電力システムと電気機器：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

新しい問題科目に戻る

印刷ウィンドウで「PDF として保存」を選ぶと、コピーを端末に保存できます。

1公式と解法

三相電力

Y 結線: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Δ 結線: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
全有効電力: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
皮相電力と無効電力: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
力率改善用コンデンサ: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
各コンデンサにかかる電圧: Δ：V_L Y：V_L/√3
モーターの入力: P_in = P_out/η

変圧器

巻数比: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
電流比: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
定格電流: I = S/V
換算インピーダンス: Z₁′ = a²·Z_L
部分負荷時の銅損: P_cu = x²·P_cu,fl
効率: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
最大効率: x = √(P_core/P_cu,fl)

交流電力と力率

有効電力: P = V·I·cos φ
無効電力: Q = V·I·sin φ
皮相電力: S = V·I = √(P² + Q²)
力率: pf = cos φ = P/S
力率改善用コンデンサ: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

交流インピーダンスとフェーザ

インピーダンス: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角周波数: ω = 2πf
大きさと偏角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
フェーザ表示のオームの法則: V = I·Z

解き方

周波数を換算します：ω = 2πf。
各リアクタンスを求めます：X_L = ωL、X_C = 1/(ωC)。
インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。

直流モーター

電機子回路: V = E + I_aR_a
逆起電力とトルク: E = k·ω, T = k·I_a
速さ: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
無負荷速度と拘束トルク: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
電力: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
始動: I_start = V/(R_a + R_st)
速度変動率: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
最大発生電力: P_max = V²/(4R_a)
チョッパ駆動: V_a = D·V_dc

解き方

電機子回路を描きます：電源 V、抵抗 R_a、逆起電力 E が直列につながります。
電圧、電流、逆起電力を結びつけるには V = E + I_a·R_a を使います。
速度には E = k·ω、トルクには T = k·I_a を使います。ω = 2π·n/60 です。
電力と効率では、V·I_a から始めて、銅損 I_a²·R_a を引き、次に回転損を引きます。

2演習問題

1.三相電力ふつう

三相誘導電動機が全負荷で 15 kW の機械出力を出している。この負荷での効率は 92%、力率は遅れ 0.9 である。電源の線間電圧は 480 V である。線電流 I_L を求めよ。

P_out = 15 kWη = 92%cos φ = 0.9V_L = 480 V

I_L = A

2.三相電力むずかしい

平衡三相負荷が、400 V（線間）、50 Hz の電源から遅れ力率 0.65 で 120 kW を消費している。負荷と並列に三相コンデンサバンクを接続し、全体の力率を遅れ 0.95 に改善する。有効電力は変わらない。コンデンサは Δ 結線である。各コンデンサの静電容量 C_ph を µF で求めよ。

P = 120 kWpf₁ = 0.65pf₂ = 0.95V_L = 400 Vf = 50 Hz

C_ph = µF

3.変圧器ふつう

出力抵抗 50 Ω の増幅器が、理想変圧器を介して 2 Ω のスピーカーを駆動する。最大電力を伝えるには、増幅器から見てスピーカーが 50 Ω に見えなければならない。巻数比 a = N₁/N₂ を求めよ。

R_s = 50 ΩR_L = 2 Ω

a =

4.変圧器むずかしい

単相 150 kVA の変圧器の鉄損は 900 W、定格負荷での銅損は 2700 W である。この変圧器が定格 kVA の 75% を遅れ力率 0.85 で供給している。この負荷での全損失 P_loss を W で求めよ。

S = 150 kVAP_core = 900 WP_cu,fl = 2700 Wx = 0.75pf = 0.85

P_loss = W

5.交流電力と力率ふつう

単相モーターが 400 V の電源から、遅れ力率 0.65 で 8 kW を消費する。モーターの無効電力 Q を求めよ。

P = 8 kWpf = 0.65V = 400 V

Q = kvar

6.交流電力と力率むずかしい

230 V（実効値）、50 Hz の電源の内部インピーダンスは Z_s = 8 + j20 Ω である。負荷インピーダンス Z_L は自由に選べる。最大電力を得る負荷を、抵抗とコンデンサの直列回路でつくる。静電容量 C を求めよ。

V_s = 230 V (rms)f = 50 HzZ_s = 8 + j20 Ω

C = µF

7.交流インピーダンスとフェーザふつう

直列 RLC 回路を 12 V（実効値）、50 Hz の電源に接続する。インピーダンスの位相角 φ を度で求めよ（電流が電圧より遅れるとき正）。

V = 12 V (rms)f = 50 HzR = 60 ΩL = 20 mHC = 47 µF

φ = °

8.交流インピーダンスとフェーザむずかしい

直列 RLC 回路を 10 V（実効値）、500 Hz の電源に接続する。電流の実効値 I を求めよ。

V = 10 V (rms)f = 500 HzR = 50 ΩL = 200 mHC = 47 µF

I = A

9.直流モーターふつう

直流モーターが 1000 rpm で機械的な電力 2.2 kW を出力します。軸トルク T を求めなさい。

P = 2.2 kWn = 1000 rpm

T = N·m

10.直流モーターむずかしい

k = 0.75 V·s/rad、R_a = 1 Ω の直流モーターが、600 rpm で 3 N·m の負荷を駆動しなければなりません。必要な電機子電圧 V を求めなさい。

k = 0.75 V·s/radR_a = 1 ΩT = 3 N·mn = 600 rpm

V = V

3溶液

1.三相電力

答え: I_L = 21.79 A

電気入力

P_in = P_out/η = 15/0.92 = 16.3 kW

線電流

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 16304/(√3·480·0.9) = 21.79 A

答え

I_L = 21.79 A

2.三相電力

答え: C_ph = 668.8 µF

平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、V_L = √3·V_ph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、I_L = √3·I_ph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ。 力率改善：コンデンサは無効電力をその場で供給します：Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂)。3 個のコンデンサはそれぞれ Q_C/3 = V²·ω·C を供給します。V はそのコンデンサにかかる電圧で、Δ バンクでは V_L、Y バンクでは V_L/√3 です。

改善前後の無効電力

有効電力は変わらないので、それぞれの力率から無効電力が決まります：Q = P·tan φ。

Q₁ = 120·tan(acos 0.65) = 120·1.169 = 140.3 kvar

Q₂ = 120·tan(acos 0.95) = 120·0.3287 = 39.44 kvar

コンデンサが供給する無効電力

Q_C = Q₁ − Q₂ = 100.9 kvar

1 相あたりの静電容量

Δ バンクでは、各コンデンサは 2 本の線の間に接続されています。

V = 400 V, ω = 2π·50 = 314.2 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 33618/(314.2·400²) = 668.8 µF

答え

C_ph = 668.8 µF

3.変圧器

答え: a = 5

理想変圧器：電圧は巻数の比に、電流はその逆比になります：V₁/V₂ = N₁/N₂ = a、I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a。したがって入力電力と出力電力は等しく、V₁·I₁ = V₂·I₂ です。二次側の負荷インピーダンス Z は、一次側から見ると a²·Z に見えます。

換算した負荷を整合させる

a²·2 = 50

a = √(50/2) = √25 = 5

答え

a = 5

4.変圧器

答え: P_loss = 2419 W

変圧器の損失：鉄損（ヒステリシス損と渦電流損）は電圧で決まり、負荷によらず一定です。巻線の銅損は電流の 2 乗に比例するので、定格負荷の x 倍の負荷では x²·P_cu,fl になります。効率 η = P_out/(P_out + P_core + P_cu)、ただし P_out = x·S·pf です。効率は銅損と鉄損が等しくなる負荷で最大になります。

この負荷での銅損

P_cu = x²·P_cu,fl = 0.5625·2700 = 1519 W

全損失

鉄損は負荷によらず一定です。

P_loss = 900 + 1519 = 2419 W

答え

P_loss = 2419 W

この負荷での効率は η = 97.53% です。

5.交流電力と力率

答え: Q = 9.353 kvar

交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。

位相角

φ = arccos(0.65) = 49.46°, tan φ = 1.169

無効電力

Q = P·tan φ = 8·1.169 = 9.353 kvar

答え

Q = 9.353 kvar

6.交流電力と力率

答え: C = 159.2 µF

共役整合

負荷のリアクタンスは電源のリアクタンスを打ち消し、負荷抵抗は電源抵抗に等しくなります。

Z_L = Z_s* = 8 − j20 Ω

静電容量

X_C = 20 Ω → C = 1/(2π·50·20) = 159.2 µF

答え

C = 159.2 µF

7.交流インピーダンスとフェーザ

答え: φ = −45.68 °

フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。

リアクタンス

ω = 2πf = 2π·50 = 314.2 rad/s

X_L = ωL = 314.2·0.02 = 6.283 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(314.2·47·10⁻⁶) = 67.73 Ω

インピーダンス

直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(X_L − X_C)。

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(60² + (−61.44)²) = 85.88 Ω

位相角

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(−61.44/60) = −45.68°

答え

φ = −45.68°

8.交流インピーダンスとフェーザ

答え: I = 0.01604 A

リアクタンス

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0.2 = 628.3 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·47·10⁻⁶) = 6.773 Ω

インピーダンス

直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(X_L − X_C)。

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(50² + (621.5)²) = 623.6 Ω

電流

直列回路ではすべての素子に同じ電流が流れます。

I = V/|Z| = 10/623.6 = 0.01604 A

答え

I = 0.01604 A

9.直流モーター

答え: T = 21.01 N·m

直流モーター：電機子は、逆起電力 E と直列の抵抗 R_a と見なせるので、V = E + I_a·R_a です。逆起電力は速度に比例して E = k·ω、トルクは電流に比例して T = k·I_a となり、SI 単位では同じモーター定数 k (V·s/rad = N·m/A) を使います。速度は ω = 2π·n/60 で換算します。発生電力は E·I_a = T·ω です。入力電力は V·I_a で、その差は銅損 I_a²R_a と回転損です。速度はトルクに対して直線的に下がり、ω = V/k − R_a·T/k² です。無負荷速度 V/k から、拘束トルク k·V/R_a で 0 になります。停止時には E = 0 なので、抵抗で制限しないかぎり始動電流 V/R_a は大きくなります。

rad/s での角速度

ω = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s

トルク

T = P/ω = 2200/104.7 = 21.01 N·m

答え

T = 21.01 N·m

10.直流モーター

答え: V = 51.12 V

逆起電力

E = 0.75·62.83 = 47.12 V

電機子電流

I_a = 3/0.75 = 4 A

電機子電圧

V = 47.12 + 4·1 = 51.12 V

答え

V = 51.12 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems