三相電力
- Y 結線
- VL = √3·Vph, IL = Iph
- Δ 結線
- VL = Vph, IL = √3·Iph
- 全有効電力
- P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
- 皮相電力と無効電力
- S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
- 力率改善用コンデンサ
- QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
- 各コンデンサにかかる電圧
- Δ：VL Y：VL/√3
- モーターの入力
- Pin = Pout/η
電力システムと電気機器：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
変圧器
- 巻数比
- a = N1/N2 = V1/V2
- 電流比
- I1/I2 = N2/N1 = 1/a
- 定格電流
- I = S/V
- 換算インピーダンス
- Z1′ = a²·ZL
- 部分負荷時の銅損
- Pcu = x²·Pcu,fl
- 効率
- η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
- 最大効率
- x = √(Pcore/Pcu,fl)
交流電力と力率
- 有効電力
- P = V·I·cos φ
- 無効電力
- Q = V·I·sin φ
- 皮相電力
- S = V·I = √(P² + Q²)
- 力率
- pf = cos φ = P/S
- 力率改善用コンデンサ
- QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
交流インピーダンスとフェーザ
- インピーダンス
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角周波数
- ω = 2πf
- 大きさと偏角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- フェーザ表示のオームの法則
- V = I·Z
解き方
- 周波数を換算します：ω = 2πf。
- 各リアクタンスを求めます：XL = ωL、XC = 1/(ωC)。
- インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
- 大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。
直流モーター
- 電機子回路
- V = E + IaRa
- 逆起電力とトルク
- E = k·ω, T = k·Ia
- 速さ
- ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
- 無負荷速度と拘束トルク
- ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
- 電力
- Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
- 始動
- Istart = V/(Ra + Rst)
- 速度変動率
- SR = (n0 − nFL)/nFL
- 最大発生電力
- Pmax = V²/(4Ra)
- チョッパ駆動
- Va = D·Vdc
解き方
- 電機子回路を描きます：電源 V、抵抗 Ra、逆起電力 E が直列につながります。
- 電圧、電流、逆起電力を結びつけるには V = E + Ia·Ra を使います。
- 速度には E = k·ω、トルクには T = k·Ia を使います。ω = 2π·n/60 です。
- 電力と効率では、V·Ia から始めて、銅損 Ia²·Ra を引き、次に回転損を引きます。
2演習問題
1.三相電力ふつう
三相誘導電動機が全負荷で 30 kW の機械出力を出している。この負荷での効率は 90%、力率は遅れ 0.82 である。電源の線間電圧は 480 V である。線電流 IL を求めよ。
Pout = 30 kWη = 90%cos φ = 0.82VL = 480 V
IL = A
2.三相電力むずかしい
平衡三相負荷が、400 V（線間）、60 Hz の電源から遅れ力率 0.78 で 150 kW を消費している。負荷と並列に三相コンデンサバンクを接続し、全体の力率を遅れ 0.98 に改善する。有効電力は変わらない。 コンデンサは Δ 結線である。各コンデンサの静電容量 Cph を µF で求めよ。
P = 150 kWpf1 = 0.78pf2 = 0.98VL = 400 Vf = 60 Hz
Cph = µF
3.変圧器ふつう
単相 10 kVA、4800/240 V の変圧器が定格負荷で運転している。理想変圧器とみなす。低圧巻線の電流 ILV を求めよ。
S = 10 kVAV1 = 4800 VV2 = 240 V
ILV = A
4.変圧器むずかしい
単相 150 kVA の変圧器の鉄損は 900 W、定格負荷での銅損は 1350 W である。 この変圧器が定格 kVA の 25% を遅れ力率 0.95 で供給している。この負荷での全損失 Ploss を W で求めよ。
S = 150 kVAPcore = 900 WPcu,fl = 1350 Wx = 0.25pf = 0.95
Ploss = W
5.交流電力と力率ふつう
単相モーターが 230 V の電源から、遅れ力率 0.6 で 2 kW を消費する。 モーターの無効電力 Q を求めよ。
P = 2 kWpf = 0.6V = 230 V
Q = kvar
6.交流電力と力率むずかしい
150 kVA の単相変圧器が、遅れ力率 0.85 で 95 kW の負荷に電力を供給している。変圧器が kVA 定格に達するまでに、抵抗負荷（力率 1）としてあとどれだけの有効電力 ΔP を追加できるか。
Smax = 150 kVAP1 = 95 kWpf1 = 0.85
ΔP = kW
7.交流インピーダンスとフェーザふつう
抵抗とコンデンサが並列に、24 V（実効値）、60 Hz の電源に接続されている。 インピーダンスの大きさ |Z| を求めよ。
V = 24 V (rms)f = 60 HzR = 100 ΩC = 10 µF
|Z| = Ω
8.交流インピーダンスとフェーザむずかしい
抵抗 R1 が、R2 とコンデンサ C の並列回路と直列に接続され、100 V（実効値）、50 Hz の電源に接続されている。 インピーダンスの大きさ |Z| を求めよ。
V = 100 V (rms)f = 50 HzR1 = 15 ΩR2 = 80 ΩC = 10 µF
|Z| = Ω
9.直流モーターふつう
直流モーター（k = 0.6 V·s/rad、Ra = 0.2 Ω）が 240 V で動作します。全負荷時に 40 A が流れます。無負荷電流を無視して、速度変動率 SR = (n₀ − nFL)/nFL を百分率で求めなさい。
V = 240 Vk = 0.6 V·s/radRa = 0.2 ΩIFL = 40 A
SR = %
10.直流モーターむずかしい
直流チョッパが、110 V の直流母線からモーター（k = 1.2 V·s/rad、Ra = 0.2 Ω）に給電します。電機子の平均電圧は D·110 V です。負荷 48 N·m で 300 rpm の運転となるデューティ比 D を求めなさい。
Vdc = 110 Vk = 1.2 V·s/radRa = 0.2 ΩT = 48 N·mn = 300 rpm
D = %
3溶液
1.三相電力
答え: IL = 48.89 A
平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、VL = √3·Vph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、IL = √3·Iph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。
電気入力
Pin = Pout/η = 30/0.9 = 33.33 kW
線電流
IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 33333/(√3·480·0.82) = 48.89 A
答え
IL = 48.89 A
2.三相電力
答え: Cph = 496.7 µF
平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、VL = √3·Vph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、IL = √3·Iph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 力率改善：コンデンサは無効電力をその場で供給します：QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。3 個のコンデンサはそれぞれ QC/3 = V²·ω·C を供給します。V はそのコンデンサにかかる電圧で、Δ バンクでは VL、Y バンクでは VL/√3 です。
改善前後の無効電力
有効電力は変わらないので、それぞれの力率から無効電力が決まります：Q = P·tan φ。
Q1 = 150·tan(acos 0.78) = 150·0.8023 = 120.3 kvar
Q2 = 150·tan(acos 0.98) = 150·0.2031 = 30.46 kvar
コンデンサが供給する無効電力
QC = Q1 − Q2 = 89.88 kvar
1 相あたりの静電容量
Δ バンクでは、各コンデンサは 2 本の線の間に接続されています。
V = 400 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 29961/(377·400²) = 496.7 µF
答え
Cph = 496.7 µF
3.変圧器
答え: ILV = 41.67 A
理想変圧器：電圧は巻数の比に、電流はその逆比になります：V₁/V₂ = N₁/N₂ = a、I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a。したがって入力電力と出力電力は等しく、V₁·I₁ = V₂·I₂ です。二次側の負荷インピーダンス Z は、一次側から見ると a²·Z に見えます。
定格電流
両方の巻線に同じ皮相電力が流れます。
ILV = S/V = 10000/240 = 41.67 A
答え
ILV = 41.67 A
4.変圧器
答え: Ploss = 984.4 W
変圧器の損失：鉄損（ヒステリシス損と渦電流損）は電圧で決まり、負荷によらず一定です。巻線の銅損は電流の 2 乗に比例するので、定格負荷の x 倍の負荷では x²·Pcu,fl になります。効率 η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu)、ただし Pout = x·S·pf です。効率は銅損と鉄損が等しくなる負荷で最大になります。
この負荷での銅損
Pcu = x²·Pcu,fl = 0.0625·1350 = 84.38 W
全損失
鉄損は負荷によらず一定です。
Ploss = 900 + 84.38 = 984.4 W
答え
Ploss = 984.4 W
この負荷での効率は η = 97.31% です。
5.交流電力と力率
答え: Q = 2.667 kvar
交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。
位相角
φ = arccos(0.6) = 53.13°, tan φ = 1.333
無効電力
Q = P·tan φ = 2·1.333 = 2.667 kvar
答え
Q = 2.667 kvar
6.交流電力と力率
答え: ΔP = 42.96 kW
交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。
既存の負荷の無効電力
Q1 = 95·tan(arccos 0.85) = 58.88 kvar
最大の全有効電力
定格いっぱいでは S = Smax で、Q は抵抗負荷によって変わりません。
P = √(Smax² − Q1²) = √(150² − 58.88²) = 138 kW
追加できる有効電力
ΔP = 138 − 95 = 42.96 kW
答え
ΔP = 42.96 kW
7.交流インピーダンスとフェーザ
答え: |Z| = 93.57 Ω
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
リアクタンス
XC = 1/(ωC) = 1/(2π·60·10·10⁻⁶) = 265.3 Ω
枝電流
両方の枝は電源に直接接続されているので、どちらにも電圧 V 全体がかかります。
IR = V/R = 24/100 = 0.24 A
IX = V/XC = 24/265.3 = 0.09048 A
全電流
抵抗の電流は V と同相で、リアクタンスの電流は 90° 位相がずれているので、直角三角形の辺のように合成されます。
I = √(IR² + IX²) = √(0.24² + 0.09048²) = 0.2565 A
インピーダンス
|Z| = V/I = 24/0.2565 = 93.57 Ω
答え
|Z| = 93.57 Ω
8.交流インピーダンスとフェーザ
答え: |Z| = 92.21 Ω
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
リアクタンス
XC = 1/(2π·50·10·10⁻⁶) = 318.3 Ω
並列回路
分子と分母に共役複素数を掛けて、Zp を実部と虚部に分けます。
Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 75.25 − j18.91 Ω
合成インピーダンス
Z = 15 + 75.25 − j18.91 = 90.25 − j18.91 Ω
|Z| = √(90.25² + 18.91²) = 92.21 Ω
答え
|Z| = 92.21 Ω
9.直流モーター
答え: SR = 3.448 %
直流モーター：電機子は、逆起電力 E と直列の抵抗 Ra と見なせるので、V = E + Ia·Ra です。逆起電力は速度に比例して E = k·ω、トルクは電流に比例して T = k·Ia となり、SI 単位では同じモーター定数 k (V·s/rad = N·m/A) を使います。速度は ω = 2π·n/60 で換算します。発生電力は E·Ia = T·ω です。入力電力は V·Ia で、その差は銅損 Ia²Ra と回転損です。速度はトルクに対して直線的に下がり、ω = V/k − Ra·T/k² です。無負荷速度 V/k から、拘束トルク k·V/Ra で 0 になります。停止時には E = 0 なので、抵抗で制限しないかぎり始動電流 V/Ra は大きくなります。
無負荷速度と全負荷速度
n₀ = 60·240/(2π·0.6) = 3820 rpm
nFL = 60·(240 − 40·0.2)/(2π·0.6) = 3692 rpm
速度変動率
SR = (3820 − 3692)/3692·100 = 3.448 %
答え
SR = 3.448 %
10.直流モーター
答え: D = 41.54 %
直流モーター：電機子は、逆起電力 E と直列の抵抗 Ra と見なせるので、V = E + Ia·Ra です。逆起電力は速度に比例して E = k·ω、トルクは電流に比例して T = k·Ia となり、SI 単位では同じモーター定数 k (V·s/rad = N·m/A) を使います。速度は ω = 2π·n/60 で換算します。発生電力は E·Ia = T·ω です。入力電力は V·Ia で、その差は銅損 Ia²Ra と回転損です。速度はトルクに対して直線的に下がり、ω = V/k − Ra·T/k² です。無負荷速度 V/k から、拘束トルク k·V/Ra で 0 になります。停止時には E = 0 なので、抵抗で制限しないかぎり始動電流 V/Ra は大きくなります。
必要な電機子電圧
Va = 1.2·31.42 + 40·0.2 = 45.7 V
デューティ比
D = 45.7/110 = 41.54 %
答え
D = 41.54 %
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