電力システムと電気機器：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

三相電力

Y 結線: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Δ 結線: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
全有効電力: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
皮相電力と無効電力: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
力率改善用コンデンサ: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
各コンデンサにかかる電圧: Δ：V_L Y：V_L/√3
モーターの入力: P_in = P_out/η

変圧器

巻数比: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
電流比: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
定格電流: I = S/V
換算インピーダンス: Z₁′ = a²·Z_L
部分負荷時の銅損: P_cu = x²·P_cu,fl
効率: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
最大効率: x = √(P_core/P_cu,fl)

交流電力と力率

有効電力: P = V·I·cos φ
無効電力: Q = V·I·sin φ
皮相電力: S = V·I = √(P² + Q²)
力率: pf = cos φ = P/S
力率改善用コンデンサ: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

交流インピーダンスとフェーザ

インピーダンス: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角周波数: ω = 2πf
大きさと偏角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
フェーザ表示のオームの法則: V = I·Z

解き方

周波数を換算します：ω = 2πf。
各リアクタンスを求めます：X_L = ωL、X_C = 1/(ωC)。
インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。

直流モーター

電機子回路: V = E + I_aR_a
逆起電力とトルク: E = k·ω, T = k·I_a
速さ: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
無負荷速度と拘束トルク: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
電力: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
始動: I_start = V/(R_a + R_st)
速度変動率: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
最大発生電力: P_max = V²/(4R_a)
チョッパ駆動: V_a = D·V_dc

解き方

電機子回路を描きます：電源 V、抵抗 R_a、逆起電力 E が直列につながります。
電圧、電流、逆起電力を結びつけるには V = E + I_a·R_a を使います。
速度には E = k·ω、トルクには T = k·I_a を使います。ω = 2π·n/60 です。
電力と効率では、V·I_a から始めて、銅損 I_a²·R_a を引き、次に回転損を引きます。

2演習問題

1.三相電力ふつう

平衡三相負荷が、線間電圧 400 V の電源から線電流 60 A を流している。力率は遅れ 0.92 である。負荷が消費する全有効電力 P を kW で求めよ。

V_L = 400 VI_L = 60 Acos φ = 0.92

P = kW

2.三相電力むずかしい

平衡三相負荷が、690 V（線間）、50 Hz の電源から遅れ力率 0.78 で 250 kW を消費している。負荷と並列に三相コンデンサバンクを接続し、全体の力率を遅れ 0.92 に改善する。有効電力は変わらない。コンデンサは Δ 結線である。各コンデンサの静電容量 C_ph を µF で求めよ。

P = 250 kWpf₁ = 0.78pf₂ = 0.92V_L = 690 Vf = 50 Hz

C_ph = µF

3.変圧器ふつう

巻数比 N₁:N₂ = 20:1 の理想変圧器の一次巻線に 2400 V を加える。二次巻線に 12 Ω の抵抗を接続する。一次電流 I₁ を求めよ。

N₁:N₂ = 20:1V₁ = 2400 VR_L = 12 Ω

I₁ = A

4.変圧器むずかしい

単相 100 kVA の変圧器の鉄損は 800 W、定格負荷での銅損は 2000 W である。効率が最大になる負荷 S_η,max を kVA で求めよ。

S = 100 kVAP_core = 800 WP_cu,fl = 2000 W

S_η,max = kVA

5.交流電力と力率ふつう

誘導性負荷が 230 V（実効値）の単相電源から 8.5 A と 1564 W を消費する。これを抵抗 R とリアクタンス X の直列回路としてモデル化する。 R を求めよ。

V = 230 VI = 8.5 AP = 1564 W

R = Ω

6.交流電力と力率むずかしい

単相負荷が 230 V、50 Hz の電源から、遅れ力率 0.75 で 9 kW を消費する。100 µF のコンデンサを負荷と並列に接続する。電源から見た新しい力率 cos φ を求めよ。

P = 9 kWpf₁ = 0.75V = 230 Vf = 50 HzC = 100 µF

cos φ =

7.交流インピーダンスとフェーザふつう

直列 RLC 回路を 50 V（実効値）、100 Hz の電源に接続する。電源から供給される有効電力 P を求めよ。

V = 50 V (rms)f = 100 HzR = 40 ΩL = 100 mHC = 47 µF

P = W

8.交流インピーダンスとフェーザむずかしい

直列 RLC 回路の R = 100 Ω、L = 1 mH、C = 0.022 µF である。帯域幅 B（半電力周波数の間の帯域の幅）を Hz で求めよ。

R = 100 ΩL = 1 mHC = 0.022 µF

B = Hz

9.直流モーターふつう

直流モーター（k = 0.8 V·s/rad、R_a = 1.5 Ω）が 240 V で動作します。全負荷時に 10 A が流れます。無負荷電流を無視して、速度変動率 SR = (n₀ − n_FL)/n_FL を百分率で求めなさい。

V = 240 Vk = 0.8 V·s/radR_a = 1.5 ΩI_FL = 10 A

SR = %

10.直流モーターむずかしい

k = 0.8 V·s/rad、R_a = 0.5 Ω の直流モーターが、400 rpm で 16 N·m の負荷を駆動しなければなりません。必要な電機子電圧 V を求めなさい。

k = 0.8 V·s/radR_a = 0.5 ΩT = 16 N·mn = 400 rpm

V = V

3溶液

1.三相電力

答え: P = 38.24 kW

皮相電力

S = √3·V_L·I_L = √3·400·60 = 41.57 kVA

有効電力

P = S·cos φ = 41.57·0.92 = 38.24 kW

答え

P = 38.24 kW

2.三相電力

答え: C_ph = 209.6 µF

平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、V_L = √3·V_ph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、I_L = √3·I_ph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ。 力率改善：コンデンサは無効電力をその場で供給します：Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂)。3 個のコンデンサはそれぞれ Q_C/3 = V²·ω·C を供給します。V はそのコンデンサにかかる電圧で、Δ バンクでは V_L、Y バンクでは V_L/√3 です。

改善前後の無効電力

有効電力は変わらないので、それぞれの力率から無効電力が決まります：Q = P·tan φ。

Q₁ = 250·tan(acos 0.78) = 250·0.8023 = 200.6 kvar

Q₂ = 250·tan(acos 0.92) = 250·0.426 = 106.5 kvar

コンデンサが供給する無効電力

Q_C = Q₁ − Q₂ = 94.07 kvar

1 相あたりの静電容量

Δ バンクでは、各コンデンサは 2 本の線の間に接続されています。

V = 690 V, ω = 2π·50 = 314.2 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 31357/(314.2·690²) = 209.6 µF

答え

C_ph = 209.6 µF

3.変圧器

答え: I₁ = 0.5 A

理想変圧器：電圧は巻数の比に、電流はその逆比になります：V₁/V₂ = N₁/N₂ = a、I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a。したがって入力電力と出力電力は等しく、V₁·I₁ = V₂·I₂ です。二次側の負荷インピーダンス Z は、一次側から見ると a²·Z に見えます。

二次電圧と二次電流

V₂ = 2400/20 = 120 V

I₂ = 120/12 = 10 A

一次電流

理想変圧器には損失がありません：V₁·I₁ = V₂·I₂。

I₁ = I₂/20 = 0.5 A

答え

I₁ = 0.5 A

確認：一次側から見た負荷は a²·R_L = 4800 Ω で、2400/4800 からも同じ電流が得られます。

4.変圧器

答え: S_η,max = 63.25 kVA

変圧器の損失：鉄損（ヒステリシス損と渦電流損）は電圧で決まり、負荷によらず一定です。巻線の銅損は電流の 2 乗に比例するので、定格負荷の x 倍の負荷では x²·P_cu,fl になります。効率 η = P_out/(P_out + P_core + P_cu)、ただし P_out = x·S·pf です。効率は銅損と鉄損が等しくなる負荷で最大になります。

銅損 = 鉄損

x²·2000 = 800 → x = √(800/2000) = 0.6325

最大効率となる負荷

S_η,max = x·S = 0.6325·100 = 63.25 kVA

答え

S_η,max = 63.25 kVA

5.交流電力と力率

答え: R = 21.65 Ω

交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。

有効電力からの抵抗

R = P/I² = 1564/8.5² = 21.65 Ω

答え

R = 21.65 Ω

6.交流電力と力率

答え: cos φ = 0.8203

改善前後の無効電力

有効電力 P は変わらず、電源から取る無効電力だけが変わります。

Q₁ = 9·tan(arccos 0.75) = 7.937 kvar

Q_C = V²·2πf·C = 230²·2π·50·100·10⁻⁶ = 1662 var = 1.662 kvar

Q₂ = 7.937 − 1.662 = 6.275 kvar

新しい皮相電力

S₂ = √(9² + 6.275²) = 10.97 kVA

新しい力率

cos φ = P/S₂ = 9/10.97 = 0.8203

答え

cos φ = 0.8203

7.交流インピーダンスとフェーザ

答え: P = 41 W

フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。

リアクタンス

X_L = 62.83 Ω, X_C = 33.86 Ω

インピーダンス

|Z| = √(40² + (28.97)²) = 49.39 Ω

有効電力

コイルとコンデンサはエネルギーを蓄えて返すだけです。有効電力はすべて抵抗が消費します。

I = 50/49.39 = 1.012 A

P = I²·R = 1.012²·40 = 41 W

答え

P = 41 W

8.交流インピーダンスとフェーザ

答え: B = 15915 Hz

共振周波数

f₀ = 1/(2π·√(0.001·0.022·10⁻⁶)) = 33932 Hz

Q 値

Q は共振時のリアクタンスを抵抗と比べたものです：Q = ω₀L/R。

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/100)·√(0.001/(0.022·10⁻⁶)) = 2.132

帯域幅

B = f₀/Q = 33932/2.132 = 15915 Hz

答え

B = 15915 Hz

9.直流モーター

答え: SR = 6.667 %

直流モーター：電機子は、逆起電力 E と直列の抵抗 R_a と見なせるので、V = E + I_a·R_a です。逆起電力は速度に比例して E = k·ω、トルクは電流に比例して T = k·I_a となり、SI 単位では同じモーター定数 k (V·s/rad = N·m/A) を使います。速度は ω = 2π·n/60 で換算します。発生電力は E·I_a = T·ω です。入力電力は V·I_a で、その差は銅損 I_a²R_a と回転損です。速度はトルクに対して直線的に下がり、ω = V/k − R_a·T/k² です。無負荷速度 V/k から、拘束トルク k·V/R_a で 0 になります。停止時には E = 0 なので、抵抗で制限しないかぎり始動電流 V/R_a は大きくなります。

無負荷速度と全負荷速度

n₀ = 60·240/(2π·0.8) = 2865 rpm

n_FL = 60·(240 − 10·1.5)/(2π·0.8) = 2686 rpm

速度変動率

SR = (2865 − 2686)/2686·100 = 6.667 %

答え

SR = 6.667 %

10.直流モーター

答え: V = 43.51 V

逆起電力

E = 0.8·41.89 = 33.51 V

電機子電流

I_a = 16/0.8 = 20 A

電機子電圧

V = 33.51 + 20·0.5 = 43.51 V

答え

V = 43.51 V

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