電力システムと電気機器：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

三相電力

Y 結線
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 結線
VL = Vph, IL = √3·Iph
全有効電力
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
皮相電力と無効電力
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
力率改善用コンデンサ
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
各コンデンサにかかる電圧
Δ：VL Y：VL/√3
モーターの入力
Pin = Pout/η

変圧器

巻数比
a = N1/N2 = V1/V2
電流比
I1/I2 = N2/N1 = 1/a
定格電流
I = S/V
換算インピーダンス
Z1′ = a²·ZL
部分負荷時の銅損
Pcu = x²·Pcu,fl
効率
η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
最大効率
x = √(Pcore/Pcu,fl)

交流電力と力率

有効電力
P = V·I·cos φ
無効電力
Q = V·I·sin φ
皮相電力
S = V·I = √(P² + Q²)
力率
pf = cos φ = P/S
力率改善用コンデンサ
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

交流インピーダンスとフェーザ

インピーダンス
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角周波数
ω = 2πf
大きさと偏角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
フェーザ表示のオームの法則
V = I·Z

解き方

  1. 周波数を換算します：ω = 2πf。
  2. 各リアクタンスを求めます：XL = ωL、XC = 1/(ωC)。
  3. インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
  4. 大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。

直流モーター

電機子回路
V = E + IaRa
逆起電力とトルク
E = k·ω, T = k·Ia
速さ
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
無負荷速度と拘束トルク
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
電力
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
始動
Istart = V/(Ra + Rst)
速度変動率
SR = (n0 − nFL)/nFL
最大発生電力
Pmax = V²/(4Ra)
チョッパ駆動
Va = D·Vdc

解き方

  1. 電機子回路を描きます：電源 V、抵抗 Ra、逆起電力 E が直列につながります。
  2. 電圧、電流、逆起電力を結びつけるには V = E + Ia·Ra を使います。
  3. 速度には E = k·ω、トルクには T = k·Ia を使います。ω = 2π·n/60 です。
  4. 電力と効率では、V·Ia から始めて、銅損 Ia²·Ra を引き、次に回転損を引きます。

2演習問題

1.三相電力ふつう
ABCVL​ = 690 VIL​ = ?M18.5 kW, η = 91%cos φ = 0.85

三相誘導電動機が全負荷で 18.5 kW の機械出力を出している。この負荷での効率は 91%、力率は遅れ 0.85 である。電源の線間電圧は 690 V である。線電流 IL を求めよ。

Pout = 18.5 kWη = 91%cos φ = 0.85VL = 690 V
IL = A
2.三相電力むずかしい
P = 100 kWφ1​S1​Q2​QC​ = ?

平衡三相負荷が、415 V（線間）、50 Hz の電源から遅れ力率 0.7 で 100 kW を消費している。負荷と並列に三相コンデンサバンクを接続し、全体の力率を遅れ 0.95 に改善する。有効電力は変わらない。 コンデンサバンクが供給すべき全無効電力 QC を kvar で求めよ。

P = 100 kWpf1 = 0.7pf2 = 0.95VL = 415 Vf = 50 Hz
QC = kvar
3.変圧器ふつう
16 ΩN1​N2​1600 Ω

出力抵抗 1600 Ω の増幅器が、理想変圧器を介して 16 Ω のスピーカーを駆動する。最大電力を伝えるには、増幅器から見てスピーカーが 1600 Ω に見えなければならない。巻数比 a = N₁/N₂ を求めよ。

Rs = 1600 ΩRL = 16 Ω
a =
4.変圧器むずかしい
pf 0.85500 kVA, 50% 負荷

単相 500 kVA の変圧器の鉄損は 2000 W、定格負荷での銅損は 3000 W である。 この変圧器が定格 kVA の 50% を遅れ力率 0.85 で供給している。この負荷での全損失 Ploss を W で求めよ。

S = 500 kVAPcore = 2000 WPcu,fl = 3000 Wx = 0.5pf = 0.85
Ploss = W
5.交流電力と力率ふつう
120 VZ20 + j15 ΩI

インピーダンス Z = 20 + j15 Ω の負荷が 120 V（実効値）の単相電源に接続されている。 負荷が消費する無効電力 Q を求めよ。

V = 120 VZ = 20 + j15 Ω
Q = var
6.交流電力と力率むずかしい
P1​ = 12 kWQ1​S1​φ

50 kVA の単相変圧器が、遅れ力率 0.75 で 12 kW の負荷に電力を供給している。変圧器が kVA 定格に達するまでに、抵抗負荷（力率 1）としてあとどれだけの有効電力 ΔP を追加できるか。

Smax = 50 kVAP1 = 12 kWpf1 = 0.75
ΔP = kW
7.交流インピーダンスとフェーザふつう
120 V60 HzR = 80 ΩL = 150 mHC = 4.7 µFI

直列 RLC 回路を 120 V（実効値）、60 Hz の電源に接続する。 電源から供給される有効電力 P を求めよ。

V = 120 V (rms)f = 60 HzR = 80 ΩL = 150 mHC = 4.7 µF
P = W
8.交流インピーダンスとフェーザむずかしい
50 V1000 HzR = 40 ΩL = 20 mHC = 100 µF

直列 RLC 回路を 50 V（実効値）、1000 Hz の電源に接続する。 回路の共振周波数 f0 を求めよ。

V = 50 V (rms)f = 1000 HzR = 40 ΩL = 20 mHC = 100 µF
f0 = Hz
9.直流モーターふつう
T (N·m)n (rpm)n0​ = ?

k = 0.5 V·s/rad の直流モーターが 120 V で動作します。無負荷時の損失をすべて無視して、無負荷速度 n0 を rpm で求めなさい。

V = 120 Vk = 0.5 V·s/rad
n0 = rpm
10.直流モーターむずかしい
+−220 VRa​ = 1 ΩM+−En = ?T = 18 N·m

他励直流モーター（全界磁で k = 1.5 V·s/rad、Ra = 1 Ω、V = 220 V）が、一定の負荷トルク 18 N·m を駆動しています。界磁磁束を全磁束の 90 % に減らします。新しい速度 n を求めなさい。

V = 220 Vk = 1.5 V·s/radRa = 1 ΩT = 18 N·mΦ = 90 %
n = rpm

3溶液

1.三相電力

答え: IL = 20.01 A

平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、VL = √3·Vph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、IL = √3·Iph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。

電気入力

Pin = Pout/η = 18.5/0.91 = 20.33 kW

線電流

IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 20330/(√3·690·0.85) = 20.01 A

答え

IL = 20.01 A
2.三相電力

答え: QC = 69.15 kvar

平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、VL = √3·Vph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、IL = √3·Iph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 力率改善：コンデンサは無効電力をその場で供給します：QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。3 個のコンデンサはそれぞれ QC/3 = V²·ω·C を供給します。V はそのコンデンサにかかる電圧で、Δ バンクでは VL、Y バンクでは VL/√3 です。

改善前後の無効電力

有効電力は変わらないので、それぞれの力率から無効電力が決まります：Q = P·tan φ。

Q1 = 100·tan(acos 0.7) = 100·1.02 = 102 kvar
Q2 = 100·tan(acos 0.95) = 100·0.3287 = 32.87 kvar

コンデンサが供給する無効電力

QC = Q1 − Q2 = 69.15 kvar

答え

QC = 69.15 kvar
3.変圧器

答え: a = 10

理想変圧器：電圧は巻数の比に、電流はその逆比になります：V₁/V₂ = N₁/N₂ = a、I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a。したがって入力電力と出力電力は等しく、V₁·I₁ = V₂·I₂ です。二次側の負荷インピーダンス Z は、一次側から見ると a²·Z に見えます。

換算した負荷を整合させる

a²·16 = 1600
a = √(1600/16) = √100 = 10

答え

a = 10
4.変圧器

答え: Ploss = 2750 W

変圧器の損失：鉄損（ヒステリシス損と渦電流損）は電圧で決まり、負荷によらず一定です。巻線の銅損は電流の 2 乗に比例するので、定格負荷の x 倍の負荷では x²·Pcu,fl になります。効率 η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu)、ただし Pout = x·S·pf です。効率は銅損と鉄損が等しくなる負荷で最大になります。

この負荷での銅損

Pcu = x²·Pcu,fl = 0.25·3000 = 750 W

全損失

鉄損は負荷によらず一定です。

Ploss = 2000 + 750 = 2750 W

答え

Ploss = 2750 W

この負荷での効率は η = 98.72% です。

5.交流電力と力率

答え: Q = 345.6 var

交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。

電流

|Z| = √(20² + 15²) = 25 Ω
I = V/|Z| = 120/25 = 4.8 A

無効電力

Q = I²·X = 4.8²·15 = 345.6 var

答え

Q = 345.6 var
6.交流電力と力率

答え: ΔP = 36.87 kW

交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。

既存の負荷の無効電力

Q1 = 12·tan(arccos 0.75) = 10.58 kvar

最大の全有効電力

定格いっぱいでは S = Smax で、Q は抵抗負荷によって変わりません。

P = √(Smax² − Q1²) = √(50² − 10.58²) = 48.87 kW

追加できる有効電力

ΔP = 48.87 − 12 = 36.87 kW

答え

ΔP = 36.87 kW
7.交流インピーダンスとフェーザ

答え: P = 4.359 W

フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。

リアクタンス

XL = 56.55 Ω, XC = 564.4 Ω

インピーダンス

|Z| = √(80² + (−507.8)²) = 514.1 Ω

有効電力

コイルとコンデンサはエネルギーを蓄えて返すだけです。有効電力はすべて抵抗が消費します。

I = 120/514.1 = 0.2334 A
P = I²·R = 0.2334²·80 = 4.359 W

答え

P = 4.359 W
8.交流インピーダンスとフェーザ

答え: f0 = 112.5 Hz

フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。

共振

共振時には誘導性リアクタンスと容量性リアクタンスが打ち消し合います：ωL = 1/(ωC)。電源周波数は関係ありません。

f0 = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0.02·100·10⁻⁶)) = 112.5 Hz

答え

f0 = 112.5 Hz
9.直流モーター

答え: n0 = 2292 rpm

直流モーター：電機子は、逆起電力 E と直列の抵抗 Ra と見なせるので、V = E + Ia·Ra です。逆起電力は速度に比例して E = k·ω、トルクは電流に比例して T = k·Ia となり、SI 単位では同じモーター定数 k (V·s/rad = N·m/A) を使います。速度は ω = 2π·n/60 で換算します。発生電力は E·Ia = T·ω です。入力電力は V·Ia で、その差は銅損 Ia²Ra と回転損です。速度はトルクに対して直線的に下がり、ω = V/k − Ra·T/k² です。無負荷速度 V/k から、拘束トルク k·V/Ra で 0 になります。停止時には E = 0 なので、抵抗で制限しないかぎり始動電流 V/Ra は大きくなります。

無負荷速度

ω₀ = V/k = 120/0.5 = 240 rad/s
n0 = 60·240/(2π) = 2292 rpm

答え

n0 = 2292 rpm
10.直流モーター

答え: n = 1462 rpm

直流モーター：電機子は、逆起電力 E と直列の抵抗 Ra と見なせるので、V = E + Ia·Ra です。逆起電力は速度に比例して E = k·ω、トルクは電流に比例して T = k·Ia となり、SI 単位では同じモーター定数 k (V·s/rad = N·m/A) を使います。速度は ω = 2π·n/60 で換算します。発生電力は E·Ia = T·ω です。入力電力は V·Ia で、その差は銅損 Ia²Ra と回転損です。速度はトルクに対して直線的に下がり、ω = V/k − Ra·T/k² です。無負荷速度 V/k から、拘束トルク k·V/Ra で 0 になります。停止時には E = 0 なので、抵抗で制限しないかぎり始動電流 V/Ra は大きくなります。

弱めたあとのモーター定数

k₂ = 0.9·1.5 = 1.35 V·s/rad

新しい電機子電流

Ia = 18/1.35 = 13.33 A

新しい速度

ω = (220 − 13.33·1)/1.35 = 153.1 rad/s → n = 1462 rpm

答え

n = 1462 rpm

界磁弱めは、直流ドライブが基底速度より高い速度で運転する方法です。

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