三相電力
- Y 結線
- VL = √3·Vph, IL = Iph
- Δ 結線
- VL = Vph, IL = √3·Iph
- 全有効電力
- P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
- 皮相電力と無効電力
- S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
- 力率改善用コンデンサ
- QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
- 各コンデンサにかかる電圧
- Δ：VL Y：VL/√3
- モーターの入力
- Pin = Pout/η
電力システムと電気機器：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
変圧器
- 巻数比
- a = N1/N2 = V1/V2
- 電流比
- I1/I2 = N2/N1 = 1/a
- 定格電流
- I = S/V
- 換算インピーダンス
- Z1′ = a²·ZL
- 部分負荷時の銅損
- Pcu = x²·Pcu,fl
- 効率
- η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
- 最大効率
- x = √(Pcore/Pcu,fl)
交流電力と力率
- 有効電力
- P = V·I·cos φ
- 無効電力
- Q = V·I·sin φ
- 皮相電力
- S = V·I = √(P² + Q²)
- 力率
- pf = cos φ = P/S
- 力率改善用コンデンサ
- QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
交流インピーダンスとフェーザ
- インピーダンス
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角周波数
- ω = 2πf
- 大きさと偏角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- フェーザ表示のオームの法則
- V = I·Z
解き方
- 周波数を換算します：ω = 2πf。
- 各リアクタンスを求めます：XL = ωL、XC = 1/(ωC)。
- インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
- 大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。
直流モーター
- 電機子回路
- V = E + IaRa
- 逆起電力とトルク
- E = k·ω, T = k·Ia
- 速さ
- ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
- 無負荷速度と拘束トルク
- ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
- 電力
- Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
- 始動
- Istart = V/(Ra + Rst)
- 速度変動率
- SR = (n0 − nFL)/nFL
- 最大発生電力
- Pmax = V²/(4Ra)
- チョッパ駆動
- Va = D·Vdc
解き方
- 電機子回路を描きます：電源 V、抵抗 Ra、逆起電力 E が直列につながります。
- 電圧、電流、逆起電力を結びつけるには V = E + Ia·Ra を使います。
- 速度には E = k·ω、トルクには T = k·Ia を使います。ω = 2π·n/60 です。
- 電力と効率では、V·Ia から始めて、銅損 Ia²·Ra を引き、次に回転損を引きます。
2演習問題
1.三相電力ふつう
三相誘導電動機が全負荷で 75 kW の機械出力を出している。この負荷での効率は 91%、力率は遅れ 0.84 である。電源の線間電圧は 690 V である。線電流 IL を求めよ。
Pout = 75 kWη = 91%cos φ = 0.84VL = 690 V
IL = A
2.三相電力むずかしい
平衡三相負荷が、690 V（線間）、60 Hz の電源から遅れ力率 0.8 で 120 kW を消費している。負荷と並列に三相コンデンサバンクを接続し、全体の力率を遅れ 0.98 に改善する。有効電力は変わらない。 コンデンサバンクが供給すべき全無効電力 QC を kvar で求めよ。
P = 120 kWpf1 = 0.8pf2 = 0.98VL = 690 Vf = 60 Hz
QC = kvar
3.変圧器ふつう
単相 500 kVA、6600/230 V の変圧器が定格負荷で運転している。理想変圧器とみなす。高圧巻線の電流 IHV を求めよ。
S = 500 kVAV1 = 6600 VV2 = 230 V
IHV = A
4.変圧器むずかしい
単相 150 kVA の変圧器の鉄損は 1200 W である。 定格負荷、遅れ力率 0.9 での効率は 97.5% である。全負荷銅損 Pcu,fl を W で求めよ。
S = 150 kVAPcore = 1200 Wpf = 0.9η = 97.5%
Pcu,fl = W
5.交流電力と力率ふつう
単相モーターが 400 V の電源から、遅れ力率 0.7 で 24 kW を消費する。 線電流 I を求めよ。
P = 24 kWpf = 0.7V = 400 V
I = A
6.交流電力と力率むずかしい
単相負荷が 400 V、60 Hz の電源から遅れ力率 0.75 で 45 kW を消費する。並列にコンデンサをつないで力率を 0.92 に改善する。 コンデンサが供給すべき無効電力 QC を求めよ。
P = 45 kWpf1 = 0.75pf2 = 0.92V = 400 Vf = 60 Hz
QC = kvar
7.交流インピーダンスとフェーザふつう
抵抗とコイルが並列に、120 V（実効値）、60 Hz の電源に接続されている。 電流の実効値 I を求めよ。
V = 120 V (rms)f = 60 HzR = 25 ΩL = 200 mH
I = A
8.交流インピーダンスとフェーザむずかしい
直列 RLC 回路の R = 1 Ω、L = 1 mH、C = 2.2 µF である。 共振時の Q 値（尖鋭度）Q を求めよ。
R = 1 ΩL = 1 mHC = 2.2 µF
Q =
9.直流モーターふつう
直流モーターが 1800 rpm で機械的な電力 0.75 kW を出力します。軸トルク T を求めなさい。
P = 0.75 kWn = 1800 rpm
T = N·m
10.直流モーターむずかしい
他励直流モーター（全界磁で k = 0.08 V·s/rad、Ra = 0.25 Ω、V = 24 V）が、一定の負荷トルク 0.4 N·m を駆動しています。界磁磁束を全磁束の 85 % に減らします。新しい速度 n を求めなさい。
V = 24 Vk = 0.08 V·s/radRa = 0.25 ΩT = 0.4 N·mΦ = 85 %
n = rpm
3溶液
1.三相電力
答え: IL = 82.1 A
平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、VL = √3·Vph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、IL = √3·Iph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。
電気入力
Pin = Pout/η = 75/0.91 = 82.42 kW
線電流
IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 82418/(√3·690·0.84) = 82.1 A
答え
IL = 82.1 A
2.三相電力
答え: QC = 65.63 kvar
平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、VL = √3·Vph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、IL = √3·Iph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 力率改善：コンデンサは無効電力をその場で供給します：QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。3 個のコンデンサはそれぞれ QC/3 = V²·ω·C を供給します。V はそのコンデンサにかかる電圧で、Δ バンクでは VL、Y バンクでは VL/√3 です。
改善前後の無効電力
有効電力は変わらないので、それぞれの力率から無効電力が決まります：Q = P·tan φ。
Q1 = 120·tan(acos 0.8) = 120·0.75 = 90 kvar
Q2 = 120·tan(acos 0.98) = 120·0.2031 = 24.37 kvar
コンデンサが供給する無効電力
QC = Q1 − Q2 = 65.63 kvar
答え
QC = 65.63 kvar
3.変圧器
答え: IHV = 75.76 A
理想変圧器：電圧は巻数の比に、電流はその逆比になります：V₁/V₂ = N₁/N₂ = a、I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a。したがって入力電力と出力電力は等しく、V₁·I₁ = V₂·I₂ です。二次側の負荷インピーダンス Z は、一次側から見ると a²·Z に見えます。
定格電流
両方の巻線に同じ皮相電力が流れます。
IHV = S/V = 500000/6600 = 75.76 A
答え
IHV = 75.76 A
4.変圧器
答え: Pcu,fl = 2262 W
変圧器の損失：鉄損（ヒステリシス損と渦電流損）は電圧で決まり、負荷によらず一定です。巻線の銅損は電流の 2 乗に比例するので、定格負荷の x 倍の負荷では x²·Pcu,fl になります。効率 η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu)、ただし Pout = x·S·pf です。効率は銅損と鉄損が等しくなる負荷で最大になります。
出力と入力
Pout = 150·0.9 = 135 kW
Pin = 135000/0.975 = 138462 W
全損失と銅損
Ploss = 138462 − 135000 = 3462 W
Pcu,fl = 3462 − 1200 = 2262 W
答え
Pcu,fl = 2262 W
5.交流電力と力率
答え: I = 85.71 A
交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。
線電流
仕事をするのは有効分だけなので、力率で割ります。
I = P/(V·cos φ) = 24000/(400·0.7) = 85.71 A
答え
I = 85.71 A
6.交流電力と力率
答え: QC = 20.52 kvar
交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。
改善前後の無効電力
有効電力 P は変わらず、電源から取る無効電力だけが変わります。
Q1 = P·tan φ1 = 45·tan(41.41°) = 39.69 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 45·tan(23.07°) = 19.17 kvar
QC = Q1 − Q2 = 20.52 kvar
答え
QC = 20.52 kvar
7.交流インピーダンスとフェーザ
答え: I = 5.057 A
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
リアクタンス
XL = ωL = 2π·60·0.2 = 75.4 Ω
枝電流
両方の枝は電源に直接接続されているので、どちらにも電圧 V 全体がかかります。
IR = V/R = 120/25 = 4.8 A
IX = V/XL = 120/75.4 = 1.592 A
全電流
抵抗の電流は V と同相で、リアクタンスの電流は 90° 位相がずれているので、直角三角形の辺のように合成されます。
I = √(IR² + IX²) = √(4.8² + 1.592²) = 5.057 A
答え
I = 5.057 A
8.交流インピーダンスとフェーザ
答え: Q = 21.32
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
共振周波数
f0 = 1/(2π·√(0.001·2.2·10⁻⁶)) = 3393 Hz
Q 値
Q は共振時のリアクタンスを抵抗と比べたものです：Q = ω₀L/R。
Q = (1/R)·√(L/C) = (1/1)·√(0.001/(2.2·10⁻⁶)) = 21.32
答え
Q = 21.32
9.直流モーター
答え: T = 3.979 N·m
直流モーター：電機子は、逆起電力 E と直列の抵抗 Ra と見なせるので、V = E + Ia·Ra です。逆起電力は速度に比例して E = k·ω、トルクは電流に比例して T = k·Ia となり、SI 単位では同じモーター定数 k (V·s/rad = N·m/A) を使います。速度は ω = 2π·n/60 で換算します。発生電力は E·Ia = T·ω です。入力電力は V·Ia で、その差は銅損 Ia²Ra と回転損です。速度はトルクに対して直線的に下がり、ω = V/k − Ra·T/k² です。無負荷速度 V/k から、拘束トルク k·V/Ra で 0 になります。停止時には E = 0 なので、抵抗で制限しないかぎり始動電流 V/Ra は大きくなります。
rad/s での角速度
ω = 2π·1800/60 = 188.5 rad/s
トルク
T = P/ω = 750/188.5 = 3.979 N·m
答え
T = 3.979 N·m
10.直流モーター
答え: n = 3164 rpm
直流モーター：電機子は、逆起電力 E と直列の抵抗 Ra と見なせるので、V = E + Ia·Ra です。逆起電力は速度に比例して E = k·ω、トルクは電流に比例して T = k·Ia となり、SI 単位では同じモーター定数 k (V·s/rad = N·m/A) を使います。速度は ω = 2π·n/60 で換算します。発生電力は E·Ia = T·ω です。入力電力は V·Ia で、その差は銅損 Ia²Ra と回転損です。速度はトルクに対して直線的に下がり、ω = V/k − Ra·T/k² です。無負荷速度 V/k から、拘束トルク k·V/Ra で 0 になります。停止時には E = 0 なので、抵抗で制限しないかぎり始動電流 V/Ra は大きくなります。
弱めたあとのモーター定数
k₂ = 0.85·0.08 = 0.068 V·s/rad
新しい電機子電流
Ia = 0.4/0.068 = 5.882 A
新しい速度
ω = (24 − 5.882·0.25)/0.068 = 331.3 rad/s → n = 3164 rpm
答え
n = 3164 rpm
界磁弱めは、直流ドライブが基底速度より高い速度で運転する方法です。
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