電力システムと電気機器：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

三相電力

Y 結線: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Δ 結線: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
全有効電力: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
皮相電力と無効電力: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
力率改善用コンデンサ: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
各コンデンサにかかる電圧: Δ：V_L Y：V_L/√3
モーターの入力: P_in = P_out/η

変圧器

巻数比: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
電流比: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
定格電流: I = S/V
換算インピーダンス: Z₁′ = a²·Z_L
部分負荷時の銅損: P_cu = x²·P_cu,fl
効率: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
最大効率: x = √(P_core/P_cu,fl)

交流電力と力率

有効電力: P = V·I·cos φ
無効電力: Q = V·I·sin φ
皮相電力: S = V·I = √(P² + Q²)
力率: pf = cos φ = P/S
力率改善用コンデンサ: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

交流インピーダンスとフェーザ

インピーダンス: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角周波数: ω = 2πf
大きさと偏角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
フェーザ表示のオームの法則: V = I·Z

解き方

周波数を換算します：ω = 2πf。
各リアクタンスを求めます：X_L = ωL、X_C = 1/(ωC)。
インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。

直流モーター

電機子回路: V = E + I_aR_a
逆起電力とトルク: E = k·ω, T = k·I_a
速さ: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
無負荷速度と拘束トルク: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
電力: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
始動: I_start = V/(R_a + R_st)
速度変動率: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
最大発生電力: P_max = V²/(4R_a)
チョッパ駆動: V_a = D·V_dc

解き方

電機子回路を描きます：電源 V、抵抗 R_a、逆起電力 E が直列につながります。
電圧、電流、逆起電力を結びつけるには V = E + I_a·R_a を使います。
速度には E = k·ω、トルクには T = k·I_a を使います。ω = 2π·n/60 です。
電力と効率では、V·I_a から始めて、銅損 I_a²·R_a を引き、次に回転損を引きます。

2演習問題

1.三相電力ふつう

1 相あたりのインピーダンスが 16 + j12 Ω の平衡 Y 結線負荷が、線間電圧 400 V の平衡三相電源に接続されている。負荷が吸収する全有効電力 P を kW で求めよ。

V_L = 400 VZ = 16 + j12 Ω 1 相あたり

P = kW

2.三相電力むずかしい

平衡三相負荷が、400 V（線間）、60 Hz の電源から遅れ力率 0.65 で 120 kW を消費している。負荷と並列に三相コンデンサバンクを接続し、全体の力率を遅れ 0.9 に改善する。有効電力は変わらない。コンデンサは Δ 結線である。各コンデンサの静電容量 C_ph を µF で求めよ。

P = 120 kWpf₁ = 0.65pf₂ = 0.9V_L = 400 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

3.変圧器ふつう

単相 10 kVA、4800/240 V の変圧器が定格負荷で運転している。理想変圧器とみなす。低圧巻線の電流 I_LV を求めよ。

S = 10 kVAV₁ = 4800 VV₂ = 240 V

I_LV = A

4.変圧器むずかしい

単相 50 kVA の変圧器の鉄損は 250 W、定格負荷での銅損は 375 W である。この変圧器が定格 kVA の 75% を遅れ力率 0.95 で供給している。この負荷での全損失 P_loss を W で求めよ。

S = 50 kVAP_core = 250 WP_cu,fl = 375 Wx = 0.75pf = 0.95

P_loss = W

5.交流電力と力率ふつう

単相モーターが 230 V の電源から、遅れ力率 0.75 で 35 kW を消費する。線電流 I を求めよ。

P = 35 kWpf = 0.75V = 230 V

I = A

6.交流電力と力率むずかしい

230 V（実効値）、50 Hz の電源の内部インピーダンスは Z_s = 5 + j6 Ω である。負荷インピーダンス Z_L は自由に選べる。負荷に供給できる最大の有効電力 P_max を求めよ。

V_s = 230 V (rms)f = 50 HzZ_s = 5 + j6 Ω

P_max = W

7.交流インピーダンスとフェーザふつう

直列 RLC 回路を 50 V（実効値）、500 Hz の電源に接続する。インピーダンスの位相角 φ を度で求めよ（電流が電圧より遅れるとき正）。

V = 50 V (rms)f = 500 HzR = 50 ΩL = 150 mHC = 1 µF

φ = °

8.交流インピーダンスとフェーザむずかしい

抵抗 R₁ が、R₂ とコンデンサ C の並列回路と直列に接続され、100 V（実効値）、100 Hz の電源に接続されている。電流の実効値 I を求めよ。

V = 100 V (rms)f = 100 HzR₁ = 50 ΩR₂ = 30 ΩC = 22 µF

I = A

9.直流モーターふつう

直流モーターが 220 V の電源から 50 A を引き込みます。電機子抵抗は 0.2 Ω、回転損（摩擦損、風損、鉄損）は 630 W です。効率 η を求めなさい。

V = 220 VI_a = 50 AR_a = 0.2 ΩP_rot = 630 W

η = %

10.直流モーターむずかしい

固定の 120 V の電源で動作する直流モーター（k = 0.5 V·s/rad、R_a = 0.8 Ω）が、5 N·m の負荷を駆動しています。速度を 750 rpm まで下げる直列抵抗 R_s を求めなさい。

V = 120 Vk = 0.5 V·s/radR_a = 0.8 ΩT = 5 N·mn = 750 rpm

R_s = Ω

3溶液

1.三相電力

答え: P = 6.4 kW

相電圧

V_ph = 400/√3 = 230.9 V

相電流

|Z| = √(16² + 12²) = 20 Ω

I_ph = 230.9/20 = 11.55 A

全有効電力

有効電力を吸収するのは、各インピーダンスの抵抗分だけです。

P = 3·I_ph²·R = 3·11.55²·16 = 6.4 kW

答え

P = 6.4 kW

確認：cos φ = R/|Z| = 0.8 で、√3·V_L·I_L·cos φ からも同じ電力が得られます。

2.三相電力

答え: C_ph = 454.1 µF

平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、V_L = √3·V_ph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、I_L = √3·I_ph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ。 力率改善：コンデンサは無効電力をその場で供給します：Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂)。3 個のコンデンサはそれぞれ Q_C/3 = V²·ω·C を供給します。V はそのコンデンサにかかる電圧で、Δ バンクでは V_L、Y バンクでは V_L/√3 です。

改善前後の無効電力

有効電力は変わらないので、それぞれの力率から無効電力が決まります：Q = P·tan φ。

Q₁ = 120·tan(acos 0.65) = 120·1.169 = 140.3 kvar

Q₂ = 120·tan(acos 0.9) = 120·0.4843 = 58.12 kvar

コンデンサが供給する無効電力

Q_C = Q₁ − Q₂ = 82.18 kvar

1 相あたりの静電容量

Δ バンクでは、各コンデンサは 2 本の線の間に接続されています。

V = 400 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 27392/(377·400²) = 454.1 µF

答え

C_ph = 454.1 µF

3.変圧器

答え: I_LV = 41.67 A

理想変圧器：電圧は巻数の比に、電流はその逆比になります：V₁/V₂ = N₁/N₂ = a、I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a。したがって入力電力と出力電力は等しく、V₁·I₁ = V₂·I₂ です。二次側の負荷インピーダンス Z は、一次側から見ると a²·Z に見えます。

定格電流

両方の巻線に同じ皮相電力が流れます。

I_LV = S/V = 10000/240 = 41.67 A

答え

I_LV = 41.67 A

4.変圧器

答え: P_loss = 460.9 W

変圧器の損失：鉄損（ヒステリシス損と渦電流損）は電圧で決まり、負荷によらず一定です。巻線の銅損は電流の 2 乗に比例するので、定格負荷の x 倍の負荷では x²·P_cu,fl になります。効率 η = P_out/(P_out + P_core + P_cu)、ただし P_out = x·S·pf です。効率は銅損と鉄損が等しくなる負荷で最大になります。

この負荷での銅損

P_cu = x²·P_cu,fl = 0.5625·375 = 210.9 W

全損失

鉄損は負荷によらず一定です。

P_loss = 250 + 210.9 = 460.9 W

答え

P_loss = 460.9 W

この負荷での効率は η = 98.72% です。

5.交流電力と力率

答え: I = 202.9 A

交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。

線電流

仕事をするのは有効分だけなので、力率で割ります。

I = P/(V·cos φ) = 35000/(230·0.75) = 202.9 A

答え

I = 202.9 A

6.交流電力と力率

答え: P_max = 2645 W

共役整合

負荷のリアクタンスは電源のリアクタンスを打ち消し、負荷抵抗は電源抵抗に等しくなります。

Z_L = Z_s* = 5 − j6 Ω

最大電力

I = V_s/(2R_s) = 230/10 = 23 A

P_max = I²·R_L = V_s²/(4R_s) = 230²/(4·5) = 2645 W

答え

P_max = 2645 W

7.交流インピーダンスとフェーザ

答え: φ = 71.89 °

フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。

リアクタンス

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0.15 = 471.2 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·1·10⁻⁶) = 318.3 Ω

インピーダンス

直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(X_L − X_C)。

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(50² + (152.9)²) = 160.9 Ω

位相角

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(152.9/50) = 71.89°

答え

φ = 71.89°

8.交流インピーダンスとフェーザ

答え: I = 1.31 A

リアクタンス

X_C = 1/(2π·100·22·10⁻⁶) = 72.34 Ω

並列回路

分子と分母に共役複素数を掛けて、Z_p を実部と虚部に分けます。

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 25.6 − j10.62 Ω

合成インピーダンス

Z = 50 + 25.6 − j10.62 = 75.6 − j10.62 Ω

|Z| = √(75.6² + 10.62²) = 76.34 Ω

電流

I = V/|Z| = 100/76.34 = 1.31 A

答え

I = 1.31 A

9.直流モーター

答え: η = 89.73 %

直流モーター：電機子は、逆起電力 E と直列の抵抗 R_a と見なせるので、V = E + I_a·R_a です。逆起電力は速度に比例して E = k·ω、トルクは電流に比例して T = k·I_a となり、SI 単位では同じモーター定数 k (V·s/rad = N·m/A) を使います。速度は ω = 2π·n/60 で換算します。発生電力は E·I_a = T·ω です。入力電力は V·I_a で、その差は銅損 I_a²R_a と回転損です。速度はトルクに対して直線的に下がり、ω = V/k − R_a·T/k² です。無負荷速度 V/k から、拘束トルク k·V/R_a で 0 になります。停止時には E = 0 なので、抵抗で制限しないかぎり始動電流 V/R_a は大きくなります。

電力

P_in = 220·50 = 11000 W

P_dev = 210·50 = 10500 W

P_out = 10500 − 630 = 9870 W

効率

η = 9870/11000·100 = 89.73 %

答え

η = 89.73 %

10.直流モーター

答え: R_s = 7.273 Ω

電流と逆起電力

I_a = 5/0.5 = 10 A

E = 0.5·78.54 = 39.27 V

直列抵抗

R_a + R_s = (120 − 39.27)/10 = 8.073 Ω

R_s = 7.273 Ω

答え

R_s = 7.273 Ω

この抵抗器は 727.3 W を無駄にします。チョッパを使えば、ずっと少ない損失で速度を制御できます。

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