電力システムと電気機器：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

新しい問題科目に戻る

印刷ウィンドウで「PDF として保存」を選ぶと、コピーを端末に保存できます。

1公式と解法

三相電力

Y 結線: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Δ 結線: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
全有効電力: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
皮相電力と無効電力: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
力率改善用コンデンサ: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
各コンデンサにかかる電圧: Δ：V_L Y：V_L/√3
モーターの入力: P_in = P_out/η

変圧器

巻数比: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
電流比: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
定格電流: I = S/V
換算インピーダンス: Z₁′ = a²·Z_L
部分負荷時の銅損: P_cu = x²·P_cu,fl
効率: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
最大効率: x = √(P_core/P_cu,fl)

交流電力と力率

有効電力: P = V·I·cos φ
無効電力: Q = V·I·sin φ
皮相電力: S = V·I = √(P² + Q²)
力率: pf = cos φ = P/S
力率改善用コンデンサ: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

交流インピーダンスとフェーザ

インピーダンス: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角周波数: ω = 2πf
大きさと偏角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
フェーザ表示のオームの法則: V = I·Z

解き方

周波数を換算します：ω = 2πf。
各リアクタンスを求めます：X_L = ωL、X_C = 1/(ωC)。
インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。

直流モーター

電機子回路: V = E + I_aR_a
逆起電力とトルク: E = k·ω, T = k·I_a
速さ: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
無負荷速度と拘束トルク: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
電力: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
始動: I_start = V/(R_a + R_st)
速度変動率: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
最大発生電力: P_max = V²/(4R_a)
チョッパ駆動: V_a = D·V_dc

解き方

電機子回路を描きます：電源 V、抵抗 R_a、逆起電力 E が直列につながります。
電圧、電流、逆起電力を結びつけるには V = E + I_a·R_a を使います。
速度には E = k·ω、トルクには T = k·I_a を使います。ω = 2π·n/60 です。
電力と効率では、V·I_a から始めて、銅損 I_a²·R_a を引き、次に回転損を引きます。

2演習問題

1.三相電力ふつう

平衡三相負荷が、線間電圧 480 V の電源から線電流 12 A を流している。力率は遅れ 0.82 である。負荷が消費する全有効電力 P を kW で求めよ。

V_L = 480 VI_L = 12 Acos φ = 0.82

P = kW

2.三相電力むずかしい

平衡三相負荷が、400 V（線間）、60 Hz の電源から遅れ力率 0.78 で 50 kW を消費している。負荷と並列に三相コンデンサバンクを接続し、全体の力率を遅れ 0.92 に改善する。有効電力は変わらない。コンデンサは Y 結線である。各コンデンサの静電容量 C_ph を µF で求めよ。

P = 50 kWpf₁ = 0.78pf₂ = 0.92V_L = 400 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

3.変圧器ふつう

巻数比 N₁:N₂ = 4:1 の理想変圧器の一次巻線に 960 V を加える。二次巻線に 24 Ω の抵抗を接続する。一次電流 I₁ を求めよ。

N₁:N₂ = 4:1V₁ = 960 VR_L = 24 Ω

I₁ = A

4.変圧器むずかしい

単相 50 kVA の変圧器の鉄損は 200 W、定格負荷での銅損は 800 W である。効率が最大になる負荷 S_η,max を kVA で求めよ。

S = 50 kVAP_core = 200 WP_cu,fl = 800 W

S_η,max = kVA

5.交流電力と力率ふつう

誘導性負荷が 230 V（実効値）の単相電源から 13.5 A と 2484 W を消費する。これを抵抗 R とリアクタンス X の直列回路としてモデル化する。 R を求めよ。

V = 230 VI = 13.5 AP = 2484 W

R = Ω

6.交流電力と力率むずかしい

単相負荷が 230 V、60 Hz の電源から遅れ力率 0.8 で 50 kW を消費する。並列にコンデンサをつないで力率を 0.92 に改善する。新しい線電流 I_new を求めよ。

P = 50 kWpf₁ = 0.8pf₂ = 0.92V = 230 Vf = 60 Hz

I_new = A

7.交流インピーダンスとフェーザふつう

直列 RLC 回路を 230 V（実効値）、60 Hz の電源に接続する。電流の実効値 I を求めよ。

V = 230 V (rms)f = 60 HzR = 80 ΩL = 100 mHC = 4.7 µF

I = A

8.交流インピーダンスとフェーザむずかしい

直列 RLC 回路を、周波数を回路の共振周波数に設定した 5 V（実効値）の電源で駆動する。コイルの両端の電圧の実効値 V_L を求めよ。

V = 5 V (rms)R = 50 ΩL = 20 mHC = 1 µF

V_L = V

9.直流モーターふつう

直流モーターが 48 V の電源から 20 A を引き込みます。電機子抵抗は 0.2 Ω、回転損（摩擦損、風損、鉄損）は 35 W です。効率 η を求めなさい。

V = 48 VI_a = 20 AR_a = 0.2 ΩP_rot = 35 W

η = %

10.直流モーターむずかしい

48 V（R_a = 0.8 Ω）の他励直流モーターが、電機子電流 6 A で 1440 rpm で回転しています。負荷が変わり、界磁は変えないまま電流が 3 A になります。新しい速度 n₂ を求めなさい。

V = 48 VR_a = 0.8 Ωn₁ = 1440 rpmI_a1 = 6 AI_a2 = 3 A

n₂ = rpm

3溶液

1.三相電力

答え: P = 8.181 kW

皮相電力

S = √3·V_L·I_L = √3·480·12 = 9.977 kVA

有効電力

P = S·cos φ = 9.977·0.82 = 8.181 kW

答え

P = 8.181 kW

2.三相電力

答え: C_ph = 311.9 µF

平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、V_L = √3·V_ph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、I_L = √3·I_ph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ。 力率改善：コンデンサは無効電力をその場で供給します：Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂)。3 個のコンデンサはそれぞれ Q_C/3 = V²·ω·C を供給します。V はそのコンデンサにかかる電圧で、Δ バンクでは V_L、Y バンクでは V_L/√3 です。

改善前後の無効電力

有効電力は変わらないので、それぞれの力率から無効電力が決まります：Q = P·tan φ。

Q₁ = 50·tan(acos 0.78) = 50·0.8023 = 40.11 kvar

Q₂ = 50·tan(acos 0.92) = 50·0.426 = 21.3 kvar

コンデンサが供給する無効電力

Q_C = Q₁ − Q₂ = 18.81 kvar

1 相あたりの静電容量

Y バンクでは、各コンデンサは線と中性点の間に接続されています。

V = 400/√3 = 230.9 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 6271/(377·230.9²) = 311.9 µF

答え

C_ph = 311.9 µF

3.変圧器

答え: I₁ = 2.5 A

理想変圧器：電圧は巻数の比に、電流はその逆比になります：V₁/V₂ = N₁/N₂ = a、I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a。したがって入力電力と出力電力は等しく、V₁·I₁ = V₂·I₂ です。二次側の負荷インピーダンス Z は、一次側から見ると a²·Z に見えます。

二次電圧と二次電流

V₂ = 960/4 = 240 V

I₂ = 240/24 = 10 A

一次電流

理想変圧器には損失がありません：V₁·I₁ = V₂·I₂。

I₁ = I₂/4 = 2.5 A

答え

I₁ = 2.5 A

確認：一次側から見た負荷は a²·R_L = 384 Ω で、960/384 からも同じ電流が得られます。

4.変圧器

答え: S_η,max = 25 kVA

変圧器の損失：鉄損（ヒステリシス損と渦電流損）は電圧で決まり、負荷によらず一定です。巻線の銅損は電流の 2 乗に比例するので、定格負荷の x 倍の負荷では x²·P_cu,fl になります。効率 η = P_out/(P_out + P_core + P_cu)、ただし P_out = x·S·pf です。効率は銅損と鉄損が等しくなる負荷で最大になります。

銅損 = 鉄損

x²·800 = 200 → x = √(200/800) = 0.5

最大効率となる負荷

S_η,max = x·S = 0.5·50 = 25 kVA

答え

S_η,max = 25 kVA

5.交流電力と力率

答え: R = 13.63 Ω

交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。

有効電力からの抵抗

R = P/I² = 2484/13.5² = 13.63 Ω

答え

R = 13.63 Ω

6.交流電力と力率

答え: I_new = 236.3 A

改善前後の無効電力

有効電力 P は変わらず、電源から取る無効電力だけが変わります。

Q₁ = P·tan φ₁ = 50·tan(36.87°) = 37.5 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 50·tan(23.07°) = 21.3 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 16.2 kvar

新しい線電流

I_new = P/(V·cos φ₂) = 50000/(230·0.92) = 236.3 A

答え

I_new = 236.3 A

7.交流インピーダンスとフェーザ

答え: I = 0.4317 A

フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。

リアクタンス

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0.1 = 37.7 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·4.7·10⁻⁶) = 564.4 Ω

インピーダンス

直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(X_L − X_C)。

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(80² + (−526.7)²) = 532.7 Ω

電流

直列回路ではすべての素子に同じ電流が流れます。

I = V/|Z| = 230/532.7 = 0.4317 A

答え

I = 0.4317 A

8.交流インピーダンスとフェーザ

答え: V_L = 14.14 V

共振

共振時にはリアクタンスが打ち消し合うので、インピーダンスは R だけです。

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.02·1·10⁻⁶) = 7071 rad/s

I = V/R = 5/50 = 0.1 A

コイルの両端の電圧

X_L = ω₀L = 7071·0.02 = 141.4 Ω

V_L = I·X_L = 0.1·141.4 = 14.14 V

答え

V_L = 14.14 V

これは電源電圧の Q = 2.828 倍です。

9.直流モーター

答え: η = 88.02 %

直流モーター：電機子は、逆起電力 E と直列の抵抗 R_a と見なせるので、V = E + I_a·R_a です。逆起電力は速度に比例して E = k·ω、トルクは電流に比例して T = k·I_a となり、SI 単位では同じモーター定数 k (V·s/rad = N·m/A) を使います。速度は ω = 2π·n/60 で換算します。発生電力は E·I_a = T·ω です。入力電力は V·I_a で、その差は銅損 I_a²R_a と回転損です。速度はトルクに対して直線的に下がり、ω = V/k − R_a·T/k² です。無負荷速度 V/k から、拘束トルク k·V/R_a で 0 になります。停止時には E = 0 なので、抵抗で制限しないかぎり始動電流 V/R_a は大きくなります。

電力

P_in = 48·20 = 960 W

P_dev = 44·20 = 880 W

P_out = 880 − 35 = 845 W

効率

η = 845/960·100 = 88.02 %

答え

η = 88.02 %

10.直流モーター

答え: n₂ = 1520 rpm

変化前と変化後の逆起電力

E₁ = 48 − 6·0.8 = 43.2 V

E₂ = 48 − 3·0.8 = 45.6 V

新しい速度

n₂ = 1440·45.6/43.2 = 1520 rpm

答え

n₂ = 1520 rpm

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems