電力システムと電気機器：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

三相電力

Y 結線: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Δ 結線: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
全有効電力: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
皮相電力と無効電力: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
力率改善用コンデンサ: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
各コンデンサにかかる電圧: Δ：V_L Y：V_L/√3
モーターの入力: P_in = P_out/η

変圧器

巻数比: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
電流比: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
定格電流: I = S/V
換算インピーダンス: Z₁′ = a²·Z_L
部分負荷時の銅損: P_cu = x²·P_cu,fl
効率: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
最大効率: x = √(P_core/P_cu,fl)

交流電力と力率

有効電力: P = V·I·cos φ
無効電力: Q = V·I·sin φ
皮相電力: S = V·I = √(P² + Q²)
力率: pf = cos φ = P/S
力率改善用コンデンサ: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

交流インピーダンスとフェーザ

インピーダンス: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角周波数: ω = 2πf
大きさと偏角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
フェーザ表示のオームの法則: V = I·Z

解き方

周波数を換算します：ω = 2πf。
各リアクタンスを求めます：X_L = ωL、X_C = 1/(ωC)。
インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。

直流モーター

電機子回路: V = E + I_aR_a
逆起電力とトルク: E = k·ω, T = k·I_a
速さ: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
無負荷速度と拘束トルク: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
電力: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
始動: I_start = V/(R_a + R_st)
速度変動率: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
最大発生電力: P_max = V²/(4R_a)
チョッパ駆動: V_a = D·V_dc

解き方

電機子回路を描きます：電源 V、抵抗 R_a、逆起電力 E が直列につながります。
電圧、電流、逆起電力を結びつけるには V = E + I_a·R_a を使います。
速度には E = k·ω、トルクには T = k·I_a を使います。ω = 2π·n/60 です。
電力と効率では、V·I_a から始めて、銅損 I_a²·R_a を引き、次に回転損を引きます。

2演習問題

1.三相電力ふつう

三相誘導電動機が全負荷で 15 kW の機械出力を出している。この負荷での効率は 90%、力率は遅れ 0.8 である。電源の線間電圧は 690 V である。線電流 I_L を求めよ。

P_out = 15 kWη = 90%cos φ = 0.8V_L = 690 V

I_L = A

2.三相電力むずかしい

平衡三相負荷が、480 V（線間）、50 Hz の電源から遅れ力率 0.8 で 250 kW を消費している。負荷と並列に三相コンデンサバンクを接続し、全体の力率を遅れ 0.9 に改善する。有効電力は変わらない。コンデンサバンクが供給すべき全無効電力 Q_C を kvar で求めよ。

P = 250 kWpf₁ = 0.8pf₂ = 0.9V_L = 480 Vf = 50 Hz

Q_C = kvar

3.変圧器ふつう

単相 150 kVA、7200/240 V の変圧器が定格負荷で運転している。理想変圧器とみなす。高圧巻線の電流 I_HV を求めよ。

S = 150 kVAV₁ = 7200 VV₂ = 240 V

I_HV = A

4.変圧器むずかしい

単相 200 kVA の変圧器の鉄損は 600 W である。定格負荷、遅れ力率 0.85 での効率は 99% である。全負荷銅損 P_cu,fl を W で求めよ。

S = 200 kVAP_core = 600 Wpf = 0.85η = 99%

P_cu,fl = W

5.交流電力と力率ふつう

単相モーターが 230 V の電源から、遅れ力率 0.65 で 6 kW を消費する。線電流 I を求めよ。

P = 6 kWpf = 0.65V = 230 V

I = A

6.交流電力と力率むずかしい

単相負荷が 400 V、60 Hz の電源から、遅れ力率 0.75 で 22 kW を消費する。220 µF のコンデンサを負荷と並列に接続する。新しい線電流 I を求めよ。

P = 22 kWpf₁ = 0.75V = 400 Vf = 60 HzC = 220 µF

I = A

7.交流インピーダンスとフェーザふつう

直列 RLC 回路を 100 V（実効値）、500 Hz の電源に接続する。電流の実効値 I を求めよ。

V = 100 V (rms)f = 500 HzR = 60 ΩL = 20 mHC = 4.7 µF

I = A

8.交流インピーダンスとフェーザむずかしい

直列 RLC 回路を、周波数を回路の共振周波数に設定した 12 V（実効値）の電源で駆動する。コイルの両端の電圧の実効値 V_L を求めよ。

V = 12 V (rms)R = 10 ΩL = 100 mHC = 10 µF

V_L = V

9.直流モーターふつう

直流モーター（k = 0.8 V·s/rad、R_a = 0.25 Ω）が 220 V で動作します。全負荷時に 40 A が流れます。無負荷電流を無視して、速度変動率 SR = (n₀ − n_FL)/n_FL を百分率で求めなさい。

V = 220 Vk = 0.8 V·s/radR_a = 0.25 ΩI_FL = 40 A

SR = %

10.直流モーターむずかしい

小型の直流モーターの電機子抵抗は 0.8 Ω で、120 V で動作します。回転損を無視して、どの速度でも発生できる最大の機械的電力 P_max を求めなさい。

V = 120 VR_a = 0.8 Ω

P_max = W

3溶液

1.三相電力

答え: I_L = 17.43 A

電気入力

P_in = P_out/η = 15/0.9 = 16.67 kW

線電流

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 16667/(√3·690·0.8) = 17.43 A

答え

I_L = 17.43 A

2.三相電力

答え: Q_C = 66.42 kvar

平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、V_L = √3·V_ph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、I_L = √3·I_ph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ。 力率改善：コンデンサは無効電力をその場で供給します：Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂)。3 個のコンデンサはそれぞれ Q_C/3 = V²·ω·C を供給します。V はそのコンデンサにかかる電圧で、Δ バンクでは V_L、Y バンクでは V_L/√3 です。

改善前後の無効電力

有効電力は変わらないので、それぞれの力率から無効電力が決まります：Q = P·tan φ。

Q₁ = 250·tan(acos 0.8) = 250·0.75 = 187.5 kvar

Q₂ = 250·tan(acos 0.9) = 250·0.4843 = 121.1 kvar

コンデンサが供給する無効電力

Q_C = Q₁ − Q₂ = 66.42 kvar

答え

Q_C = 66.42 kvar

3.変圧器

答え: I_HV = 20.83 A

理想変圧器：電圧は巻数の比に、電流はその逆比になります：V₁/V₂ = N₁/N₂ = a、I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a。したがって入力電力と出力電力は等しく、V₁·I₁ = V₂·I₂ です。二次側の負荷インピーダンス Z は、一次側から見ると a²·Z に見えます。

定格電流

両方の巻線に同じ皮相電力が流れます。

I_HV = S/V = 150000/7200 = 20.83 A

答え

I_HV = 20.83 A

4.変圧器

答え: P_cu,fl = 1117 W

変圧器の損失：鉄損（ヒステリシス損と渦電流損）は電圧で決まり、負荷によらず一定です。巻線の銅損は電流の 2 乗に比例するので、定格負荷の x 倍の負荷では x²·P_cu,fl になります。効率 η = P_out/(P_out + P_core + P_cu)、ただし P_out = x·S·pf です。効率は銅損と鉄損が等しくなる負荷で最大になります。

出力と入力

P_out = 200·0.85 = 170 kW

P_in = 170000/0.99 = 171717 W

全損失と銅損

P_loss = 171717 − 170000 = 1717 W

P_cu,fl = 1717 − 600 = 1117 W

答え

P_cu,fl = 1117 W

5.交流電力と力率

答え: I = 40.13 A

交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。

線電流

仕事をするのは有効分だけなので、力率で割ります。

I = P/(V·cos φ) = 6000/(230·0.65) = 40.13 A

答え

I = 40.13 A

6.交流電力と力率

答え: I = 57.1 A

改善前後の無効電力

有効電力 P は変わらず、電源から取る無効電力だけが変わります。

Q₁ = 22·tan(arccos 0.75) = 19.4 kvar

Q_C = V²·2πf·C = 400²·2π·60·220·10⁻⁶ = 13270 var = 13.27 kvar

Q₂ = 19.4 − 13.27 = 6.132 kvar

新しい皮相電力

S₂ = √(22² + 6.132²) = 22.84 kVA

新しい線電流

I = S₂/V = 22839/400 = 57.1 A

答え

I = 57.1 A

7.交流インピーダンスとフェーザ

答え: I = 1.661 A

フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。

リアクタンス

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0.02 = 62.83 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·4.7·10⁻⁶) = 67.73 Ω

インピーダンス

直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(X_L − X_C)。

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(60² + (−4.894)²) = 60.2 Ω

電流

直列回路ではすべての素子に同じ電流が流れます。

I = V/|Z| = 100/60.2 = 1.661 A

答え

I = 1.661 A

8.交流インピーダンスとフェーザ

答え: V_L = 120 V

共振

共振時にはリアクタンスが打ち消し合うので、インピーダンスは R だけです。

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.1·10·10⁻⁶) = 1000 rad/s

I = V/R = 12/10 = 1.2 A

コイルの両端の電圧

X_L = ω₀L = 1000·0.1 = 100 Ω

V_L = I·X_L = 1.2·100 = 120 V

答え

V_L = 120 V

これは電源電圧の Q = 10 倍です。

9.直流モーター

答え: SR = 4.762 %

直流モーター：電機子は、逆起電力 E と直列の抵抗 R_a と見なせるので、V = E + I_a·R_a です。逆起電力は速度に比例して E = k·ω、トルクは電流に比例して T = k·I_a となり、SI 単位では同じモーター定数 k (V·s/rad = N·m/A) を使います。速度は ω = 2π·n/60 で換算します。発生電力は E·I_a = T·ω です。入力電力は V·I_a で、その差は銅損 I_a²R_a と回転損です。速度はトルクに対して直線的に下がり、ω = V/k − R_a·T/k² です。無負荷速度 V/k から、拘束トルク k·V/R_a で 0 になります。停止時には E = 0 なので、抵抗で制限しないかぎり始動電流 V/R_a は大きくなります。

無負荷速度と全負荷速度

n₀ = 60·220/(2π·0.8) = 2626 rpm

n_FL = 60·(220 − 40·0.25)/(2π·0.8) = 2507 rpm

速度変動率

SR = (2626 − 2507)/2507·100 = 4.762 %

答え

SR = 4.762 %

10.直流モーター

答え: P_max = 4500 W

逆起電力の関数としての電力

P(E) = E·(V − E)/R_a

dP/dE = 0 → E = V/2 = 60 V

最大電力

P_max = (V/2)²/R_a = V²/(4R_a) = 120²/(4·0.8) = 4500 W

答え

P_max = 4500 W

この点での効率はわずか 50 % なので、実際のモーターは半分の速度よりずっと高い速度で運転されます。

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