三相電力
- Y 結線
- VL = √3·Vph, IL = Iph
- Δ 結線
- VL = Vph, IL = √3·Iph
- 全有効電力
- P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
- 皮相電力と無効電力
- S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
- 力率改善用コンデンサ
- QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
- 各コンデンサにかかる電圧
- Δ：VL Y：VL/√3
- モーターの入力
- Pin = Pout/η
電力システムと電気機器：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
変圧器
- 巻数比
- a = N1/N2 = V1/V2
- 電流比
- I1/I2 = N2/N1 = 1/a
- 定格電流
- I = S/V
- 換算インピーダンス
- Z1′ = a²·ZL
- 部分負荷時の銅損
- Pcu = x²·Pcu,fl
- 効率
- η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
- 最大効率
- x = √(Pcore/Pcu,fl)
交流電力と力率
- 有効電力
- P = V·I·cos φ
- 無効電力
- Q = V·I·sin φ
- 皮相電力
- S = V·I = √(P² + Q²)
- 力率
- pf = cos φ = P/S
- 力率改善用コンデンサ
- QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
交流インピーダンスとフェーザ
- インピーダンス
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角周波数
- ω = 2πf
- 大きさと偏角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- フェーザ表示のオームの法則
- V = I·Z
解き方
- 周波数を換算します：ω = 2πf。
- 各リアクタンスを求めます：XL = ωL、XC = 1/(ωC)。
- インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
- 大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。
直流モーター
- 電機子回路
- V = E + IaRa
- 逆起電力とトルク
- E = k·ω, T = k·Ia
- 速さ
- ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
- 無負荷速度と拘束トルク
- ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
- 電力
- Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
- 始動
- Istart = V/(Ra + Rst)
- 速度変動率
- SR = (n0 − nFL)/nFL
- 最大発生電力
- Pmax = V²/(4Ra)
- チョッパ駆動
- Va = D·Vdc
解き方
- 電機子回路を描きます：電源 V、抵抗 Ra、逆起電力 E が直列につながります。
- 電圧、電流、逆起電力を結びつけるには V = E + Ia·Ra を使います。
- 速度には E = k·ω、トルクには T = k·Ia を使います。ω = 2π·n/60 です。
- 電力と効率では、V·Ia から始めて、銅損 Ia²·Ra を引き、次に回転損を引きます。
2演習問題
1.三相電力ふつう
1 相あたりのインピーダンスが 16 + j12 Ω の平衡 Y 結線負荷が、線間電圧 415 V の平衡三相電源に接続されている。 負荷が吸収する全有効電力 P を kW で求めよ。
VL = 415 VZ = 16 + j12 Ω 1 相あたり
P = kW
2.三相電力むずかしい
平衡三相負荷が、480 V（線間）、50 Hz の電源から遅れ力率 0.65 で 300 kW を消費している。負荷と並列に三相コンデンサバンクを接続し、全体の力率を遅れ 0.95 に改善する。有効電力は変わらない。 コンデンサバンクが供給すべき全無効電力 QC を kvar で求めよ。
P = 300 kWpf1 = 0.65pf2 = 0.95VL = 480 Vf = 50 Hz
QC = kvar
3.変圧器ふつう
巻数比 N₁:N₂ = 8:1 の理想変圧器の二次巻線に 8 Ω の抵抗を接続する。一次巻線から見た抵抗 R1′ を求めよ。
N1:N2 = 8:1RL = 8 Ω
R1′ = Ω
4.変圧器むずかしい
単相 75 kVA の変圧器の鉄損は 450 W である。 定格負荷、遅れ力率 0.95 での効率は 98.2% である。全負荷銅損 Pcu,fl を W で求めよ。
S = 75 kVAPcore = 450 Wpf = 0.95η = 98.2%
Pcu,fl = W
5.交流電力と力率ふつう
インピーダンス Z = 12 + j16 Ω の負荷が 230 V（実効値）の単相電源に接続されている。 皮相電力 S を求めよ。
V = 230 VZ = 12 + j16 Ω
S = VA
6.交流電力と力率むずかしい
24 V（実効値）、50 Hz の電源の内部インピーダンスは Zs = 2 + j20 Ω である。負荷インピーダンス ZL は自由に選べる。 負荷に供給できる最大の有効電力 Pmax を求めよ。
Vs = 24 V (rms)f = 50 HzZs = 2 + j20 Ω
Pmax = W
7.交流インピーダンスとフェーザふつう
抵抗とコイルが並列に、24 V（実効値）、60 Hz の電源に接続されている。 インピーダンスの位相角 φ を度で求めよ（電流が電圧より遅れるとき正）。
V = 24 V (rms)f = 60 HzR = 15 ΩL = 50 mH
φ = °
8.交流インピーダンスとフェーザむずかしい
直列 RLC 回路を、周波数を回路の共振周波数に設定した 10 V（実効値）の電源で駆動する。コイルの両端の電圧の実効値 VL を求めよ。
V = 10 V (rms)R = 15 ΩL = 50 mHC = 10 µF
VL = V
9.直流モーターふつう
直流モーターが 120 V の電源から 15 A を引き込みます。電機子抵抗は 0.4 Ω、回転損（摩擦損、風損、鉄損）は 86 W です。効率 η を求めなさい。
V = 120 VIa = 15 ARa = 0.4 ΩProt = 86 W
η = %
10.直流モーターむずかしい
固定の 48 V の電源で動作する直流モーター（k = 0.2 V·s/rad、Ra = 2 Ω）が、0.4 N·m の負荷を駆動しています。速度を 900 rpm まで下げる直列抵抗 Rs を求めなさい。
V = 48 Vk = 0.2 V·s/radRa = 2 ΩT = 0.4 N·mn = 900 rpm
Rs = Ω
3溶液
1.三相電力
答え: P = 6.889 kW
平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、VL = √3·Vph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、IL = √3·Iph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。
相電圧
Vph = 415/√3 = 239.6 V
相電流
|Z| = √(16² + 12²) = 20 Ω
Iph = 239.6/20 = 11.98 A
全有効電力
有効電力を吸収するのは、各インピーダンスの抵抗分だけです。
P = 3·Iph²·R = 3·11.98²·16 = 6.889 kW
答え
P = 6.889 kW
確認：cos φ = R/|Z| = 0.8 で、√3·VL·IL·cos φ からも同じ電力が得られます。
2.三相電力
答え: QC = 252.1 kvar
平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、VL = √3·Vph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、IL = √3·Iph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 力率改善：コンデンサは無効電力をその場で供給します：QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。3 個のコンデンサはそれぞれ QC/3 = V²·ω·C を供給します。V はそのコンデンサにかかる電圧で、Δ バンクでは VL、Y バンクでは VL/√3 です。
改善前後の無効電力
有効電力は変わらないので、それぞれの力率から無効電力が決まります：Q = P·tan φ。
Q1 = 300·tan(acos 0.65) = 300·1.169 = 350.7 kvar
Q2 = 300·tan(acos 0.95) = 300·0.3287 = 98.61 kvar
コンデンサが供給する無効電力
QC = Q1 − Q2 = 252.1 kvar
答え
QC = 252.1 kvar
3.変圧器
答え: R1′ = 512 Ω
理想変圧器：電圧は巻数の比に、電流はその逆比になります：V₁/V₂ = N₁/N₂ = a、I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a。したがって入力電力と出力電力は等しく、V₁·I₁ = V₂·I₂ です。二次側の負荷インピーダンス Z は、一次側から見ると a²·Z に見えます。
換算抵抗
電圧は a 倍になり、電流は 1/a 倍になるので、比 V/I は a² 倍になります。
R1′ = a²·RL = 8²·8 = 512 Ω
答え
R1′ = 512 Ω
4.変圧器
答え: Pcu,fl = 856 W
変圧器の損失：鉄損（ヒステリシス損と渦電流損）は電圧で決まり、負荷によらず一定です。巻線の銅損は電流の 2 乗に比例するので、定格負荷の x 倍の負荷では x²·Pcu,fl になります。効率 η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu)、ただし Pout = x·S·pf です。効率は銅損と鉄損が等しくなる負荷で最大になります。
出力と入力
Pout = 75·0.95 = 71.25 kW
Pin = 71250/0.982 = 72556 W
全損失と銅損
Ploss = 72556 − 71250 = 1306 W
Pcu,fl = 1306 − 450 = 856 W
答え
Pcu,fl = 856 W
5.交流電力と力率
答え: S = 2645 VA
交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。
電流
|Z| = √(12² + 16²) = 20 Ω
I = V/|Z| = 230/20 = 11.5 A
皮相電力
S = V·I = 230·11.5 = 2645 VA
答え
S = 2645 VA
6.交流電力と力率
答え: Pmax = 72 W
交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。
共役整合
負荷のリアクタンスは電源のリアクタンスを打ち消し、負荷抵抗は電源抵抗に等しくなります。
ZL = Zs* = 2 − j20 Ω
最大電力
I = Vs/(2Rs) = 24/4 = 6 A
Pmax = I²·RL = Vs²/(4Rs) = 24²/(4·2) = 72 W
答え
Pmax = 72 W
7.交流インピーダンスとフェーザ
答え: φ = 38.51 °
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
リアクタンス
XL = ωL = 2π·60·0.05 = 18.85 Ω
枝電流
両方の枝は電源に直接接続されているので、どちらにも電圧 V 全体がかかります。
IR = V/R = 24/15 = 1.6 A
IX = V/XL = 24/18.85 = 1.273 A
全電流
抵抗の電流は V と同相で、リアクタンスの電流は 90° 位相がずれているので、直角三角形の辺のように合成されます。
I = √(IR² + IX²) = √(1.6² + 1.273²) = 2.045 A
位相角
コイルの電流は V より遅れるので、全電流も遅れ、角度は正です。
φ = arctan(IX/IR) = arctan(1.273/1.6) = 38.51°
答え
φ = 38.51°
8.交流インピーダンスとフェーザ
答え: VL = 47.14 V
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
共振
共振時にはリアクタンスが打ち消し合うので、インピーダンスは R だけです。
ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.05·10·10⁻⁶) = 1414 rad/s
I = V/R = 10/15 = 0.6667 A
コイルの両端の電圧
XL = ω₀L = 1414·0.05 = 70.71 Ω
VL = I·XL = 0.6667·70.71 = 47.14 V
答え
VL = 47.14 V
これは電源電圧の Q = 4.714 倍です。
9.直流モーター
答え: η = 90.22 %
直流モーター：電機子は、逆起電力 E と直列の抵抗 Ra と見なせるので、V = E + Ia·Ra です。逆起電力は速度に比例して E = k·ω、トルクは電流に比例して T = k·Ia となり、SI 単位では同じモーター定数 k (V·s/rad = N·m/A) を使います。速度は ω = 2π·n/60 で換算します。発生電力は E·Ia = T·ω です。入力電力は V·Ia で、その差は銅損 Ia²Ra と回転損です。速度はトルクに対して直線的に下がり、ω = V/k − Ra·T/k² です。無負荷速度 V/k から、拘束トルク k·V/Ra で 0 になります。停止時には E = 0 なので、抵抗で制限しないかぎり始動電流 V/Ra は大きくなります。
電力
Pin = 120·15 = 1800 W
Pdev = 114·15 = 1710 W
Pout = 1710 − 86 = 1624 W
効率
η = 1624/1800·100 = 90.22 %
答え
η = 90.22 %
10.直流モーター
答え: Rs = 12.58 Ω
直流モーター：電機子は、逆起電力 E と直列の抵抗 Ra と見なせるので、V = E + Ia·Ra です。逆起電力は速度に比例して E = k·ω、トルクは電流に比例して T = k·Ia となり、SI 単位では同じモーター定数 k (V·s/rad = N·m/A) を使います。速度は ω = 2π·n/60 で換算します。発生電力は E·Ia = T·ω です。入力電力は V·Ia で、その差は銅損 Ia²Ra と回転損です。速度はトルクに対して直線的に下がり、ω = V/k − Ra·T/k² です。無負荷速度 V/k から、拘束トルク k·V/Ra で 0 になります。停止時には E = 0 なので、抵抗で制限しないかぎり始動電流 V/Ra は大きくなります。
電流と逆起電力
Ia = 0.4/0.2 = 2 A
E = 0.2·94.25 = 18.85 V
直列抵抗
Ra + Rs = (48 − 18.85)/2 = 14.58 Ω
Rs = 12.58 Ω
答え
Rs = 12.58 Ω
この抵抗器は 50.3 W を無駄にします。チョッパを使えば、ずっと少ない損失で速度を制御できます。
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