三相電力
- Y 結線
- VL = √3·Vph, IL = Iph
- Δ 結線
- VL = Vph, IL = √3·Iph
- 全有効電力
- P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
- 皮相電力と無効電力
- S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
- 力率改善用コンデンサ
- QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
- 各コンデンサにかかる電圧
- Δ：VL Y：VL/√3
- モーターの入力
- Pin = Pout/η
電力システムと電気機器：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
変圧器
- 巻数比
- a = N1/N2 = V1/V2
- 電流比
- I1/I2 = N2/N1 = 1/a
- 定格電流
- I = S/V
- 換算インピーダンス
- Z1′ = a²·ZL
- 部分負荷時の銅損
- Pcu = x²·Pcu,fl
- 効率
- η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
- 最大効率
- x = √(Pcore/Pcu,fl)
交流電力と力率
- 有効電力
- P = V·I·cos φ
- 無効電力
- Q = V·I·sin φ
- 皮相電力
- S = V·I = √(P² + Q²)
- 力率
- pf = cos φ = P/S
- 力率改善用コンデンサ
- QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
交流インピーダンスとフェーザ
- インピーダンス
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角周波数
- ω = 2πf
- 大きさと偏角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- フェーザ表示のオームの法則
- V = I·Z
解き方
- 周波数を換算します：ω = 2πf。
- 各リアクタンスを求めます：XL = ωL、XC = 1/(ωC)。
- インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
- 大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。
直流モーター
- 電機子回路
- V = E + IaRa
- 逆起電力とトルク
- E = k·ω, T = k·Ia
- 速さ
- ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
- 無負荷速度と拘束トルク
- ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
- 電力
- Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
- 始動
- Istart = V/(Ra + Rst)
- 速度変動率
- SR = (n0 − nFL)/nFL
- 最大発生電力
- Pmax = V²/(4Ra)
- チョッパ駆動
- Va = D·Vdc
解き方
- 電機子回路を描きます：電源 V、抵抗 Ra、逆起電力 E が直列につながります。
- 電圧、電流、逆起電力を結びつけるには V = E + Ia·Ra を使います。
- 速度には E = k·ω、トルクには T = k·Ia を使います。ω = 2π·n/60 です。
- 電力と効率では、V·Ia から始めて、銅損 Ia²·Ra を引き、次に回転損を引きます。
2演習問題
1.三相電力ふつう
三相誘導電動機が全負荷で 55 kW の機械出力を出している。この負荷での効率は 92%、力率は遅れ 0.82 である。電源の線間電圧は 415 V である。線電流 IL を求めよ。
Pout = 55 kWη = 92%cos φ = 0.82VL = 415 V
IL = A
2.三相電力むずかしい
平衡三相負荷が、400 V（線間）、60 Hz の電源から遅れ力率 0.8 で 60 kW を消費している。負荷と並列に三相コンデンサバンクを接続し、全体の力率を遅れ 0.92 に改善する。有効電力は変わらない。 コンデンサバンクが供給すべき全無効電力 QC を kvar で求めよ。
P = 60 kWpf1 = 0.8pf2 = 0.92VL = 400 Vf = 60 Hz
QC = kvar
3.変圧器ふつう
単相 250 kVA、4800/240 V の変圧器が定格負荷で運転している。理想変圧器とみなす。高圧巻線の電流 IHV を求めよ。
S = 250 kVAV1 = 4800 VV2 = 240 V
IHV = A
4.変圧器むずかしい
単相 250 kVA の変圧器の鉄損は 2000 W、定格負荷での銅損は 5000 W である。 効率が最大になる負荷 Sη,max を kVA で求めよ。
S = 250 kVAPcore = 2000 WPcu,fl = 5000 W
Sη,max = kVA
5.交流電力と力率ふつう
2 つの負荷が 400 V の単相電源に並列に接続されている：遅れ力率 0.7 の 9 kW の負荷と、進み力率 0.95 の 19 kW の負荷。 電源から見た全体の力率 cos φ を求めよ。
V = 400 VP1 = 9 kW, pf1 = 0.7 遅れP2 = 19 kW, pf2 = 0.95 進み
cos φ =
6.交流電力と力率むずかしい
200 kVA の単相変圧器が、遅れ力率 0.85 で 63 kW の負荷に電力を供給している。変圧器が kVA 定格に達するまでに、抵抗負荷（力率 1）としてあとどれだけの有効電力 ΔP を追加できるか。
Smax = 200 kVAP1 = 63 kWpf1 = 0.85
ΔP = kW
7.交流インピーダンスとフェーザふつう
C = 0.47 µF の直列 RLC 回路を 2000 Hz で共振させなければならない。必要なインダクタンス L を求めよ。
f0 = 2000 HzC = 0.47 µF
L = mH
8.交流インピーダンスとフェーザむずかしい
直列 RLC 回路を 24 V（実効値）、100 Hz の電源に接続する。 回路の共振周波数 f0 を求めよ。
V = 24 V (rms)f = 100 HzR = 15 ΩL = 50 mHC = 22 µF
f0 = Hz
9.直流モーターふつう
k = 1 N·m/A、Ra = 0.5 Ω の直流モーターを 220 V につなぎます。速度 0 でのトルク、すなわち拘束トルク Tstall を求めなさい。
V = 220 Vk = 1 N·m/ARa = 0.5 Ω
Tstall = N·m
10.直流モーターむずかしい
120 V の直流モーターの電機子抵抗は 0.4 Ω です。始動電流を 80 A に制限する直列の始動抵抗 Rst を求めなさい。
V = 120 VRa = 0.4 ΩImax = 80 A
Rst = Ω
3溶液
1.三相電力
答え: IL = 101.4 A
平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、VL = √3·Vph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、IL = √3·Iph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。
電気入力
Pin = Pout/η = 55/0.92 = 59.78 kW
線電流
IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 59783/(√3·415·0.82) = 101.4 A
答え
IL = 101.4 A
2.三相電力
答え: QC = 19.44 kvar
平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、VL = √3·Vph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、IL = √3·Iph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 力率改善：コンデンサは無効電力をその場で供給します：QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。3 個のコンデンサはそれぞれ QC/3 = V²·ω·C を供給します。V はそのコンデンサにかかる電圧で、Δ バンクでは VL、Y バンクでは VL/√3 です。
改善前後の無効電力
有効電力は変わらないので、それぞれの力率から無効電力が決まります：Q = P·tan φ。
Q1 = 60·tan(acos 0.8) = 60·0.75 = 45 kvar
Q2 = 60·tan(acos 0.92) = 60·0.426 = 25.56 kvar
コンデンサが供給する無効電力
QC = Q1 − Q2 = 19.44 kvar
答え
QC = 19.44 kvar
3.変圧器
答え: IHV = 52.08 A
理想変圧器：電圧は巻数の比に、電流はその逆比になります：V₁/V₂ = N₁/N₂ = a、I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a。したがって入力電力と出力電力は等しく、V₁·I₁ = V₂·I₂ です。二次側の負荷インピーダンス Z は、一次側から見ると a²·Z に見えます。
定格電流
両方の巻線に同じ皮相電力が流れます。
IHV = S/V = 250000/4800 = 52.08 A
答え
IHV = 52.08 A
4.変圧器
答え: Sη,max = 158.1 kVA
変圧器の損失：鉄損（ヒステリシス損と渦電流損）は電圧で決まり、負荷によらず一定です。巻線の銅損は電流の 2 乗に比例するので、定格負荷の x 倍の負荷では x²·Pcu,fl になります。効率 η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu)、ただし Pout = x·S·pf です。効率は銅損と鉄損が等しくなる負荷で最大になります。
銅損 = 鉄損
x²·5000 = 2000 → x = √(2000/5000) = 0.6325
最大効率となる負荷
Sη,max = x·S = 0.6325·250 = 158.1 kVA
答え
Sη,max = 158.1 kVA
5.交流電力と力率
答え: cos φ = 0.9945
交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。
各負荷の無効電力
遅れ負荷は無効電力を消費し（Q > 0）、進み負荷は無効電力を供給します（Q < 0）。
Q1 = 9·tan(arccos 0.7) = 9.182 kvar
Q2 = −19·tan(arccos 0.95) = −6.245 kvar
合計
P = 9 + 19 = 28 kW
Q = 9.182 + (−6.245) = 2.937 kvar
S = √(28² + 2.937²) = 28.15 kVA
全体の力率
cos φ = P/S = 28/28.15 = 0.9945 遅れ
答え
cos φ = 0.9945
6.交流電力と力率
答え: ΔP = 133.2 kW
交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。
既存の負荷の無効電力
Q1 = 63·tan(arccos 0.85) = 39.04 kvar
最大の全有効電力
定格いっぱいでは S = Smax で、Q は抵抗負荷によって変わりません。
P = √(Smax² − Q1²) = √(200² − 39.04²) = 196.2 kW
追加できる有効電力
ΔP = 196.2 − 63 = 133.2 kW
答え
ΔP = 133.2 kW
7.交流インピーダンスとフェーザ
答え: L = 13.47 mH
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
共振条件
共振時には誘導性リアクタンスと容量性リアクタンスが打ち消し合います：ωL = 1/(ωC)。
ω₀ = 2π·2000 = 12566 rad/s
L = 1/(ω₀²·C) = 1/(12566²·0.47·10⁻⁶) = 13.47 mH
答え
L = 13.47 mH
8.交流インピーダンスとフェーザ
答え: f0 = 151.7 Hz
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
共振
共振時には誘導性リアクタンスと容量性リアクタンスが打ち消し合います：ωL = 1/(ωC)。電源周波数は関係ありません。
f0 = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0.05·22·10⁻⁶)) = 151.7 Hz
答え
f0 = 151.7 Hz
9.直流モーター
答え: Tstall = 440 N·m
直流モーター：電機子は、逆起電力 E と直列の抵抗 Ra と見なせるので、V = E + Ia·Ra です。逆起電力は速度に比例して E = k·ω、トルクは電流に比例して T = k·Ia となり、SI 単位では同じモーター定数 k (V·s/rad = N·m/A) を使います。速度は ω = 2π·n/60 で換算します。発生電力は E·Ia = T·ω です。入力電力は V·Ia で、その差は銅損 Ia²Ra と回転損です。速度はトルクに対して直線的に下がり、ω = V/k − Ra·T/k² です。無負荷速度 V/k から、拘束トルク k·V/Ra で 0 になります。停止時には E = 0 なので、抵抗で制限しないかぎり始動電流 V/Ra は大きくなります。
拘束電流
Ia = V/Ra = 220/0.5 = 440 A
拘束トルク
Tstall = 1·440 = 440 N·m
答え
Tstall = 440 N·m
10.直流モーター
答え: Rst = 1.1 Ω
直流モーター：電機子は、逆起電力 E と直列の抵抗 Ra と見なせるので、V = E + Ia·Ra です。逆起電力は速度に比例して E = k·ω、トルクは電流に比例して T = k·Ia となり、SI 単位では同じモーター定数 k (V·s/rad = N·m/A) を使います。速度は ω = 2π·n/60 で換算します。発生電力は E·Ia = T·ω です。入力電力は V·Ia で、その差は銅損 Ia²Ra と回転損です。速度はトルクに対して直線的に下がり、ω = V/k − Ra·T/k² です。無負荷速度 V/k から、拘束トルク k·V/Ra で 0 になります。停止時には E = 0 なので、抵抗で制限しないかぎり始動電流 V/Ra は大きくなります。
全抵抗
Ra + Rst = 120/80 = 1.5 Ω
始動抵抗器
Rst = 1.5 − 0.4 = 1.1 Ω
答え
Rst = 1.1 Ω
抵抗器は、モーターが加速して逆起電力が大きくなるにつれて、段階的に切り離されます。
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