電力システムと電気機器：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

三相電力

Y 結線: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Δ 結線: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
全有効電力: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
皮相電力と無効電力: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
力率改善用コンデンサ: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
各コンデンサにかかる電圧: Δ：V_L Y：V_L/√3
モーターの入力: P_in = P_out/η

変圧器

巻数比: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
電流比: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
定格電流: I = S/V
換算インピーダンス: Z₁′ = a²·Z_L
部分負荷時の銅損: P_cu = x²·P_cu,fl
効率: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
最大効率: x = √(P_core/P_cu,fl)

交流電力と力率

有効電力: P = V·I·cos φ
無効電力: Q = V·I·sin φ
皮相電力: S = V·I = √(P² + Q²)
力率: pf = cos φ = P/S
力率改善用コンデンサ: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

交流インピーダンスとフェーザ

インピーダンス: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角周波数: ω = 2πf
大きさと偏角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
フェーザ表示のオームの法則: V = I·Z

解き方

周波数を換算します：ω = 2πf。
各リアクタンスを求めます：X_L = ωL、X_C = 1/(ωC)。
インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。

直流モーター

電機子回路: V = E + I_aR_a
逆起電力とトルク: E = k·ω, T = k·I_a
速さ: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
無負荷速度と拘束トルク: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
電力: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
始動: I_start = V/(R_a + R_st)
速度変動率: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
最大発生電力: P_max = V²/(4R_a)
チョッパ駆動: V_a = D·V_dc

解き方

電機子回路を描きます：電源 V、抵抗 R_a、逆起電力 E が直列につながります。
電圧、電流、逆起電力を結びつけるには V = E + I_a·R_a を使います。
速度には E = k·ω、トルクには T = k·I_a を使います。ω = 2π·n/60 です。
電力と効率では、V·I_a から始めて、銅損 I_a²·R_a を引き、次に回転損を引きます。

2演習問題

1.三相電力ふつう

三相誘導電動機が全負荷で 7.5 kW の機械出力を出している。この負荷での効率は 94%、力率は遅れ 0.88 である。電源の線間電圧は 400 V である。線電流 I_L を求めよ。

P_out = 7.5 kWη = 94%cos φ = 0.88V_L = 400 V

I_L = A

2.三相電力むずかしい

平衡三相負荷が、400 V（線間）、60 Hz の電源から遅れ力率 0.7 で 200 kW を消費している。負荷と並列に三相コンデンサバンクを接続し、全体の力率を遅れ 0.98 に改善する。有効電力は変わらない。コンデンサバンクが供給すべき全無効電力 Q_C を kvar で求めよ。

P = 200 kWpf₁ = 0.7pf₂ = 0.98V_L = 400 Vf = 60 Hz

Q_C = kvar

3.変圧器ふつう

巻数比 N₁:N₂ = 5:1 の理想変圧器の二次巻線に 10 Ω の抵抗を接続する。一次巻線から見た抵抗 R_1′ を求めよ。

N₁:N₂ = 5:1R_L = 10 Ω

R_1′ = Ω

4.変圧器むずかしい

単相 50 kVA の変圧器の鉄損は 200 W、定格負荷での銅損は 300 W である。この変圧器が定格 kVA の 75% を遅れ力率 0.95 で供給している。この負荷での全損失 P_loss を W で求めよ。

S = 50 kVAP_core = 200 WP_cu,fl = 300 Wx = 0.75pf = 0.95

P_loss = W

5.交流電力と力率ふつう

誘導性負荷が 230 V（実効値）の単相電源から 13.5 A と 1553 W を消費する。これを抵抗 R とリアクタンス X の直列回路としてモデル化する。 X を求めよ。

V = 230 VI = 13.5 AP = 1553 W

X = Ω

6.交流電力と力率むずかしい

単相負荷が 230 V、50 Hz の電源から遅れ力率 0.65 で 5 kW を消費する。並列にコンデンサをつないで力率を 0.9 に改善する。必要な静電容量 C を求めよ。

P = 5 kWpf₁ = 0.65pf₂ = 0.9V = 230 Vf = 50 Hz

C = µF

7.交流インピーダンスとフェーザふつう

直列 RLC 回路を 10 V（実効値）、500 Hz の電源に接続する。電流の実効値 I を求めよ。

V = 10 V (rms)f = 500 HzR = 100 ΩL = 100 mHC = 4.7 µF

I = A

8.交流インピーダンスとフェーザむずかしい

直列 RLC 回路を、周波数を回路の共振周波数に設定した 1 V（実効値）の電源で駆動する。コイルの両端の電圧の実効値 V_L を求めよ。

V = 1 V (rms)R = 15 ΩL = 20 mHC = 0.22 µF

V_L = V

9.直流モーターふつう

直流モーター（k = 0.8 N·m/A、R_a = 0.4 Ω）が 240 V で動作し、負荷トルク 16 N·m を駆動します。速度 n を rpm で求めなさい。

V = 240 Vk = 0.8 N·m/AR_a = 0.4 ΩT = 16 N·m

n = rpm

10.直流モーターむずかしい

固定の 120 V の電源で動作する直流モーター（k = 1.2 V·s/rad、R_a = 0.25 Ω）が、18 N·m の負荷を駆動しています。速度を 400 rpm まで下げる直列抵抗 R_s を求めなさい。

V = 120 Vk = 1.2 V·s/radR_a = 0.25 ΩT = 18 N·mn = 400 rpm

R_s = Ω

3溶液

1.三相電力

答え: I_L = 13.09 A

電気入力

P_in = P_out/η = 7.5/0.94 = 7.979 kW

線電流

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 7979/(√3·400·0.88) = 13.09 A

答え

I_L = 13.09 A

2.三相電力

答え: Q_C = 163.4 kvar

平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、V_L = √3·V_ph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、I_L = √3·I_ph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ。 力率改善：コンデンサは無効電力をその場で供給します：Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂)。3 個のコンデンサはそれぞれ Q_C/3 = V²·ω·C を供給します。V はそのコンデンサにかかる電圧で、Δ バンクでは V_L、Y バンクでは V_L/√3 です。

改善前後の無効電力

有効電力は変わらないので、それぞれの力率から無効電力が決まります：Q = P·tan φ。

Q₁ = 200·tan(acos 0.7) = 200·1.02 = 204 kvar

Q₂ = 200·tan(acos 0.98) = 200·0.2031 = 40.61 kvar

コンデンサが供給する無効電力

Q_C = Q₁ − Q₂ = 163.4 kvar

答え

Q_C = 163.4 kvar

3.変圧器

答え: R_1′ = 250 Ω

理想変圧器：電圧は巻数の比に、電流はその逆比になります：V₁/V₂ = N₁/N₂ = a、I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a。したがって入力電力と出力電力は等しく、V₁·I₁ = V₂·I₂ です。二次側の負荷インピーダンス Z は、一次側から見ると a²·Z に見えます。

換算抵抗

電圧は a 倍になり、電流は 1/a 倍になるので、比 V/I は a² 倍になります。

R_1′ = a²·R_L = 5²·10 = 250 Ω

答え

R_1′ = 250 Ω

4.変圧器

答え: P_loss = 368.8 W

変圧器の損失：鉄損（ヒステリシス損と渦電流損）は電圧で決まり、負荷によらず一定です。巻線の銅損は電流の 2 乗に比例するので、定格負荷の x 倍の負荷では x²·P_cu,fl になります。効率 η = P_out/(P_out + P_core + P_cu)、ただし P_out = x·S·pf です。効率は銅損と鉄損が等しくなる負荷で最大になります。

この負荷での銅損

P_cu = x²·P_cu,fl = 0.5625·300 = 168.8 W

全損失

鉄損は負荷によらず一定です。

P_loss = 200 + 168.8 = 368.8 W

答え

P_loss = 368.8 W

この負荷での効率は η = 98.98% です。

5.交流電力と力率

答え: X = 14.75 Ω

交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。

有効電力からの抵抗

R = P/I² = 1553/13.5² = 8.521 Ω

インピーダンスからのリアクタンス

|Z| = V/I = 230/13.5 = 17.04 Ω

X = √(|Z|² − R²) = √(17.04² − 8.521²) = 14.75 Ω

答え

X = 14.75 Ω

6.交流電力と力率

答え: C = 206 µF

改善前後の無効電力

有効電力 P は変わらず、電源から取る無効電力だけが変わります。

Q₁ = P·tan φ₁ = 5·tan(49.46°) = 5.846 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 5·tan(25.84°) = 2.422 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 3.424 kvar

静電容量

電源に並列につないだコンデンサは Q = V²·ωC を供給します。

C = Q_C/(2πf·V²) = 3424/(2π·50·230²) = 206 µF

答え

C = 206 µF

7.交流インピーダンスとフェーザ

答え: I = 0.0376 A

フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。

リアクタンス

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0.1 = 314.2 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·4.7·10⁻⁶) = 67.73 Ω

インピーダンス

直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(X_L − X_C)。

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(100² + (246.4)²) = 266 Ω

電流

直列回路ではすべての素子に同じ電流が流れます。

I = V/|Z| = 10/266 = 0.0376 A

答え

I = 0.0376 A

8.交流インピーダンスとフェーザ

答え: V_L = 20.1 V

共振

共振時にはリアクタンスが打ち消し合うので、インピーダンスは R だけです。

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.02·0.22·10⁻⁶) = 15076 rad/s

I = V/R = 1/15 = 0.06667 A

コイルの両端の電圧

X_L = ω₀L = 15076·0.02 = 301.5 Ω

V_L = I·X_L = 0.06667·301.5 = 20.1 V

答え

V_L = 20.1 V

これは電源電圧の Q = 20.1 倍です。

9.直流モーター

答え: n = 2769 rpm

直流モーター：電機子は、逆起電力 E と直列の抵抗 R_a と見なせるので、V = E + I_a·R_a です。逆起電力は速度に比例して E = k·ω、トルクは電流に比例して T = k·I_a となり、SI 単位では同じモーター定数 k (V·s/rad = N·m/A) を使います。速度は ω = 2π·n/60 で換算します。発生電力は E·I_a = T·ω です。入力電力は V·I_a で、その差は銅損 I_a²R_a と回転損です。速度はトルクに対して直線的に下がり、ω = V/k − R_a·T/k² です。無負荷速度 V/k から、拘束トルク k·V/R_a で 0 になります。停止時には E = 0 なので、抵抗で制限しないかぎり始動電流 V/R_a は大きくなります。

電機子電流

I_a = T/k = 16/0.8 = 20 A

逆起電力と速度

E = 240 − 20·0.4 = 232 V

ω = E/k = 290 rad/s → n = 2769 rpm

答え

n = 2769 rpm

10.直流モーター

答え: R_s = 4.399 Ω

電流と逆起電力

I_a = 18/1.2 = 15 A

E = 1.2·41.89 = 50.27 V

直列抵抗

R_a + R_s = (120 − 50.27)/15 = 4.649 Ω

R_s = 4.399 Ω

答え

R_s = 4.399 Ω

この抵抗器は 989.8 W を無駄にします。チョッパを使えば、ずっと少ない損失で速度を制御できます。

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