三相電力
- Y 結線
- VL = √3·Vph, IL = Iph
- Δ 結線
- VL = Vph, IL = √3·Iph
- 全有効電力
- P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
- 皮相電力と無効電力
- S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
- 力率改善用コンデンサ
- QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
- 各コンデンサにかかる電圧
- Δ：VL Y：VL/√3
- モーターの入力
- Pin = Pout/η
電力システムと電気機器：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
変圧器
- 巻数比
- a = N1/N2 = V1/V2
- 電流比
- I1/I2 = N2/N1 = 1/a
- 定格電流
- I = S/V
- 換算インピーダンス
- Z1′ = a²·ZL
- 部分負荷時の銅損
- Pcu = x²·Pcu,fl
- 効率
- η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
- 最大効率
- x = √(Pcore/Pcu,fl)
交流電力と力率
- 有効電力
- P = V·I·cos φ
- 無効電力
- Q = V·I·sin φ
- 皮相電力
- S = V·I = √(P² + Q²)
- 力率
- pf = cos φ = P/S
- 力率改善用コンデンサ
- QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
交流インピーダンスとフェーザ
- インピーダンス
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角周波数
- ω = 2πf
- 大きさと偏角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- フェーザ表示のオームの法則
- V = I·Z
解き方
- 周波数を換算します：ω = 2πf。
- 各リアクタンスを求めます：XL = ωL、XC = 1/(ωC)。
- インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
- 大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。
直流モーター
- 電機子回路
- V = E + IaRa
- 逆起電力とトルク
- E = k·ω, T = k·Ia
- 速さ
- ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
- 無負荷速度と拘束トルク
- ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
- 電力
- Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
- 始動
- Istart = V/(Ra + Rst)
- 速度変動率
- SR = (n0 − nFL)/nFL
- 最大発生電力
- Pmax = V²/(4Ra)
- チョッパ駆動
- Va = D·Vdc
解き方
- 電機子回路を描きます：電源 V、抵抗 Ra、逆起電力 E が直列につながります。
- 電圧、電流、逆起電力を結びつけるには V = E + Ia·Ra を使います。
- 速度には E = k·ω、トルクには T = k·Ia を使います。ω = 2π·n/60 です。
- 電力と効率では、V·Ia から始めて、銅損 Ia²·Ra を引き、次に回転損を引きます。
2演習問題
1.三相電力ふつう
平衡三相負荷が、線間電圧 415 V の電源から線電流 80 A を流している。力率は遅れ 0.8 である。負荷が消費する全有効電力 P を kW で求めよ。
VL = 415 VIL = 80 Acos φ = 0.8
P = kW
2.三相電力むずかしい
平衡三相負荷が、690 V（線間）、60 Hz の電源から遅れ力率 0.65 で 150 kW を消費している。負荷と並列に三相コンデンサバンクを接続し、全体の力率を遅れ 0.92 に改善する。有効電力は変わらない。 コンデンサは Δ 結線である。各コンデンサの静電容量 Cph を µF で求めよ。
P = 150 kWpf1 = 0.65pf2 = 0.92VL = 690 Vf = 60 Hz
Cph = µF
3.変圧器ふつう
単相 50 kVA、2400/240 V の変圧器が定格負荷で運転している。理想変圧器とみなす。高圧巻線の電流 IHV を求めよ。
S = 50 kVAV1 = 2400 VV2 = 240 V
IHV = A
4.変圧器むずかしい
単相 500 kVA の変圧器の鉄損は 1500 W である。 定格負荷、遅れ力率 0.95 での効率は 97.5% である。全負荷銅損 Pcu,fl を W で求めよ。
S = 500 kVAPcore = 1500 Wpf = 0.95η = 97.5%
Pcu,fl = W
5.交流電力と力率ふつう
2 つの負荷が 230 V の単相電源に並列に接続されている：遅れ力率 0.7 の 21 kW の負荷と、9 kW のヒーター（力率 1）。 電源から見た全体の力率 cos φ を求めよ。
V = 230 VP1 = 21 kW, pf1 = 0.7 遅れP2 = 9 kW, pf2 = 1
cos φ =
6.交流電力と力率むずかしい
150 kVA の単相変圧器が、遅れ力率 0.65 で 63 kW の負荷に電力を供給している。変圧器が kVA 定格に達するまでに、抵抗負荷（力率 1）としてあとどれだけの有効電力 ΔP を追加できるか。
Smax = 150 kVAP1 = 63 kWpf1 = 0.65
ΔP = kW
7.交流インピーダンスとフェーザふつう
直列 RLC 回路を 230 V（実効値）、100 Hz の電源に接続する。 電源から供給される有効電力 P を求めよ。
V = 230 V (rms)f = 100 HzR = 40 ΩL = 250 mHC = 22 µF
P = W
8.交流インピーダンスとフェーザむずかしい
抵抗 R1 が、R2 とコンデンサ C の並列回路と直列に接続され、120 V（実効値）、60 Hz の電源に接続されている。 電流の実効値 I を求めよ。
V = 120 V (rms)f = 60 HzR1 = 30 ΩR2 = 150 ΩC = 4.7 µF
I = A
9.直流モーターふつう
直流モーターが 750 rpm で機械的な電力 15 kW を出力します。軸トルク T を求めなさい。
P = 15 kWn = 750 rpm
T = N·m
10.直流モーターむずかしい
小型の直流モーターの電機子抵抗は 1.2 Ω で、48 V で動作します。回転損を無視して、どの速度でも発生できる最大の機械的電力 Pmax を求めなさい。
V = 48 VRa = 1.2 Ω
Pmax = W
3溶液
1.三相電力
答え: P = 46 kW
平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、VL = √3·Vph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、IL = √3·Iph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。
皮相電力
S = √3·VL·IL = √3·415·80 = 57.5 kVA
有効電力
P = S·cos φ = 57.5·0.8 = 46 kW
答え
P = 46 kW
2.三相電力
答え: Cph = 207 µF
平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、VL = √3·Vph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、IL = √3·Iph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 力率改善：コンデンサは無効電力をその場で供給します：QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。3 個のコンデンサはそれぞれ QC/3 = V²·ω·C を供給します。V はそのコンデンサにかかる電圧で、Δ バンクでは VL、Y バンクでは VL/√3 です。
改善前後の無効電力
有効電力は変わらないので、それぞれの力率から無効電力が決まります：Q = P·tan φ。
Q1 = 150·tan(acos 0.65) = 150·1.169 = 175.4 kvar
Q2 = 150·tan(acos 0.92) = 150·0.426 = 63.9 kvar
コンデンサが供給する無効電力
QC = Q1 − Q2 = 111.5 kvar
1 相あたりの静電容量
Δ バンクでは、各コンデンサは 2 本の線の間に接続されています。
V = 690 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 37157/(377·690²) = 207 µF
答え
Cph = 207 µF
3.変圧器
答え: IHV = 20.83 A
理想変圧器：電圧は巻数の比に、電流はその逆比になります：V₁/V₂ = N₁/N₂ = a、I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a。したがって入力電力と出力電力は等しく、V₁·I₁ = V₂·I₂ です。二次側の負荷インピーダンス Z は、一次側から見ると a²·Z に見えます。
定格電流
両方の巻線に同じ皮相電力が流れます。
IHV = S/V = 50000/2400 = 20.83 A
答え
IHV = 20.83 A
4.変圧器
答え: Pcu,fl = 10679 W
変圧器の損失：鉄損（ヒステリシス損と渦電流損）は電圧で決まり、負荷によらず一定です。巻線の銅損は電流の 2 乗に比例するので、定格負荷の x 倍の負荷では x²·Pcu,fl になります。効率 η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu)、ただし Pout = x·S·pf です。効率は銅損と鉄損が等しくなる負荷で最大になります。
出力と入力
Pout = 500·0.95 = 475 kW
Pin = 475000/0.975 = 487179 W
全損失と銅損
Ploss = 487179 − 475000 = 12179 W
Pcu,fl = 12179 − 1500 = 10679 W
答え
Pcu,fl = 10679 W
5.交流電力と力率
答え: cos φ = 0.8138
交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。
各負荷の無効電力
遅れ負荷は無効電力を消費し（Q > 0）、進み負荷は無効電力を供給します（Q < 0）。
Q1 = 21·tan(arccos 0.7) = 21.42 kvar
Q2 = 0 = 0 kvar
合計
P = 21 + 9 = 30 kW
Q = 21.42 + 0 = 21.42 kvar
S = √(30² + 21.42²) = 36.86 kVA
全体の力率
cos φ = P/S = 30/36.86 = 0.8138 遅れ
答え
cos φ = 0.8138
6.交流電力と力率
答え: ΔP = 67.67 kW
交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。
既存の負荷の無効電力
Q1 = 63·tan(arccos 0.65) = 73.66 kvar
最大の全有効電力
定格いっぱいでは S = Smax で、Q は抵抗負荷によって変わりません。
P = √(Smax² − Q1²) = √(150² − 73.66²) = 130.7 kW
追加できる有効電力
ΔP = 130.7 − 63 = 67.67 kW
答え
ΔP = 67.67 kW
7.交流インピーダンスとフェーザ
答え: P = 241 W
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
リアクタンス
XL = 157.1 Ω, XC = 72.34 Ω
インピーダンス
|Z| = √(40² + (84.74)²) = 93.7 Ω
有効電力
コイルとコンデンサはエネルギーを蓄えて返すだけです。有効電力はすべて抵抗が消費します。
I = 230/93.7 = 2.455 A
P = I²·R = 2.455²·40 = 241 W
答え
P = 241 W
8.交流インピーダンスとフェーザ
答え: I = 0.6891 A
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
リアクタンス
XC = 1/(2π·60·4.7·10⁻⁶) = 564.4 Ω
並列回路
分子と分母に共役複素数を掛けて、Zp を実部と虚部に分けます。
Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 140.1 − j37.24 Ω
合成インピーダンス
Z = 30 + 140.1 − j37.24 = 170.1 − j37.24 Ω
|Z| = √(170.1² + 37.24²) = 174.1 Ω
電流
I = V/|Z| = 120/174.1 = 0.6891 A
答え
I = 0.6891 A
9.直流モーター
答え: T = 191 N·m
直流モーター：電機子は、逆起電力 E と直列の抵抗 Ra と見なせるので、V = E + Ia·Ra です。逆起電力は速度に比例して E = k·ω、トルクは電流に比例して T = k·Ia となり、SI 単位では同じモーター定数 k (V·s/rad = N·m/A) を使います。速度は ω = 2π·n/60 で換算します。発生電力は E·Ia = T·ω です。入力電力は V·Ia で、その差は銅損 Ia²Ra と回転損です。速度はトルクに対して直線的に下がり、ω = V/k − Ra·T/k² です。無負荷速度 V/k から、拘束トルク k·V/Ra で 0 になります。停止時には E = 0 なので、抵抗で制限しないかぎり始動電流 V/Ra は大きくなります。
rad/s での角速度
ω = 2π·750/60 = 78.54 rad/s
トルク
T = P/ω = 15000/78.54 = 191 N·m
答え
T = 191 N·m
10.直流モーター
答え: Pmax = 480 W
直流モーター：電機子は、逆起電力 E と直列の抵抗 Ra と見なせるので、V = E + Ia·Ra です。逆起電力は速度に比例して E = k·ω、トルクは電流に比例して T = k·Ia となり、SI 単位では同じモーター定数 k (V·s/rad = N·m/A) を使います。速度は ω = 2π·n/60 で換算します。発生電力は E·Ia = T·ω です。入力電力は V·Ia で、その差は銅損 Ia²Ra と回転損です。速度はトルクに対して直線的に下がり、ω = V/k − Ra·T/k² です。無負荷速度 V/k から、拘束トルク k·V/Ra で 0 になります。停止時には E = 0 なので、抵抗で制限しないかぎり始動電流 V/Ra は大きくなります。
逆起電力の関数としての電力
P(E) = E·(V − E)/Ra
dP/dE = 0 → E = V/2 = 24 V
最大電力
Pmax = (V/2)²/Ra = V²/(4Ra) = 48²/(4·1.2) = 480 W
答え
Pmax = 480 W
この点での効率はわずか 50 % なので、実際のモーターは半分の速度よりずっと高い速度で運転されます。
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