三相電力
- Y 結線
- VL = √3·Vph, IL = Iph
- Δ 結線
- VL = Vph, IL = √3·Iph
- 全有効電力
- P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
- 皮相電力と無効電力
- S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
- 力率改善用コンデンサ
- QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
- 各コンデンサにかかる電圧
- Δ：VL Y：VL/√3
- モーターの入力
- Pin = Pout/η
電力システムと電気機器：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
変圧器
- 巻数比
- a = N1/N2 = V1/V2
- 電流比
- I1/I2 = N2/N1 = 1/a
- 定格電流
- I = S/V
- 換算インピーダンス
- Z1′ = a²·ZL
- 部分負荷時の銅損
- Pcu = x²·Pcu,fl
- 効率
- η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
- 最大効率
- x = √(Pcore/Pcu,fl)
交流電力と力率
- 有効電力
- P = V·I·cos φ
- 無効電力
- Q = V·I·sin φ
- 皮相電力
- S = V·I = √(P² + Q²)
- 力率
- pf = cos φ = P/S
- 力率改善用コンデンサ
- QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
交流インピーダンスとフェーザ
- インピーダンス
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角周波数
- ω = 2πf
- 大きさと偏角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- フェーザ表示のオームの法則
- V = I·Z
解き方
- 周波数を換算します：ω = 2πf。
- 各リアクタンスを求めます：XL = ωL、XC = 1/(ωC)。
- インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
- 大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。
直流モーター
- 電機子回路
- V = E + IaRa
- 逆起電力とトルク
- E = k·ω, T = k·Ia
- 速さ
- ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
- 無負荷速度と拘束トルク
- ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
- 電力
- Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
- 始動
- Istart = V/(Ra + Rst)
- 速度変動率
- SR = (n0 − nFL)/nFL
- 最大発生電力
- Pmax = V²/(4Ra)
- チョッパ駆動
- Va = D·Vdc
解き方
- 電機子回路を描きます：電源 V、抵抗 Ra、逆起電力 E が直列につながります。
- 電圧、電流、逆起電力を結びつけるには V = E + Ia·Ra を使います。
- 速度には E = k·ω、トルクには T = k·Ia を使います。ω = 2π·n/60 です。
- 電力と効率では、V·Ia から始めて、銅損 Ia²·Ra を引き、次に回転損を引きます。
2演習問題
1.三相電力ふつう
平衡三相負荷が、線間電圧 415 V の電源から線電流 20 A を流している。力率は遅れ 0.7 である。負荷が消費する全有効電力 P を kW で求めよ。
VL = 415 VIL = 20 Acos φ = 0.7
P = kW
2.三相電力むずかしい
平衡三相負荷が、480 V（線間）、50 Hz の電源から遅れ力率 0.75 で 250 kW を消費している。負荷と並列に三相コンデンサバンクを接続し、全体の力率を遅れ 0.95 に改善する。有効電力は変わらない。 コンデンサバンクが供給すべき全無効電力 QC を kvar で求めよ。
P = 250 kWpf1 = 0.75pf2 = 0.95VL = 480 Vf = 50 Hz
QC = kvar
3.変圧器ふつう
単相 75 kVA、11000/400 V の変圧器が定格負荷で運転している。理想変圧器とみなす。低圧巻線の電流 ILV を求めよ。
S = 75 kVAV1 = 11000 VV2 = 400 V
ILV = A
4.変圧器むずかしい
単相 100 kVA の変圧器の鉄損は 600 W である。 定格負荷、遅れ力率 0.8 での効率は 96% である。全負荷銅損 Pcu,fl を W で求めよ。
S = 100 kVAPcore = 600 Wpf = 0.8η = 96%
Pcu,fl = W
5.交流電力と力率ふつう
インピーダンス Z = 12 + j16 Ω の負荷が 120 V（実効値）の単相電源に接続されている。 皮相電力 S を求めよ。
V = 120 VZ = 12 + j16 Ω
S = VA
6.交流電力と力率むずかしい
単相負荷が 400 V、50 Hz の電源から、遅れ力率 0.7 で 21 kW を消費する。220 µF のコンデンサを負荷と並列に接続する。 新しい線電流 I を求めよ。
P = 21 kWpf1 = 0.7V = 400 Vf = 50 HzC = 220 µF
I = A
7.交流インピーダンスとフェーザふつう
直列 RLC 回路を 12 V（実効値）、100 Hz の電源に接続する。 回路の力率 cos φ を求めよ。
V = 12 V (rms)f = 100 HzR = 50 ΩL = 20 mHC = 10 µF
cos φ =
8.交流インピーダンスとフェーザむずかしい
直列 RLC 回路を 24 V（実効値）、200 Hz の電源に接続する。 コンデンサの両端電圧の実効値 VC を求めよ。
V = 24 V (rms)f = 200 HzR = 60 ΩL = 50 mHC = 4.7 µF
VC = V
9.直流モーターふつう
直流モーターが 1800 rpm で機械的な電力 2.2 kW を出力します。軸トルク T を求めなさい。
P = 2.2 kWn = 1800 rpm
T = N·m
10.直流モーターむずかしい
直流チョッパが、220 V の直流母線からモーター（k = 1 V·s/rad、Ra = 0.25 Ω）に給電します。電機子の平均電圧は D·220 V です。負荷 30 N·m で 400 rpm の運転となるデューティ比 D を求めなさい。
Vdc = 220 Vk = 1 V·s/radRa = 0.25 ΩT = 30 N·mn = 400 rpm
D = %
3溶液
1.三相電力
答え: P = 10.06 kW
平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、VL = √3·Vph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、IL = √3·Iph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。
皮相電力
S = √3·VL·IL = √3·415·20 = 14.38 kVA
有効電力
P = S·cos φ = 14.38·0.7 = 10.06 kW
答え
P = 10.06 kW
2.三相電力
答え: QC = 138.3 kvar
平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、VL = √3·Vph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、IL = √3·Iph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 力率改善：コンデンサは無効電力をその場で供給します：QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。3 個のコンデンサはそれぞれ QC/3 = V²·ω·C を供給します。V はそのコンデンサにかかる電圧で、Δ バンクでは VL、Y バンクでは VL/√3 です。
改善前後の無効電力
有効電力は変わらないので、それぞれの力率から無効電力が決まります：Q = P·tan φ。
Q1 = 250·tan(acos 0.75) = 250·0.8819 = 220.5 kvar
Q2 = 250·tan(acos 0.95) = 250·0.3287 = 82.17 kvar
コンデンサが供給する無効電力
QC = Q1 − Q2 = 138.3 kvar
答え
QC = 138.3 kvar
3.変圧器
答え: ILV = 187.5 A
理想変圧器：電圧は巻数の比に、電流はその逆比になります：V₁/V₂ = N₁/N₂ = a、I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a。したがって入力電力と出力電力は等しく、V₁·I₁ = V₂·I₂ です。二次側の負荷インピーダンス Z は、一次側から見ると a²·Z に見えます。
定格電流
両方の巻線に同じ皮相電力が流れます。
ILV = S/V = 75000/400 = 187.5 A
答え
ILV = 187.5 A
4.変圧器
答え: Pcu,fl = 2733 W
変圧器の損失：鉄損（ヒステリシス損と渦電流損）は電圧で決まり、負荷によらず一定です。巻線の銅損は電流の 2 乗に比例するので、定格負荷の x 倍の負荷では x²·Pcu,fl になります。効率 η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu)、ただし Pout = x·S·pf です。効率は銅損と鉄損が等しくなる負荷で最大になります。
出力と入力
Pout = 100·0.8 = 80 kW
Pin = 80000/0.96 = 83333 W
全損失と銅損
Ploss = 83333 − 80000 = 3333 W
Pcu,fl = 3333 − 600 = 2733 W
答え
Pcu,fl = 2733 W
5.交流電力と力率
答え: S = 720 VA
交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。
電流
|Z| = √(12² + 16²) = 20 Ω
I = V/|Z| = 120/20 = 6 A
皮相電力
S = V·I = 120·6 = 720 VA
答え
S = 720 VA
6.交流電力と力率
答え: I = 58.55 A
交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。
改善前後の無効電力
有効電力 P は変わらず、電源から取る無効電力だけが変わります。
Q1 = 21·tan(arccos 0.7) = 21.42 kvar
QC = V²·2πf·C = 400²·2π·50·220·10⁻⁶ = 11058 var = 11.06 kvar
Q2 = 21.42 − 11.06 = 10.37 kvar
新しい皮相電力
S2 = √(21² + 10.37²) = 23.42 kVA
新しい線電流
I = S2/V = 23419/400 = 58.55 A
答え
I = 58.55 A
7.交流インピーダンスとフェーザ
答え: cos φ = 0.3228
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
リアクタンス
XL = 12.57 Ω, XC = 159.2 Ω
インピーダンス
|Z| = √(50² + (−146.6)²) = 154.9 Ω
力率
cos φ = R/|Z| = 50/154.9 = 0.3228
回路は容量性なので、力率は進みです。
答え
cos φ = 0.3228
8.交流インピーダンスとフェーザ
答え: VC = 33.25 V
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
リアクタンス
ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s
XL = ωL = 1257·0.05 = 62.83 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(1257·4.7·10⁻⁶) = 169.3 Ω
インピーダンス
直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(XL − XC)。
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(60² + (−106.5)²) = 122.2 Ω
電流
直列回路ではすべての素子に同じ電流が流れます。
I = V/|Z| = 24/122.2 = 0.1964 A
コンデンサの電圧
VC = I·XC = 0.1964·169.3 = 33.25 V
答え
VC = 33.25 V
9.直流モーター
答え: T = 11.67 N·m
直流モーター：電機子は、逆起電力 E と直列の抵抗 Ra と見なせるので、V = E + Ia·Ra です。逆起電力は速度に比例して E = k·ω、トルクは電流に比例して T = k·Ia となり、SI 単位では同じモーター定数 k (V·s/rad = N·m/A) を使います。速度は ω = 2π·n/60 で換算します。発生電力は E·Ia = T·ω です。入力電力は V·Ia で、その差は銅損 Ia²Ra と回転損です。速度はトルクに対して直線的に下がり、ω = V/k − Ra·T/k² です。無負荷速度 V/k から、拘束トルク k·V/Ra で 0 になります。停止時には E = 0 なので、抵抗で制限しないかぎり始動電流 V/Ra は大きくなります。
rad/s での角速度
ω = 2π·1800/60 = 188.5 rad/s
トルク
T = P/ω = 2200/188.5 = 11.67 N·m
答え
T = 11.67 N·m
10.直流モーター
答え: D = 22.45 %
直流モーター：電機子は、逆起電力 E と直列の抵抗 Ra と見なせるので、V = E + Ia·Ra です。逆起電力は速度に比例して E = k·ω、トルクは電流に比例して T = k·Ia となり、SI 単位では同じモーター定数 k (V·s/rad = N·m/A) を使います。速度は ω = 2π·n/60 で換算します。発生電力は E·Ia = T·ω です。入力電力は V·Ia で、その差は銅損 Ia²Ra と回転損です。速度はトルクに対して直線的に下がり、ω = V/k − Ra·T/k² です。無負荷速度 V/k から、拘束トルク k·V/Ra で 0 になります。停止時には E = 0 なので、抵抗で制限しないかぎり始動電流 V/Ra は大きくなります。
必要な電機子電圧
Va = 1·41.89 + 30·0.25 = 49.39 V
デューティ比
D = 49.39/220 = 22.45 %
答え
D = 22.45 %
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