa、流速は 0.5 m/s である。損失を無視して、断面 2 での圧力 p₂ を求めよ。

d₁ = 100 mmd₂ = 50 mmp₁ = 120 kPav₁ = 0.5 m/sΔz = 3 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.理想気体の状態方程式ふつう

800 kPa、20 °C において、O₂ 10 g が占める体積 V はいくらか。理想気体として扱う。

m = 10 gM = 32 g/molP = 800 kPaT = 20 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想気体の状態方程式むずかしい

550 kPa、170 °C におけるHeの密度 ρ を、理想気体として求めよ。

M = 4.003 g/molP = 550 kPaT = 170 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.熱機関と冷凍機ふつう

可逆冷凍機が 1.5 kW の熱を取り除いて冷蔵室を -5 °C に保ち、25 °C の周囲へ熱を放出する。放出する熱量 Q̇_H を求めよ。

T_L = -5 °CT_H = 25 °CQ̇_L = 1.5 kW

Q̇_H = kW

18.熱機関と冷凍機むずかしい

熱機関が 1 サイクルあたり 500 °C の熱源から 4100 kJ の熱を受け取り、1230 kJ の仕事をして、残りを 30 °C の熱源へ放出する。1 サイクルあたりの全エントロピー生成量 S_gen を求めよ。

T_H = 500 °CT_L = 30 °CQ_H = 4100 kJW = 1230 kJ

S_gen = kJ/K

19.波・音・光学ふつう

両端が開いた管は、第 4 倍音が 457 Hz になる必要があります。音速は 343 m/s です。管の長さ L を求めてください。

v = 343 m/sn = 4f₄ = 457 Hz

L = m

20.波・音・光学むずかしい

物体が、曲率半径 16 cm の凹面鏡の 4 cm 前にあります。像の距離 d_i を求めてください。鏡の前の像（実像）では正、鏡の後ろの像（虚像）では負とします。

d_o = 4 cmR = 16 cm

d_i = cm

3溶液

1.運動学

答え: s = 17.31 m

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

単位

v₀ = 54/3.6 = 15 m/s

制動距離

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 15²/(2·6.5) = 17.31 m

答え

s = 17.31 m

2.運動学

答え: y = 19.98 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

出会う時刻

上向きを正とし、地面を y = 0 とします。

35 − ½g·t² = 20·t − ½g·t² → t = 35/20 = 1.75 s

出会う高さ

y = 20·1.75 − ½·9.81·1.75² = 19.98 m

答え

y = 19.98 m

3.ニュートンの法則

答え: F = 22.17 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

斜面に沿った力

一定の速さ：力はつり合っています。

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

押す力

F = 12.7 + 9.476 = 22.17 N

答え

F = 22.17 N

4.ニュートンの法則

答え: d = 9.884 m

減速度

どちらの力も斜面を下る向きで、質量は消えます。

a = 9.81·(sin 20° + 0.3·cos 20°) = 6.121 m/s²

距離

d = v₀²/(2a) = 11²/(2·6.121) = 9.884 m

答え

d = 9.884 m

5.放物運動

答え: t = 2.51 s

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 36·cos 20° = 33.83 m/s

v_y = v₀·sin θ = 36·sin 20° = 12.31 m/s

滞空時間

発射点と着地点が同じ高さ：t = 2v_y/g。

t = 2·12.31/9.81 = 2.51 s

答え

t = 2.51 s

6.放物運動

答え: α = 68.74 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

初速度を分解する

v_x = 14·cos 55° = 8.03 m/s

v_y0 = 14·sin 55° = 11.47 m/s

衝突時の鉛直方向の速さ

エネルギー、または鉛直方向の v² = v₀² + 2as。

v_y = √(11.47² + 2·9.81·15) = 20.64 m/s

衝突角

tan α = v_y/v_x = 20.64/8.03 → α = 68.74°

答え

α = 68.74°

7.仕事とエネルギー

答え: P = 11.84 kW

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。動力は力 × 速さです：P = F·v。

駆動力

m·g = 800·9.81 = 7848 N

mg·sin θ = 7848·sin 5° = 684 N

F = 684 + 500 = 1184 N

電力

v = 36/3.6 = 10 m/s

P = F·v = 1184·10 = 11840 W = 11.84 kW

答え

P = 11.84 kW

8.仕事とエネルギー

答え: v = 6.681 m/s

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

粗い区間を通過した後のエネルギー

スロープはなめらかなので、エネルギーを奪うのは粗い区間だけです。

mgh − μmgL = 49.05·(2.5 − 0.15·1.5) = 111.6 J

ばねに達したときの速さ

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·2.275) = 6.681 m/s

答え

v = 6.681 m/s

9.運動量と衝突

答え: v′₂ = 8.8 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

静止した相手との弾性衝突

運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くと、この 2 つの結果が得られます。

v′₁ = (2 − 3)/(2 + 3)·11 = −2.2 m/s

v′₂ = 2·2/(2 + 3)·11 = 8.8 m/s

答え

v′₂ = 8.8 m/s

10.運動量と衝突

答え: J = 11.1 N·s

運動量の変化

J = m·Δv = 0.3·(15 + 22) = 11.1 N·s

答え

J = 11.1 N·s

11.静水圧

答え: F = 73.58 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 2 + 1/2 = 2.5 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.5·3 = 73.58 kN

答え

F = 73.58 kN

12.静水圧

答え: F = 271.5 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 1.5 + 3/2 = 3 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·3·9 = 271.5 kN

答え

F = 271.5 kN

13.連続の式とベルヌーイ

答え: p₁ = 87.52 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

流速

v₁ = Q/A₁ = 0.034/0.01767 = 1.924 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0.034/0.007854 = 4.329 m/s

ベルヌーイの定理

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 80 + ½·1000·(4.329² − 1.924²)/1000 = 80 + 7.519 = 87.52 kPa

答え

p₁ = 87.52 kPa

14.連続の式とベルヌーイ

答え: p₂ = 88.69 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0.5·(100/50)² = 2 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0.5² − 2²)/1000 = −1.875 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·3/1000 = 29.43 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 120 + (−1.875) − 29.43 = 88.69 kPa

答え

p₂ = 88.69 kPa

15.理想気体の状態方程式

答え: V = 0.9521 L

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = 10/32 = 0.3125 mol

T = 20 + 273.15 = 293.1 K

体積

V = nRT/P = 0.3125·8.314·293.1/800 = 0.9521 L

答え

V = 0.9521 L

16.理想気体の状態方程式

答え: ρ = 0.5976 kg/m³

理想気体の密度：ρ = PM/(RT)。

状態方程式を変形する

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 170 + 273.15 = 443.1 K

密度

ρ = 550·4.003/(8.314·443.1) = 0.5976 kg/m³

答え

ρ = 0.5976 kg/m³

17.熱機関と冷凍機

答え: Q̇_H = 1.668 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

絶対温度

T_H = 25 + 273.15 = 298.1 K

T_L = -5 + 273.15 = 268.1 K

可逆サイクルの熱量比

Q̇_H = Q̇_L·T_H/T_L = 1.5·298.1/268.1 = 1.668 kW

答え

Q̇_H = 1.668 kW

入力動力：Ẇ = 0.1678 kW。

18.熱機関と冷凍機

答え: S_gen = 4.164 kJ/K

エントロピー生成：1 サイクル全体で作動流体の正味のエントロピー変化はありません。高温熱源は Q_H/T_H を失い、低温熱源は Q_L/T_L を得ます。その和が生成されたエントロピーで、可逆サイクルでは 0、実際のサイクルではすべて正になります。

放出熱

Q_L = Q_H − W = 4100 − 1230 = 2870 kJ

絶対温度

T_H = 500 + 273.15 = 773.1 K

T_L = 30 + 273.15 = 303.1 K

熱源のエントロピー変化

ΔS_H = −4100/773.1 = −5.303 kJ/K

ΔS_L = 2870/303.1 = 9.467 kJ/K

S_gen = 9.467 − 5.303 = 4.164 kJ/K

答え

S_gen = 4.164 kJ/K

S_gen > 0 なので、この機関は実現可能ですが不可逆です。

19.波・音・光学

答え: L = 1.501 m

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、f_n = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、f_n = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

波長

λ = v/f = 343/457 = 0.7505 m

長さ

L = nλ/2 = 4·0.7505/2 = 1.501 m

答え

L = 1.501 m

20.波・音・光学

答え: d_i = −8 cm

幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/d_o + 1/d_i に従い、倍率は m = −d_i/d_o です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。d_i > 0 は実像、d_i < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。

焦点距離

f = R/2 = 8 cm

鏡の式

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/8 − 1/4

d_i = −8 cm

光線図

鏡の後ろにできる虚像

答え

d_i = −8 cm

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