電力システムと電気機器：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

三相電力

Y 結線: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Δ 結線: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
全有効電力: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
皮相電力と無効電力: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
力率改善用コンデンサ: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
各コンデンサにかかる電圧: Δ：V_L Y：V_L/√3
モーターの入力: P_in = P_out/η

変圧器

巻数比: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
電流比: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
定格電流: I = S/V
換算インピーダンス: Z₁′ = a²·Z_L
部分負荷時の銅損: P_cu = x²·P_cu,fl
効率: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
最大効率: x = √(P_core/P_cu,fl)

交流電力と力率

有効電力: P = V·I·cos φ
無効電力: Q = V·I·sin φ
皮相電力: S = V·I = √(P² + Q²)
力率: pf = cos φ = P/S
力率改善用コンデンサ: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

交流インピーダンスとフェーザ

インピーダンス: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角周波数: ω = 2πf
大きさと偏角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
フェーザ表示のオームの法則: V = I·Z

解き方

周波数を換算します：ω = 2πf。
各リアクタンスを求めます：X_L = ωL、X_C = 1/(ωC)。
インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。

直流モーター

電機子回路: V = E + I_aR_a
逆起電力とトルク: E = k·ω, T = k·I_a
速さ: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
無負荷速度と拘束トルク: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
電力: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
始動: I_start = V/(R_a + R_st)
速度変動率: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
最大発生電力: P_max = V²/(4R_a)
チョッパ駆動: V_a = D·V_dc

解き方

電機子回路を描きます：電源 V、抵抗 R_a、逆起電力 E が直列につながります。
電圧、電流、逆起電力を結びつけるには V = E + I_a·R_a を使います。
速度には E = k·ω、トルクには T = k·I_a を使います。ω = 2π·n/60 です。
電力と効率では、V·I_a から始めて、銅損 I_a²·R_a を引き、次に回転損を引きます。

2演習問題

1.三相電力ふつう

三相誘導電動機が全負荷で 18.5 kW の機械出力を出している。この負荷での効率は 93%、力率は遅れ 0.88 である。電源の線間電圧は 400 V である。線電流 I_L を求めよ。

P_out = 18.5 kWη = 93%cos φ = 0.88V_L = 400 V

I_L = A

2.三相電力むずかしい

平衡三相負荷が、400 V（線間）、60 Hz の電源から遅れ力率 0.78 で 150 kW を消費している。負荷と並列に三相コンデンサバンクを接続し、全体の力率を遅れ 0.92 に改善する。有効電力は変わらない。コンデンサは Δ 結線である。各コンデンサの静電容量 C_ph を µF で求めよ。

P = 150 kWpf₁ = 0.78pf₂ = 0.92V_L = 400 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

3.変圧器ふつう

巻数比 N₁:N₂ = 2:1 の理想変圧器の一次巻線に 460 V を加える。二次巻線に 8 Ω の抵抗を接続する。一次電流 I₁ を求めよ。

N₁:N₂ = 2:1V₁ = 460 VR_L = 8 Ω

I₁ = A

4.変圧器むずかしい

単相 200 kVA の変圧器の鉄損は 1000 W、定格負荷での銅損は 3000 W である。効率が最大になる負荷 S_η,max を kVA で求めよ。

S = 200 kVAP_core = 1000 WP_cu,fl = 3000 W

S_η,max = kVA

5.交流電力と力率ふつう

単相モーターが 230 V の電源から、遅れ力率 0.65 で 11 kW を消費する。線電流 I を求めよ。

P = 11 kWpf = 0.65V = 230 V

I = A

6.交流電力と力率むずかしい

単相負荷が 400 V、60 Hz の電源から遅れ力率 0.8 で 50 kW を消費する。並列にコンデンサをつないで力率を 0.98 に改善する。必要な静電容量 C を求めよ。

P = 50 kWpf₁ = 0.8pf₂ = 0.98V = 400 Vf = 60 Hz

C = µF

7.交流インピーダンスとフェーザふつう

直列 RLC 回路を 50 V（実効値）、100 Hz の電源に接続する。電流の実効値 I を求めよ。

V = 50 V (rms)f = 100 HzR = 40 ΩL = 100 mHC = 10 µF

I = A

8.交流インピーダンスとフェーザむずかしい

直列 RLC 回路の R = 10 Ω、L = 200 mH、C = 2.2 µF である。共振時の Q 値（尖鋭度）Q を求めよ。

R = 10 ΩL = 200 mHC = 2.2 µF

Q =

9.直流モーターふつう

k = 0.3 V·s/rad の直流モーターが 110 V で動作します。無負荷時の損失をすべて無視して、無負荷速度 n₀ を rpm で求めなさい。

V = 110 Vk = 0.3 V·s/rad

n₀ = rpm

10.直流モーターむずかしい

固定の 48 V の電源で動作する直流モーター（k = 0.3 V·s/rad、R_a = 2 Ω）が、0.6 N·m の負荷を駆動しています。速度を 400 rpm まで下げる直列抵抗 R_s を求めなさい。

V = 48 Vk = 0.3 V·s/radR_a = 2 ΩT = 0.6 N·mn = 400 rpm

R_s = Ω

3溶液

1.三相電力

答え: I_L = 32.63 A

電気入力

P_in = P_out/η = 18.5/0.93 = 19.89 kW

線電流

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 19892/(√3·400·0.88) = 32.63 A

答え

I_L = 32.63 A

2.三相電力

答え: C_ph = 311.9 µF

平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、V_L = √3·V_ph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、I_L = √3·I_ph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ。 力率改善：コンデンサは無効電力をその場で供給します：Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂)。3 個のコンデンサはそれぞれ Q_C/3 = V²·ω·C を供給します。V はそのコンデンサにかかる電圧で、Δ バンクでは V_L、Y バンクでは V_L/√3 です。

改善前後の無効電力

有効電力は変わらないので、それぞれの力率から無効電力が決まります：Q = P·tan φ。

Q₁ = 150·tan(acos 0.78) = 150·0.8023 = 120.3 kvar

Q₂ = 150·tan(acos 0.92) = 150·0.426 = 63.9 kvar

コンデンサが供給する無効電力

Q_C = Q₁ − Q₂ = 56.44 kvar

1 相あたりの静電容量

Δ バンクでは、各コンデンサは 2 本の線の間に接続されています。

V = 400 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 18814/(377·400²) = 311.9 µF

答え

C_ph = 311.9 µF

3.変圧器

答え: I₁ = 14.38 A

理想変圧器：電圧は巻数の比に、電流はその逆比になります：V₁/V₂ = N₁/N₂ = a、I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a。したがって入力電力と出力電力は等しく、V₁·I₁ = V₂·I₂ です。二次側の負荷インピーダンス Z は、一次側から見ると a²·Z に見えます。

二次電圧と二次電流

V₂ = 460/2 = 230 V

I₂ = 230/8 = 28.75 A

一次電流

理想変圧器には損失がありません：V₁·I₁ = V₂·I₂。

I₁ = I₂/2 = 14.38 A

答え

I₁ = 14.38 A

確認：一次側から見た負荷は a²·R_L = 32 Ω で、460/32 からも同じ電流が得られます。

4.変圧器

答え: S_η,max = 115.5 kVA

変圧器の損失：鉄損（ヒステリシス損と渦電流損）は電圧で決まり、負荷によらず一定です。巻線の銅損は電流の 2 乗に比例するので、定格負荷の x 倍の負荷では x²·P_cu,fl になります。効率 η = P_out/(P_out + P_core + P_cu)、ただし P_out = x·S·pf です。効率は銅損と鉄損が等しくなる負荷で最大になります。

銅損 = 鉄損

x²·3000 = 1000 → x = √(1000/3000) = 0.5774

最大効率となる負荷

S_η,max = x·S = 0.5774·200 = 115.5 kVA

答え

S_η,max = 115.5 kVA

5.交流電力と力率

答え: I = 73.58 A

交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。

線電流

仕事をするのは有効分だけなので、力率で割ります。

I = P/(V·cos φ) = 11000/(230·0.65) = 73.58 A

答え

I = 73.58 A

6.交流電力と力率

答え: C = 453.4 µF

改善前後の無効電力

有効電力 P は変わらず、電源から取る無効電力だけが変わります。

Q₁ = P·tan φ₁ = 50·tan(36.87°) = 37.5 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 50·tan(11.48°) = 10.15 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 27.35 kvar

静電容量

電源に並列につないだコンデンサは Q = V²·ωC を供給します。

C = Q_C/(2πf·V²) = 27347/(2π·60·400²) = 453.4 µF

答え

C = 453.4 µF

7.交流インピーダンスとフェーザ

答え: I = 0.4794 A

フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。

リアクタンス

ω = 2πf = 2π·100 = 628.3 rad/s

X_L = ωL = 628.3·0.1 = 62.83 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628.3·10·10⁻⁶) = 159.2 Ω

インピーダンス

直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(X_L − X_C)。

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(40² + (−96.32)²) = 104.3 Ω

電流

直列回路ではすべての素子に同じ電流が流れます。

I = V/|Z| = 50/104.3 = 0.4794 A

答え

I = 0.4794 A

8.交流インピーダンスとフェーザ

答え: Q = 30.15

共振周波数

f₀ = 1/(2π·√(0.2·2.2·10⁻⁶)) = 239.9 Hz

Q 値

Q は共振時のリアクタンスを抵抗と比べたものです：Q = ω₀L/R。

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/10)·√(0.2/(2.2·10⁻⁶)) = 30.15

答え

Q = 30.15

9.直流モーター

答え: n₀ = 3501 rpm

直流モーター：電機子は、逆起電力 E と直列の抵抗 R_a と見なせるので、V = E + I_a·R_a です。逆起電力は速度に比例して E = k·ω、トルクは電流に比例して T = k·I_a となり、SI 単位では同じモーター定数 k (V·s/rad = N·m/A) を使います。速度は ω = 2π·n/60 で換算します。発生電力は E·I_a = T·ω です。入力電力は V·I_a で、その差は銅損 I_a²R_a と回転損です。速度はトルクに対して直線的に下がり、ω = V/k − R_a·T/k² です。無負荷速度 V/k から、拘束トルク k·V/R_a で 0 になります。停止時には E = 0 なので、抵抗で制限しないかぎり始動電流 V/R_a は大きくなります。

無負荷速度

ω₀ = V/k = 110/0.3 = 366.7 rad/s

n₀ = 60·366.7/(2π) = 3501 rpm

答え

n₀ = 3501 rpm

10.直流モーター

答え: R_s = 15.72 Ω

電流と逆起電力

I_a = 0.6/0.3 = 2 A

E = 0.3·41.89 = 12.57 V

直列抵抗

R_a + R_s = (48 − 12.57)/2 = 17.72 Ω

R_s = 15.72 Ω

答え

R_s = 15.72 Ω

この抵抗器は 62.87 W を無駄にします。チョッパを使えば、ずっと少ない損失で速度を制御できます。

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