三相電力
- Y 結線
- VL = √3·Vph, IL = Iph
- Δ 結線
- VL = Vph, IL = √3·Iph
- 全有効電力
- P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
- 皮相電力と無効電力
- S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
- 力率改善用コンデンサ
- QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
- 各コンデンサにかかる電圧
- Δ：VL Y：VL/√3
- モーターの入力
- Pin = Pout/η
電力システムと電気機器：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
変圧器
- 巻数比
- a = N1/N2 = V1/V2
- 電流比
- I1/I2 = N2/N1 = 1/a
- 定格電流
- I = S/V
- 換算インピーダンス
- Z1′ = a²·ZL
- 部分負荷時の銅損
- Pcu = x²·Pcu,fl
- 効率
- η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
- 最大効率
- x = √(Pcore/Pcu,fl)
交流電力と力率
- 有効電力
- P = V·I·cos φ
- 無効電力
- Q = V·I·sin φ
- 皮相電力
- S = V·I = √(P² + Q²)
- 力率
- pf = cos φ = P/S
- 力率改善用コンデンサ
- QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
交流インピーダンスとフェーザ
- インピーダンス
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角周波数
- ω = 2πf
- 大きさと偏角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- フェーザ表示のオームの法則
- V = I·Z
解き方
- 周波数を換算します：ω = 2πf。
- 各リアクタンスを求めます：XL = ωL、XC = 1/(ωC)。
- インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
- 大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。
直流モーター
- 電機子回路
- V = E + IaRa
- 逆起電力とトルク
- E = k·ω, T = k·Ia
- 速さ
- ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
- 無負荷速度と拘束トルク
- ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
- 電力
- Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
- 始動
- Istart = V/(Ra + Rst)
- 速度変動率
- SR = (n0 − nFL)/nFL
- 最大発生電力
- Pmax = V²/(4Ra)
- チョッパ駆動
- Va = D·Vdc
解き方
- 電機子回路を描きます：電源 V、抵抗 Ra、逆起電力 E が直列につながります。
- 電圧、電流、逆起電力を結びつけるには V = E + Ia·Ra を使います。
- 速度には E = k·ω、トルクには T = k·Ia を使います。ω = 2π·n/60 です。
- 電力と効率では、V·Ia から始めて、銅損 Ia²·Ra を引き、次に回転損を引きます。
2演習問題
1.三相電力ふつう
三相誘導電動機が全負荷で 110 kW の機械出力を出している。この負荷での効率は 95%、力率は遅れ 0.88 である。電源の線間電圧は 415 V である。線電流 IL を求めよ。
Pout = 110 kWη = 95%cos φ = 0.88VL = 415 V
IL = A
2.三相電力むずかしい
平衡三相負荷が、690 V（線間）、50 Hz の電源から遅れ力率 0.7 で 300 kW を消費している。負荷と並列に三相コンデンサバンクを接続し、全体の力率を遅れ 0.95 に改善する。有効電力は変わらない。 コンデンサバンクが供給すべき全無効電力 QC を kvar で求めよ。
P = 300 kWpf1 = 0.7pf2 = 0.95VL = 690 Vf = 50 Hz
QC = kvar
3.変圧器ふつう
巻数比 N₁:N₂ = 10:1 の理想変圧器の一次巻線に 2300 V を加える。二次巻線に 24 Ω の抵抗を接続する。一次電流 I1 を求めよ。
N1:N2 = 10:1V1 = 2300 VRL = 24 Ω
I1 = A
4.変圧器むずかしい
単相 25 kVA の変圧器の鉄損は 150 W、定格負荷での銅損は 300 W である。 この変圧器が定格 kVA の 50% を遅れ力率 0.95 で供給している。この負荷での全損失 Ploss を W で求めよ。
S = 25 kVAPcore = 150 WPcu,fl = 300 Wx = 0.5pf = 0.95
Ploss = W
5.交流電力と力率ふつう
誘導性負荷が 240 V（実効値）の単相電源から 10 A と 1440 W を消費する。これを抵抗 R とリアクタンス X の直列回路としてモデル化する。 R を求めよ。
V = 240 VI = 10 AP = 1440 W
R = Ω
6.交流電力と力率むずかしい
単相負荷が 230 V、50 Hz の電源から遅れ力率 0.75 で 40 kW を消費する。並列にコンデンサをつないで力率を 0.92 に改善する。 必要な静電容量 C を求めよ。
P = 40 kWpf1 = 0.75pf2 = 0.92V = 230 Vf = 50 Hz
C = µF
7.交流インピーダンスとフェーザふつう
直列 RLC 回路を 12 V（実効値）、50 Hz の電源に接続する。 電源から供給される有効電力 P を求めよ。
V = 12 V (rms)f = 50 HzR = 60 ΩL = 150 mHC = 10 µF
P = W
8.交流インピーダンスとフェーザむずかしい
直列 RLC 回路を 12 V（実効値）、60 Hz の電源に接続する。 電流の実効値 I を求めよ。
V = 12 V (rms)f = 60 HzR = 25 ΩL = 50 mHC = 47 µF
I = A
9.直流モーターふつう
直流モーター（k = 0.1 N·m/A、Ra = 1 Ω）が 24 V で動作し、負荷トルク 0.2 N·m を駆動します。速度 n を rpm で求めなさい。
V = 24 Vk = 0.1 N·m/ARa = 1 ΩT = 0.2 N·m
n = rpm
10.直流モーターむずかしい
直流チョッパが、240 V の直流母線からモーター（k = 0.6 V·s/rad、Ra = 0.8 Ω）に給電します。電機子の平均電圧は D·240 V です。負荷 7.2 N·m で 900 rpm の運転となるデューティ比 D を求めなさい。
Vdc = 240 Vk = 0.6 V·s/radRa = 0.8 ΩT = 7.2 N·mn = 900 rpm
D = %
3溶液
1.三相電力
答え: IL = 183.1 A
平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、VL = √3·Vph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、IL = √3·Iph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。
電気入力
Pin = Pout/η = 110/0.95 = 115.8 kW
線電流
IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 115789/(√3·415·0.88) = 183.1 A
答え
IL = 183.1 A
2.三相電力
答え: QC = 207.5 kvar
平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、VL = √3·Vph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、IL = √3·Iph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 力率改善：コンデンサは無効電力をその場で供給します：QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。3 個のコンデンサはそれぞれ QC/3 = V²·ω·C を供給します。V はそのコンデンサにかかる電圧で、Δ バンクでは VL、Y バンクでは VL/√3 です。
改善前後の無効電力
有効電力は変わらないので、それぞれの力率から無効電力が決まります：Q = P·tan φ。
Q1 = 300·tan(acos 0.7) = 300·1.02 = 306.1 kvar
Q2 = 300·tan(acos 0.95) = 300·0.3287 = 98.61 kvar
コンデンサが供給する無効電力
QC = Q1 − Q2 = 207.5 kvar
答え
QC = 207.5 kvar
3.変圧器
答え: I1 = 0.9583 A
理想変圧器：電圧は巻数の比に、電流はその逆比になります：V₁/V₂ = N₁/N₂ = a、I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a。したがって入力電力と出力電力は等しく、V₁·I₁ = V₂·I₂ です。二次側の負荷インピーダンス Z は、一次側から見ると a²·Z に見えます。
二次電圧と二次電流
V2 = 2300/10 = 230 V
I2 = 230/24 = 9.583 A
一次電流
理想変圧器には損失がありません：V₁·I₁ = V₂·I₂。
I1 = I2/10 = 0.9583 A
答え
I1 = 0.9583 A
確認：一次側から見た負荷は a²·RL = 2400 Ω で、2300/2400 からも同じ電流が得られます。
4.変圧器
答え: Ploss = 225 W
変圧器の損失：鉄損（ヒステリシス損と渦電流損）は電圧で決まり、負荷によらず一定です。巻線の銅損は電流の 2 乗に比例するので、定格負荷の x 倍の負荷では x²·Pcu,fl になります。効率 η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu)、ただし Pout = x·S·pf です。効率は銅損と鉄損が等しくなる負荷で最大になります。
この負荷での銅損
Pcu = x²·Pcu,fl = 0.25·300 = 75 W
全損失
鉄損は負荷によらず一定です。
Ploss = 150 + 75 = 225 W
答え
Ploss = 225 W
この負荷での効率は η = 98.14% です。
5.交流電力と力率
答え: R = 14.4 Ω
交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。
有効電力からの抵抗
R = P/I² = 1440/10² = 14.4 Ω
答え
R = 14.4 Ω
6.交流電力と力率
答え: C = 1097 µF
交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。
改善前後の無効電力
有効電力 P は変わらず、電源から取る無効電力だけが変わります。
Q1 = P·tan φ1 = 40·tan(41.41°) = 35.28 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 40·tan(23.07°) = 17.04 kvar
QC = Q1 − Q2 = 18.24 kvar
静電容量
電源に並列につないだコンデンサは Q = V²·ωC を供給します。
C = QC/(2πf·V²) = 18237/(2π·50·230²) = 1097 µF
答え
C = 1097 µF
7.交流インピーダンスとフェーザ
答え: P = 0.112 W
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
リアクタンス
XL = 47.12 Ω, XC = 318.3 Ω
インピーダンス
|Z| = √(60² + (−271.2)²) = 277.7 Ω
有効電力
コイルとコンデンサはエネルギーを蓄えて返すだけです。有効電力はすべて抵抗が消費します。
I = 12/277.7 = 0.04321 A
P = I²·R = 0.04321²·60 = 0.112 W
答え
P = 0.112 W
8.交流インピーダンスとフェーザ
答え: I = 0.2658 A
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
リアクタンス
ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s
XL = ωL = 377·0.05 = 18.85 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(377·47·10⁻⁶) = 56.44 Ω
インピーダンス
直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(XL − XC)。
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(25² + (−37.59)²) = 45.14 Ω
電流
直列回路ではすべての素子に同じ電流が流れます。
I = V/|Z| = 12/45.14 = 0.2658 A
答え
I = 0.2658 A
9.直流モーター
答え: n = 2101 rpm
直流モーター：電機子は、逆起電力 E と直列の抵抗 Ra と見なせるので、V = E + Ia·Ra です。逆起電力は速度に比例して E = k·ω、トルクは電流に比例して T = k·Ia となり、SI 単位では同じモーター定数 k (V·s/rad = N·m/A) を使います。速度は ω = 2π·n/60 で換算します。発生電力は E·Ia = T·ω です。入力電力は V·Ia で、その差は銅損 Ia²Ra と回転損です。速度はトルクに対して直線的に下がり、ω = V/k − Ra·T/k² です。無負荷速度 V/k から、拘束トルク k·V/Ra で 0 になります。停止時には E = 0 なので、抵抗で制限しないかぎり始動電流 V/Ra は大きくなります。
電機子電流
Ia = T/k = 0.2/0.1 = 2 A
逆起電力と速度
E = 24 − 2·1 = 22 V
ω = E/k = 220 rad/s → n = 2101 rpm
答え
n = 2101 rpm
10.直流モーター
答え: D = 27.56 %
直流モーター：電機子は、逆起電力 E と直列の抵抗 Ra と見なせるので、V = E + Ia·Ra です。逆起電力は速度に比例して E = k·ω、トルクは電流に比例して T = k·Ia となり、SI 単位では同じモーター定数 k (V·s/rad = N·m/A) を使います。速度は ω = 2π·n/60 で換算します。発生電力は E·Ia = T·ω です。入力電力は V·Ia で、その差は銅損 Ia²Ra と回転損です。速度はトルクに対して直線的に下がり、ω = V/k − Ra·T/k² です。無負荷速度 V/k から、拘束トルク k·V/Ra で 0 になります。停止時には E = 0 なので、抵抗で制限しないかぎり始動電流 V/Ra は大きくなります。
必要な電機子電圧
Va = 0.6·94.25 + 12·0.8 = 66.15 V
デューティ比
D = 66.15/240 = 27.56 %
答え
D = 27.56 %
ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems