電力システムと電気機器：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

三相電力

Y 結線: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Δ 結線: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
全有効電力: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
皮相電力と無効電力: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
力率改善用コンデンサ: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
各コンデンサにかかる電圧: Δ：V_L Y：V_L/√3
モーターの入力: P_in = P_out/η

変圧器

巻数比: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
電流比: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
定格電流: I = S/V
換算インピーダンス: Z₁′ = a²·Z_L
部分負荷時の銅損: P_cu = x²·P_cu,fl
効率: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
最大効率: x = √(P_core/P_cu,fl)

交流電力と力率

有効電力: P = V·I·cos φ
無効電力: Q = V·I·sin φ
皮相電力: S = V·I = √(P² + Q²)
力率: pf = cos φ = P/S
力率改善用コンデンサ: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

交流インピーダンスとフェーザ

インピーダンス: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角周波数: ω = 2πf
大きさと偏角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
フェーザ表示のオームの法則: V = I·Z

解き方

周波数を換算します：ω = 2πf。
各リアクタンスを求めます：X_L = ωL、X_C = 1/(ωC)。
インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。

直流モーター

電機子回路: V = E + I_aR_a
逆起電力とトルク: E = k·ω, T = k·I_a
速さ: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
無負荷速度と拘束トルク: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
電力: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
始動: I_start = V/(R_a + R_st)
速度変動率: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
最大発生電力: P_max = V²/(4R_a)
チョッパ駆動: V_a = D·V_dc

解き方

電機子回路を描きます：電源 V、抵抗 R_a、逆起電力 E が直列につながります。
電圧、電流、逆起電力を結びつけるには V = E + I_a·R_a を使います。
速度には E = k·ω、トルクには T = k·I_a を使います。ω = 2π·n/60 です。
電力と効率では、V·I_a から始めて、銅損 I_a²·R_a を引き、次に回転損を引きます。

2演習問題

1.三相電力ふつう

三相誘導電動機が全負荷で 55 kW の機械出力を出している。この負荷での効率は 95%、力率は遅れ 0.86 である。電源の線間電圧は 480 V である。線電流 I_L を求めよ。

P_out = 55 kWη = 95%cos φ = 0.86V_L = 480 V

I_L = A

2.三相電力むずかしい

平衡三相負荷が、400 V（線間）、60 Hz の電源から遅れ力率 0.7 で 300 kW を消費している。負荷と並列に三相コンデンサバンクを接続し、全体の力率を遅れ 0.98 に改善する。有効電力は変わらない。コンデンサバンクが供給すべき全無効電力 Q_C を kvar で求めよ。

P = 300 kWpf₁ = 0.7pf₂ = 0.98V_L = 400 Vf = 60 Hz

Q_C = kvar

3.変圧器ふつう

巻数比 N₁:N₂ = 10:1 の理想変圧器の二次巻線に 50 Ω の抵抗を接続する。一次巻線から見た抵抗 R_1′ を求めよ。

N₁:N₂ = 10:1R_L = 50 Ω

R_1′ = Ω

4.変圧器むずかしい

単相 50 kVA の変圧器の鉄損は 300 W、定格負荷での銅損は 1200 W である。効率が最大になる負荷 S_η,max を kVA で求めよ。

S = 50 kVAP_core = 300 WP_cu,fl = 1200 W

S_η,max = kVA

5.交流電力と力率ふつう

2 つの負荷が 240 V の単相電源に並列に接続されている：遅れ力率 0.85 の 13 kW の負荷と、遅れ力率 0.8 の 22 kW の負荷。電源から流れる全電流 I を求めよ。

V = 240 VP₁ = 13 kW, pf₁ = 0.85 遅れP₂ = 22 kW, pf₂ = 0.8 遅れ

I = A

6.交流電力と力率むずかしい

25 kVA の単相変圧器が、遅れ力率 0.8 で 13 kW の負荷に電力を供給している。変圧器が kVA 定格に達するまでに、抵抗負荷（力率 1）としてあとどれだけの有効電力 ΔP を追加できるか。

S_max = 25 kVAP₁ = 13 kWpf₁ = 0.8

ΔP = kW

7.交流インピーダンスとフェーザふつう

抵抗とコイルが並列に、12 V（実効値）、100 Hz の電源に接続されている。電流の実効値 I を求めよ。

V = 12 V (rms)f = 100 HzR = 60 ΩL = 20 mH

I = A

8.交流インピーダンスとフェーザむずかしい

直列 RLC 回路の R = 20 Ω、L = 200 mH、C = 10 µF である。共振時の Q 値（尖鋭度）Q を求めよ。

R = 20 ΩL = 200 mHC = 10 µF

Q =

9.直流モーターふつう

直流モーター（k = 1.5 N·m/A、R_a = 2 Ω）が 240 V で動作し、負荷トルク 15 N·m を駆動します。速度 n を rpm で求めなさい。

V = 240 Vk = 1.5 N·m/AR_a = 2 ΩT = 15 N·m

n = rpm

10.直流モーターむずかしい

固定の 240 V の電源で動作する直流モーター（k = 0.8 V·s/rad、R_a = 1 Ω）が、6.4 N·m の負荷を駆動しています。速度を 1000 rpm まで下げる直列抵抗 R_s を求めなさい。

V = 240 Vk = 0.8 V·s/radR_a = 1 ΩT = 6.4 N·mn = 1000 rpm

R_s = Ω

3溶液

1.三相電力

答え: I_L = 80.97 A

電気入力

P_in = P_out/η = 55/0.95 = 57.89 kW

線電流

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 57895/(√3·480·0.86) = 80.97 A

答え

I_L = 80.97 A

2.三相電力

答え: Q_C = 245.1 kvar

平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、V_L = √3·V_ph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、I_L = √3·I_ph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ。 力率改善：コンデンサは無効電力をその場で供給します：Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂)。3 個のコンデンサはそれぞれ Q_C/3 = V²·ω·C を供給します。V はそのコンデンサにかかる電圧で、Δ バンクでは V_L、Y バンクでは V_L/√3 です。

改善前後の無効電力

有効電力は変わらないので、それぞれの力率から無効電力が決まります：Q = P·tan φ。

Q₁ = 300·tan(acos 0.7) = 300·1.02 = 306.1 kvar

Q₂ = 300·tan(acos 0.98) = 300·0.2031 = 60.92 kvar

コンデンサが供給する無効電力

Q_C = Q₁ − Q₂ = 245.1 kvar

答え

Q_C = 245.1 kvar

3.変圧器

答え: R_1′ = 5000 Ω

理想変圧器：電圧は巻数の比に、電流はその逆比になります：V₁/V₂ = N₁/N₂ = a、I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a。したがって入力電力と出力電力は等しく、V₁·I₁ = V₂·I₂ です。二次側の負荷インピーダンス Z は、一次側から見ると a²·Z に見えます。

換算抵抗

電圧は a 倍になり、電流は 1/a 倍になるので、比 V/I は a² 倍になります。

R_1′ = a²·R_L = 10²·50 = 5000 Ω

答え

R_1′ = 5000 Ω

4.変圧器

答え: S_η,max = 25 kVA

変圧器の損失：鉄損（ヒステリシス損と渦電流損）は電圧で決まり、負荷によらず一定です。巻線の銅損は電流の 2 乗に比例するので、定格負荷の x 倍の負荷では x²·P_cu,fl になります。効率 η = P_out/(P_out + P_core + P_cu)、ただし P_out = x·S·pf です。効率は銅損と鉄損が等しくなる負荷で最大になります。

銅損 = 鉄損

x²·1200 = 300 → x = √(300/1200) = 0.5

最大効率となる負荷

S_η,max = x·S = 0.5·50 = 25 kVA

答え

S_η,max = 25 kVA

5.交流電力と力率

答え: I = 178.1 A

交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。

各負荷の無効電力

遅れ負荷は無効電力を消費し（Q > 0）、進み負荷は無効電力を供給します（Q < 0）。

Q₁ = 13·tan(arccos 0.85) = 8.057 kvar

Q₂ = 22·tan(arccos 0.8) = 16.5 kvar

合計

P = 13 + 22 = 35 kW

Q = 8.057 + 16.5 = 24.56 kvar

S = √(35² + 24.56²) = 42.76 kVA

全電流

I = S/V = 42755/240 = 178.1 A

答え

I = 178.1 A

6.交流電力と力率

答え: ΔP = 10.02 kW

既存の負荷の無効電力

Q₁ = 13·tan(arccos 0.8) = 9.75 kvar

最大の全有効電力

定格いっぱいでは S = S_max で、Q は抵抗負荷によって変わりません。

P = √(S_max² − Q₁²) = √(25² − 9.75²) = 23.02 kW

追加できる有効電力

ΔP = 23.02 − 13 = 10.02 kW

答え

ΔP = 10.02 kW

7.交流インピーダンスとフェーザ

答え: I = 0.9756 A

フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。

リアクタンス

X_L = ωL = 2π·100·0.02 = 12.57 Ω

枝電流

両方の枝は電源に直接接続されているので、どちらにも電圧 V 全体がかかります。

I_R = V/R = 12/60 = 0.2 A

I_X = V/X_L = 12/12.57 = 0.9549 A

全電流

抵抗の電流は V と同相で、リアクタンスの電流は 90° 位相がずれているので、直角三角形の辺のように合成されます。

I = √(I_R² + I_X²) = √(0.2² + 0.9549²) = 0.9756 A

答え

I = 0.9756 A

8.交流インピーダンスとフェーザ

答え: Q = 7.071

共振周波数

f₀ = 1/(2π·√(0.2·10·10⁻⁶)) = 112.5 Hz

Q 値

Q は共振時のリアクタンスを抵抗と比べたものです：Q = ω₀L/R。

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/20)·√(0.2/(10·10⁻⁶)) = 7.071

答え

Q = 7.071

9.直流モーター

答え: n = 1401 rpm

直流モーター：電機子は、逆起電力 E と直列の抵抗 R_a と見なせるので、V = E + I_a·R_a です。逆起電力は速度に比例して E = k·ω、トルクは電流に比例して T = k·I_a となり、SI 単位では同じモーター定数 k (V·s/rad = N·m/A) を使います。速度は ω = 2π·n/60 で換算します。発生電力は E·I_a = T·ω です。入力電力は V·I_a で、その差は銅損 I_a²R_a と回転損です。速度はトルクに対して直線的に下がり、ω = V/k − R_a·T/k² です。無負荷速度 V/k から、拘束トルク k·V/R_a で 0 になります。停止時には E = 0 なので、抵抗で制限しないかぎり始動電流 V/R_a は大きくなります。

電機子電流

I_a = T/k = 15/1.5 = 10 A

逆起電力と速度

E = 240 − 10·2 = 220 V

ω = E/k = 146.7 rad/s → n = 1401 rpm

答え

n = 1401 rpm

10.直流モーター

答え: R_s = 18.53 Ω

電流と逆起電力

I_a = 6.4/0.8 = 8 A

E = 0.8·104.7 = 83.78 V

直列抵抗

R_a + R_s = (240 − 83.78)/8 = 19.53 Ω

R_s = 18.53 Ω

答え

R_s = 18.53 Ω

この抵抗器は 1186 W を無駄にします。チョッパを使えば、ずっと少ない損失で速度を制御できます。

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