基礎物理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式: A₁v₁ = A₂v₂
ベルヌーイの定理: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
円の面積: A = πd²/4

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式: pV = nRT
気体定数: R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物質量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

熱機関と冷凍機

効率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
カルノー効率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
冷凍機の COP: COP_R = Q_C/W
ヒートポンプの COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
エネルギー収支: Q_H = W + Q_C

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

36 km/h で走っている車が、一定の減速度 5 m/s² でブレーキをかけて停止する。制動距離 s を求めよ。

v₀ = 36 km/ha = −5 m/s²v = 0

s = m

2.運動学むずかしい

地面から高さ 20 m の屋上の端から、ボールを 13 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗は無視し、g = 9.81 m/s² とする。地面からの最高点の高さ h_max を求めよ。

v₀ = 13 m/sh₀ = 20 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.ニュートンの法則ふつう

質量 5 kg と 2.5 kg のおもりが、軽くて摩擦のない滑車の両側に軽い糸でつながれてつり下げられている。系を静かに放す。g = 9.81 m/s² とする。糸の張力 T を求めよ。

m₁ = 5 kgm₂ = 2.5 kgg = 9.81 m/s²

T = N

4.ニュートンの法則むずかしい

ブロックを押して、25° の斜面を速さ 6.5 m/s ですべり上がらせる。動摩擦係数は 0.2 である。g = 9.81 m/s² とする。止まるまでに斜面に沿ってどれだけの距離 d すべるか。

v₀ = 6.5 m/sθ = 25°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

d = m

5.放物運動ふつう

ボールを平らな地面から水平から 60° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでに進む水平距離 x を求めよ。

v₀ = 26 m/sθ = 60°g = 9.81 m/s²

x = m

6.放物運動むずかしい

ボールを高さ 55 m の崖の上から水平から 60° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでの飛行時間 t を求めよ。

v₀ = 25 m/sθ = 60°h = 55 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.仕事とエネルギーふつう

おもちゃの発射装置に、ばね定数 500 N/m の鉛直なばねがある。質量 0.25 kg のボールをその上に置き、ばねを 8 cm 縮めてから放す。空気抵抗とばねの質量を無視して、ばねを縮めたときの位置から測ったボールの上昇高さ h を求めよ。

m = 0.25 kgk = 500 N/mx = 8 cmg = 9.81 m/s²

h = m

8.仕事とエネルギーむずかしい

40° の斜面の下端にあるばね定数 500 N/m のばねを、質量 2 kg のブロックに押し当てて 20 cm 縮めてから放す。ブロックと斜面の間の動摩擦係数は 0.25 である。ブロックは放した点から斜面をどれだけの距離 d 上がって止まるか。（ばねが押す短い距離は無視し、摩擦と重力は全距離 d にわたって作用するとする。）

m = 2 kgk = 500 N/mx = 20 cmθ = 40°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

d = m

9.運動量と衝突ふつう

10 m/s で動いている質量 1600 kg の自動車が、静止している質量 1000 kg の自動車に衝突し、2 台は一体となる。衝突で失われる運動エネルギー ΔK はどれだけか。

m₁ = 1600 kgv₁ = 10 m/sm₂ = 1000 kgv₂ = 0

ΔK = J

10.運動量と衝突むずかしい

質量 0.15 kg のボールが 15 m/s で壁に当たり、15 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 25 ms である。壁がボールに及ぼす平均の力 F_avg を求めよ。

m = 0.15 kgv_in = 15 m/sv_out = 15 m/sΔt = 25 ms

F_avg = N

11.静水圧ふつう

幅 1 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 3 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 3 mH = 3 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水圧むずかしい

幅 3 m の鉛直な長方形ゲートが、油を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 0.5 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ y_cp を求めよ。

d = 0.5 mH = 2 mb = 3 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.連続の式とベルヌーイふつう

水が、150 mm から 75 mm に細くなる水平管を流れる。太い部分の圧力は 190 kPa、流速は 2.5 m/s である。損失を無視して、細い部分の圧力 p₂ を求めよ。

d₁ = 150 mmd₂ = 75 mmp₁ = 190 kPav₁ = 2.5 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.連続の式とベルヌーイむずかしい

水が、75 mm から 50 mm に細くなりながら 2 m 上昇する管を上向きに流れる。断面 1 での圧力は 290 kPa、流速は 2.5 m/s である。損失を無視して、断面 2 での圧力 p₂ を求めよ。

d₁ = 75 mmd₂ = 50 mmp₁ = 290 kPav₁ = 2.5 m/sΔz = 2 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.理想気体の状態方程式ふつう

容積 30 L のタンクに、温度 70 °C のArが 300 g 入っている。理想気体として圧力 P を求めよ。

m = 300 gM = 39.95 g/molV = 30 LT = 70 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.理想気体の状態方程式むずかしい

750 kPa、80 °C におけるArの密度 ρ を、理想気体として求めよ。

M = 39.95 g/molP = 750 kPaT = 80 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.熱機関と冷凍機ふつう

熱機関が 475 °C の高温熱源と 40 °C の低温熱源の間で働く。この機関は 4100 kJ の熱を受け取る。得られる最大の仕事 W_max を求めよ。

T_H = 475 °CT_L = 40 °CQ_H = 4100 kJ

W_max = kJ

18.熱機関と冷凍機むずかしい

冷蔵庫が、32 °C のキッチンで冷蔵室を 4 °C に保ち、冷蔵室から 3 kW の熱を取り除く。必要な最小入力動力 Ẇ_min を求めよ。

T_H = 32 °CT_L = 4 °CQ̇_L = 3 kW

Ẇ_min = kW

19.波・音・光学ふつう

両端が開いた管は、第 2 倍音が 286 Hz になる必要があります。音速は 343 m/s です。管の長さ L を求めてください。

v = 343 m/sn = 2f₂ = 286 Hz

L = m

20.波・音・光学むずかしい

物体が、曲率半径 16 cm の凹面鏡の 10 cm 前にあります。像の距離 d_i を求めてください。鏡の前の像（実像）では正、鏡の後ろの像（虚像）では負とします。

d_o = 10 cmR = 16 cm

d_i = cm

3溶液

1.運動学

答え: s = 10 m

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

単位

v₀ = 36/3.6 = 10 m/s

制動距離

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 10²/(2·5) = 10 m

答え

s = 10 m

2.運動学

答え: h_max = 28.61 m

屋上からの上昇距離

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 13²/(2·9.81) = 8.614 m

地面からの高さ

h_max = 20 + 8.614 = 28.61 m

答え

h_max = 28.61 m

3.ニュートンの法則

答え: T = 32.7 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

加速度

正味の駆動力は重さの差で、それが全質量を動かします。

a = (5 − 2.5)·9.81/(5 + 2.5) = 3.27 m/s²

軽いおもりから求める張力

T − m₂·g = m₂·a → T = 2.5·(9.81 + 3.27) = 32.7 N

答え

T = 32.7 N

4.ニュートンの法則

答え: d = 3.566 m

減速度

どちらの力も斜面を下る向きで、質量は消えます。

a = 9.81·(sin 25° + 0.2·cos 25°) = 5.924 m/s²

距離

d = v₀²/(2a) = 6.5²/(2·5.924) = 3.566 m

答え

d = 3.566 m

5.放物運動

答え: x = 59.68 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 26·cos 60° = 13 m/s

v_y = v₀·sin θ = 26·sin 60° = 22.52 m/s

滞空時間

発射点と着地点が同じ高さ：t = 2v_y/g。

t = 2·22.52/9.81 = 4.591 s

水平距離

x = v_x·t = 13·4.591 = 59.68 m

答え

x = 59.68 m

6.放物運動

答え: t = 6.217 s

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 25·cos 60° = 12.5 m/s

v_y = v₀·sin θ = 25·sin 60° = 21.65 m/s

滞空時間

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 55 + 21.65·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (21.65 + √(468.8 + 1079))/9.81 = 6.217 s

答え

t = 6.217 s

7.仕事とエネルギー

答え: h = 0.6524 m

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

ばねのエネルギー

x = 8 cm = 0.08 m

½kx² = ½·500·0.08² = 1.6 J

高さ

m·g = 0.25·9.81 = 2.453 N

h = ½kx²/(mg) = 1.6/2.453 = 0.6524 m

答え

h = 0.6524 m

8.仕事とエネルギー

答え: d = 0.6109 m

ばねのエネルギー

x = 20 cm = 0.2 m

½kx² = ½·500·0.2² = 10 J

斜面に沿ったエネルギー収支

m·g = 2·9.81 = 19.62 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 10/(19.62·(0.6428 + 0.25·0.766)) = 0.6109 m

答え

d = 0.6109 m

9.運動量と衝突

答え: ΔK = 30769 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

共通の速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1600·10/2600 = 6.154 m/s

衝突前後の運動エネルギー

K_before = ½·1600·10² = 80000 J

K_after = ½·2600·6.154² = 49231 J

失われたエネルギー

ΔK = 80000 − 49231 = 30769 J

答え

ΔK = 30769 J

失われたエネルギーは変形、熱、音になります。

10.運動量と衝突

答え: F_avg = 180 N

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

運動量の変化

J = m·Δv = 0.15·(15 + 15) = 4.5 N·s

平均の力

F_avg = J/Δt = 4.5/0.025 = 180 N

答え

F_avg = 180 N

11.静水圧

答え: F = 132.4 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 3 + 3/2 = 4.5 m

A = H·b = 3·1 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·4.5·3 = 132.4 kN

答え

F = 132.4 kN

12.静水圧

答え: y_cp = 1.722 m

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 0.5 + 2/2 = 1.5 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 880·9.81·1.5·6 = 77.7 kN

圧力中心

圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。

I_c = b·H³/12 = 3·2³/12 = 2 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 1.5 + 2/(1.5·6) = 1.722 m

答え

y_cp = 1.722 m

13.連続の式とベルヌーイ

答え: p₂ = 143.1 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2.5·(150/75)² = 10 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2.5² − 10²)/1000 = −46.88 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 190 + (−46.88) = 143.1 kPa

答え

p₂ = 143.1 kPa

14.連続の式とベルヌーイ

答え: p₂ = 257.7 kPa

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2.5·(75/50)² = 5.625 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2.5² − 5.625²)/1000 = −12.7 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·2/1000 = 19.62 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 290 + (−12.7) − 19.62 = 257.7 kPa

答え

p₂ = 257.7 kPa

15.理想気体の状態方程式

答え: P = 714.1 kPa

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = m/M = 300/39.95 = 7.509 mol

T = 70 + 273.15 = 343.1 K

圧力

P = nRT/V = 7.509·8.314·343.1/0.03 = 714.1 kPa

答え

P = 714.1 kPa

16.理想気体の状態方程式

答え: ρ = 10.2 kg/m³

理想気体の密度：ρ = PM/(RT)。

状態方程式を変形する

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 80 + 273.15 = 353.1 K

密度

ρ = 750·39.95/(8.314·353.1) = 10.2 kg/m³

答え

ρ = 10.2 kg/m³

17.熱機関と冷凍機

答え: W_max = 2384 kJ

第 2 法則による限界：絶対温度 T_H と T_L の熱源の間で働くどんなサイクルも、可逆（カルノー）サイクルを上回れません：η_max = 1 − T_L/T_H、COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)、COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。エネルギーは常に保存されます：Q_H = W + Q_L。

絶対温度

T_H = 475 + 273.15 = 748.1 K

T_L = 40 + 273.15 = 313.1 K

カルノー効率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 313.1/748.1 = 58.14 %

最大仕事

W_max = η_max·Q_H = 0.5814·4100 = 2384 kJ

答え

W_max = 2384 kJ

18.熱機関と冷凍機

答え: Ẇ_min = 0.3031 kW

絶対温度

T_H = 32 + 273.15 = 305.1 K

T_L = 4 + 273.15 = 277.1 K

可能な最良の COP

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 277.1/(305.1 − 277.1) = 9.898

最小動力

必要な仕事が最も少ないのは、COP が最大の可逆機械です。

Ẇ_min = Q̇_L/COP = 3/9.898 = 0.3031 kW

答え

Ẇ_min = 0.3031 kW

19.波・音・光学

答え: L = 1.199 m

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、f_n = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、f_n = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

波長

λ = v/f = 343/286 = 1.199 m

長さ

L = nλ/2 = 2·1.199/2 = 1.199 m

答え

L = 1.199 m

20.波・音・光学

答え: d_i = 40 cm

幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/d_o + 1/d_i に従い、倍率は m = −d_i/d_o です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。d_i > 0 は実像、d_i < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。

焦点距離

f = R/2 = 8 cm

鏡の式

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/8 − 1/10

d_i = 40 cm

光線図

鏡の前にできる実像

答え

d_i = 40 cm

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