パワーエレクトロニクスと電動機駆動：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

DC-DC コンバータ

降圧形: V_o = D·V_in
昇圧形: V_o = V_in/(1 − D)
反転形昇降圧: |V_o| = V_in·D/(1 − D)
理想的な電力の釣り合い: V_inI_in = V_oI_o
インダクタのリプル: ΔI_L = V_L,on·D/(L·f); buck V_in − V_o, boost and buck-boost V_in
インダクタ電流の平均値: 降圧形 I_o；昇圧形と昇降圧形 I_o/(1 − D)
出力リプル: 降圧形 ΔI_L/(8fC)；昇圧形と昇降圧形 I_o·D/(fC)
CCM の境界: 降圧形 (1 − D)R/(2f)；昇圧形 D(1 − D)²R/(2f)；昇降圧形 (1 − D)²R/(2f)

解き方

電圧比から、コンバータの種類（降圧、昇圧、昇降圧）とデューティ比 D を判断します。
インダクタのボルト秒平衡を使いましょう：1 周期にわたるインダクタの平均電圧は 0 です。
スイッチがオンの間のインダクタ電圧を求め、次に ΔI_L = V_L·D/(L·f) を求めます。
出力リプルでは、コンデンサに出入りする電荷を求めます。CCM の境界では、インダクタ電流の平均値を ΔI_L/2 とおきます。

直流モーター

電機子回路: V = E + I_aR_a
逆起電力とトルク: E = k·ω, T = k·I_a
速さ: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
無負荷速度と拘束トルク: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
電力: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
始動: I_start = V/(R_a + R_st)
速度変動率: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
最大発生電力: P_max = V²/(4R_a)
チョッパ駆動: V_a = D·V_dc

解き方

電機子回路を描きます：電源 V、抵抗 R_a、逆起電力 E が直列につながります。
電圧、電流、逆起電力を結びつけるには V = E + I_a·R_a を使います。
速度には E = k·ω、トルクには T = k·I_a を使います。ω = 2π·n/60 です。
電力と効率では、V·I_a から始めて、銅損 I_a²·R_a を引き、次に回転損を引きます。

交流電力と力率

有効電力: P = V·I·cos φ
無効電力: Q = V·I·sin φ
皮相電力: S = V·I = √(P² + Q²)
力率: pf = cos φ = P/S
力率改善用コンデンサ: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

三相電力

Y 結線: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Δ 結線: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
全有効電力: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
皮相電力と無効電力: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
力率改善用コンデンサ: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
各コンデンサにかかる電圧: Δ：V_L Y：V_L/√3
モーターの入力: P_in = P_out/η

2演習問題

1.DC-DC コンバータふつう

理想的な降圧形コンバータが、50 kHz、L = 220 µH で 36 V を 27 V に変換します。インダクタのピーク間リプル電流 ΔI_L を求めなさい。

Vin = 36 VVo = 27 Vf = 50 kHzL = 220 µH

ΔI_L = A

2.DC-DC コンバータむずかしい

理想的な降圧形コンバータが、100 kHz で 15 V を 7.5 V に変換し、負荷は 8 Ω です。連続導通となる最小のインダクタンス L_crit を求めなさい。

Vin = 15 VVo = 7.5 Vf = 100 kHzR = 8 Ω

L_crit = µH

3.直流モーターふつう

k = 1.5 V·s/rad の直流モーターが 110 V で動作します。無負荷時の損失をすべて無視して、無負荷速度 n₀ を rpm で求めなさい。

V = 110 Vk = 1.5 V·s/rad

n₀ = rpm

4.直流モーターむずかしい

48 V（R_a = 1.2 Ω）の他励直流モーターが、電機子電流 4 A で 900 rpm で回転しています。負荷が変わり、界磁は変えないまま電流が 6 A になります。新しい速度 n₂ を求めなさい。

V = 48 VR_a = 1.2 Ωn₁ = 900 rpmI_a1 = 4 AI_a2 = 6 A

n₂ = rpm

5.交流電力と力率ふつう

2 つの負荷が 230 V の単相電源に並列に接続されている：遅れ力率 0.6 の 4 kW の負荷と、進み力率 0.8 の 10 kW の負荷。電源から流れる全電流 I を求めよ。

V = 230 VP₁ = 4 kW, pf₁ = 0.6 遅れP₂ = 10 kW, pf₂ = 0.8 進み

I = A

6.交流電力と力率むずかしい

単相負荷が 400 V、60 Hz の電源から遅れ力率 0.6 で 40 kW を消費する。並列にコンデンサをつないで力率を 0.9 に改善する。必要な静電容量 C を求めよ。

P = 40 kWpf₁ = 0.6pf₂ = 0.9V = 400 Vf = 60 Hz

C = µF

7.三相電力ふつう

三相誘導電動機が全負荷で 30 kW の機械出力を出している。この負荷での効率は 88%、力率は遅れ 0.84 である。電源の線間電圧は 400 V である。線電流 I_L を求めよ。

P_out = 30 kWη = 88%cos φ = 0.84V_L = 400 V

I_L = A

8.三相電力むずかしい

平衡三相負荷が、415 V（線間）、60 Hz の電源から遅れ力率 0.75 で 75 kW を消費している。負荷と並列に三相コンデンサバンクを接続し、全体の力率を遅れ 0.92 に改善する。有効電力は変わらない。コンデンサは Δ 結線である。各コンデンサの静電容量 C_ph を µF で求めよ。

P = 75 kWpf₁ = 0.75pf₂ = 0.92V_L = 415 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

3溶液

1.DC-DC コンバータ

答え: ΔI_L = 0.6136 A

DC-DC コンバータ：スイッチ S は、各周期 T = 1/f のうち割合 D だけオンになります。定常状態ではインダクタの平均電圧は 0 になり（ボルト秒平衡）、連続導通モードでの理想的な変換比が得られます：降圧形 V_o = D·V_in、昇圧形 V_o = V_in/(1 − D)、反転形昇降圧 |V_o| = V_in·D/(1 − D)。理想的なコンバータでは電力が保存されます：V_in·I_in = V_o·I_o。S がオンの間、インダクタ電流は ΔI_L = V_L·D·T/L だけ増加します。V_L は、降圧形では V_in − V_o、昇圧形と昇降圧形では V_in です。出力リプルは、降圧形では ΔV_o = ΔI_L/(8fC)、昇圧形と昇降圧形では I_o·D/(fC) です。インダクタ電流がちょうど 0 に触れる（CCM の境界）のは、インダクタの平均電流が ΔI_L/2 に等しいときです。

デューティ比

D = 27/36 = 0.75

オン時間中のインダクタ電圧

S がオンの間、インダクタは V_in と V_o の間につながれます。

V_L = 36 − 27 = 9 V

リプル電流

ΔI_L = V_L·D/(L·f) = 9·0.75/(220·10⁻⁶·50·10³) = 0.6136 A

答え

ΔI_L = 0.6136 A

2.DC-DC コンバータ

答え: L_crit = 20 µH

デューティ比

D = 7.5/15 = 0.5

境界条件

インダクタ電流の平均値をリプル電流の半分とおき、L について解きます。

L_crit = (1 − D)·R/(2f)

臨界インダクタンス

L_crit = (1 − 0.5)·8/(2100·10³) = 20 µH

答え

L_crit = 20 µH

3.直流モーター

答え: n₀ = 700.3 rpm

直流モーター：電機子は、逆起電力 E と直列の抵抗 R_a と見なせるので、V = E + I_a·R_a です。逆起電力は速度に比例して E = k·ω、トルクは電流に比例して T = k·I_a となり、SI 単位では同じモーター定数 k (V·s/rad = N·m/A) を使います。速度は ω = 2π·n/60 で換算します。発生電力は E·I_a = T·ω です。入力電力は V·I_a で、その差は銅損 I_a²R_a と回転損です。速度はトルクに対して直線的に下がり、ω = V/k − R_a·T/k² です。無負荷速度 V/k から、拘束トルク k·V/R_a で 0 になります。停止時には E = 0 なので、抵抗で制限しないかぎり始動電流 V/R_a は大きくなります。

無負荷速度

ω₀ = V/k = 110/1.5 = 73.33 rad/s

n₀ = 60·73.33/(2π) = 700.3 rpm

答え

n₀ = 700.3 rpm

4.直流モーター

答え: n₂ = 850 rpm

変化前と変化後の逆起電力

E₁ = 48 − 4·1.2 = 43.2 V

E₂ = 48 − 6·1.2 = 40.8 V

新しい速度

n₂ = 900·40.8/43.2 = 850 rpm

答え

n₂ = 850 rpm

5.交流電力と力率

答え: I = 61.59 A

交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。

各負荷の無効電力

遅れ負荷は無効電力を消費し（Q > 0）、進み負荷は無効電力を供給します（Q < 0）。

Q₁ = 4·tan(arccos 0.6) = 5.333 kvar

Q₂ = −10·tan(arccos 0.8) = −7.5 kvar

合計

P = 4 + 10 = 14 kW

Q = 5.333 + (−7.5) = −2.167 kvar

S = √(14² + (−2.167)²) = 14.17 kVA

全電流

I = S/V = 14167/230 = 61.59 A

答え

I = 61.59 A

6.交流電力と力率

答え: C = 563 µF

改善前後の無効電力

有効電力 P は変わらず、電源から取る無効電力だけが変わります。

Q₁ = P·tan φ₁ = 40·tan(53.13°) = 53.33 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 40·tan(25.84°) = 19.37 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 33.96 kvar

静電容量

電源に並列につないだコンデンサは Q = V²·ωC を供給します。

C = Q_C/(2πf·V²) = 33960/(2π·60·400²) = 563 µF

答え

C = 563 µF

7.三相電力

答え: I_L = 58.58 A

電気入力

P_in = P_out/η = 30/0.88 = 34.09 kW

線電流

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 34091/(√3·400·0.84) = 58.58 A

答え

I_L = 58.58 A

8.三相電力

答え: C_ph = 175.5 µF

平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、V_L = √3·V_ph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、I_L = √3·I_ph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ。 力率改善：コンデンサは無効電力をその場で供給します：Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂)。3 個のコンデンサはそれぞれ Q_C/3 = V²·ω·C を供給します。V はそのコンデンサにかかる電圧で、Δ バンクでは V_L、Y バンクでは V_L/√3 です。

改善前後の無効電力

有効電力は変わらないので、それぞれの力率から無効電力が決まります：Q = P·tan φ。

Q₁ = 75·tan(acos 0.75) = 75·0.8819 = 66.14 kvar

Q₂ = 75·tan(acos 0.92) = 75·0.426 = 31.95 kvar

コンデンサが供給する無効電力

Q_C = Q₁ − Q₂ = 34.19 kvar

1 相あたりの静電容量

Δ バンクでは、各コンデンサは 2 本の線の間に接続されています。

V = 415 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 11398/(377·415²) = 175.5 µF

答え

C_ph = 175.5 µF

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