電力システムと電気機器：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

三相電力

Y 結線
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 結線
VL = Vph, IL = √3·Iph
全有効電力
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
皮相電力と無効電力
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
力率改善用コンデンサ
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
各コンデンサにかかる電圧
Δ：VL Y：VL/√3
モーターの入力
Pin = Pout/η

変圧器

巻数比
a = N1/N2 = V1/V2
電流比
I1/I2 = N2/N1 = 1/a
定格電流
I = S/V
換算インピーダンス
Z1′ = a²·ZL
部分負荷時の銅損
Pcu = x²·Pcu,fl
効率
η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
最大効率
x = √(Pcore/Pcu,fl)

交流電力と力率

有効電力
P = V·I·cos φ
無効電力
Q = V·I·sin φ
皮相電力
S = V·I = √(P² + Q²)
力率
pf = cos φ = P/S
力率改善用コンデンサ
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

交流インピーダンスとフェーザ

インピーダンス
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角周波数
ω = 2πf
大きさと偏角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
フェーザ表示のオームの法則
V = I·Z

解き方

  1. 周波数を換算します：ω = 2πf。
  2. 各リアクタンスを求めます：XL = ωL、XC = 1/(ωC)。
  3. インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
  4. 大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。

直流モーター

電機子回路
V = E + IaRa
逆起電力とトルク
E = k·ω, T = k·Ia
速さ
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
無負荷速度と拘束トルク
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
電力
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
始動
Istart = V/(Ra + Rst)
速度変動率
SR = (n0 − nFL)/nFL
最大発生電力
Pmax = V²/(4Ra)
チョッパ駆動
Va = D·Vdc

解き方

  1. 電機子回路を描きます：電源 V、抵抗 Ra、逆起電力 E が直列につながります。
  2. 電圧、電流、逆起電力を結びつけるには V = E + Ia·Ra を使います。
  3. 速度には E = k·ω、トルクには T = k·Ia を使います。ω = 2π·n/60 です。
  4. 電力と効率では、V·Ia から始めて、銅損 Ia²·Ra を引き、次に回転損を引きます。

2演習問題

1.三相電力ふつう
ABCVL​ = 480 VNZ = 18 + j24 Ω1 相あたり

1 相あたりのインピーダンスが 18 + j24 Ω の平衡 Y 結線負荷が、線間電圧 480 V の平衡三相電源に接続されている。 負荷が吸収する全有効電力 P を kW で求めよ。

VL = 480 VZ = 18 + j24 Ω 1 相あたり
P = kW
2.三相電力むずかしい
P = 120 kWφ1​S1​Q2​QC​

平衡三相負荷が、415 V（線間）、50 Hz の電源から遅れ力率 0.8 で 120 kW を消費している。負荷と並列に三相コンデンサバンクを接続し、全体の力率を遅れ 0.98 に改善する。有効電力は変わらない。 コンデンサは Δ 結線である。各コンデンサの静電容量 Cph を µF で求めよ。

P = 120 kWpf1 = 0.8pf2 = 0.98VL = 415 Vf = 50 Hz
Cph = µF
3.変圧器ふつう
16 ΩN1​N2​576 Ω

出力抵抗 576 Ω の増幅器が、理想変圧器を介して 16 Ω のスピーカーを駆動する。最大電力を伝えるには、増幅器から見てスピーカーが 576 Ω に見えなければならない。巻数比 a = N₁/N₂ を求めよ。

Rs = 576 ΩRL = 16 Ω
a =
4.変圧器むずかしい
pf 0.975 kVA, η = 97.5%

単相 75 kVA の変圧器の鉄損は 225 W である。 定格負荷、遅れ力率 0.9 での効率は 97.5% である。全負荷銅損 Pcu,fl を W で求めよ。

S = 75 kVAPcore = 225 Wpf = 0.9η = 97.5%
Pcu,fl = W
5.交流電力と力率ふつう
230 VR + jXP = 230 W2 A

誘導性負荷が 230 V（実効値）の単相電源から 2 A と 230 W を消費する。これを抵抗 R とリアクタンス X の直列回路としてモデル化する。 R を求めよ。

V = 230 VI = 2 AP = 230 W
R = Ω
6.交流電力と力率むずかしい
P = 20 kWQ1​S1​φ1​QC​

単相負荷が 240 V、50 Hz の電源から遅れ力率 0.6 で 20 kW を消費する。並列にコンデンサをつないで力率を 0.98 に改善する。 必要な静電容量 C を求めよ。

P = 20 kWpf1 = 0.6pf2 = 0.98V = 240 Vf = 50 Hz
C = µF
7.交流インピーダンスとフェーザふつう
100 V200 HzR = 100 ΩL = 50 mHI

抵抗とコイルが並列に、100 V（実効値）、200 Hz の電源に接続されている。 インピーダンスの大きさ |Z| を求めよ。

V = 100 V (rms)f = 200 HzR = 100 ΩL = 50 mH
|Z| = Ω
8.交流インピーダンスとフェーザむずかしい
50 V60 HzR = 80 ΩL = 150 mHC = 10 µFI

直列 RLC 回路を 50 V（実効値）、60 Hz の電源に接続する。 電流の実効値 I を求めよ。

V = 50 V (rms)f = 60 HzR = 80 ΩL = 150 mHC = 10 µF
I = A
9.直流モーターふつう
+−VRa​M+−En = 3000 rpmT = ?

直流モーターが 3000 rpm で機械的な電力 11 kW を出力します。軸トルク T を求めなさい。

P = 11 kWn = 3000 rpm
T = N·m
10.直流モーターむずかしい
+−220 VD = ?Ra​ = 1 ΩM+−En = 300 rpmT = 22.5 N·m

直流チョッパが、220 V の直流母線からモーター（k = 1.5 V·s/rad、Ra = 1 Ω）に給電します。電機子の平均電圧は D·220 V です。負荷 22.5 N·m で 300 rpm の運転となるデューティ比 D を求めなさい。

Vdc = 220 Vk = 1.5 V·s/radRa = 1 ΩT = 22.5 N·mn = 300 rpm
D = %

3溶液

1.三相電力

答え: P = 4.608 kW

平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、VL = √3·Vph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、IL = √3·Iph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。

相電圧

Vph = 480/√3 = 277.1 V

相電流

|Z| = √(18² + 24²) = 30 Ω
Iph = 277.1/30 = 9.238 A

全有効電力

有効電力を吸収するのは、各インピーダンスの抵抗分だけです。

P = 3·Iph²·R = 3·9.238²·18 = 4.608 kW

答え

P = 4.608 kW

確認：cos φ = R/|Z| = 0.6 で、√3·VL·IL·cos φ からも同じ電力が得られます。

2.三相電力

答え: Cph = 404.3 µF

平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、VL = √3·Vph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、IL = √3·Iph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 力率改善：コンデンサは無効電力をその場で供給します：QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。3 個のコンデンサはそれぞれ QC/3 = V²·ω·C を供給します。V はそのコンデンサにかかる電圧で、Δ バンクでは VL、Y バンクでは VL/√3 です。

改善前後の無効電力

有効電力は変わらないので、それぞれの力率から無効電力が決まります：Q = P·tan φ。

Q1 = 120·tan(acos 0.8) = 120·0.75 = 90 kvar
Q2 = 120·tan(acos 0.98) = 120·0.2031 = 24.37 kvar

コンデンサが供給する無効電力

QC = Q1 − Q2 = 65.63 kvar

1 相あたりの静電容量

Δ バンクでは、各コンデンサは 2 本の線の間に接続されています。

V = 415 V, ω = 2π·50 = 314.2 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 21878/(314.2·415²) = 404.3 µF

答え

Cph = 404.3 µF
3.変圧器

答え: a = 6

理想変圧器：電圧は巻数の比に、電流はその逆比になります：V₁/V₂ = N₁/N₂ = a、I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a。したがって入力電力と出力電力は等しく、V₁·I₁ = V₂·I₂ です。二次側の負荷インピーダンス Z は、一次側から見ると a²·Z に見えます。

換算した負荷を整合させる

a²·16 = 576
a = √(576/16) = √36 = 6

答え

a = 6
4.変圧器

答え: Pcu,fl = 1506 W

変圧器の損失：鉄損（ヒステリシス損と渦電流損）は電圧で決まり、負荷によらず一定です。巻線の銅損は電流の 2 乗に比例するので、定格負荷の x 倍の負荷では x²·Pcu,fl になります。効率 η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu)、ただし Pout = x·S·pf です。効率は銅損と鉄損が等しくなる負荷で最大になります。

出力と入力

Pout = 75·0.9 = 67.5 kW
Pin = 67500/0.975 = 69231 W

全損失と銅損

Ploss = 69231 − 67500 = 1731 W
Pcu,fl = 1731 − 225 = 1506 W

答え

Pcu,fl = 1506 W
5.交流電力と力率

答え: R = 57.5 Ω

交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。

有効電力からの抵抗

R = P/I² = 230/2² = 57.5 Ω

答え

R = 57.5 Ω
6.交流電力と力率

答え: C = 1249 µF

交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。

改善前後の無効電力

有効電力 P は変わらず、電源から取る無効電力だけが変わります。

Q1 = P·tan φ1 = 20·tan(53.13°) = 26.67 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 20·tan(11.48°) = 4.061 kvar
QC = Q1 − Q2 = 22.61 kvar

静電容量

電源に並列につないだコンデンサは Q = V²·ωC を供給します。

C = QC/(2πf·V²) = 22605/(2π·50·240²) = 1249 µF

答え

C = 1249 µF
7.交流インピーダンスとフェーザ

答え: |Z| = 53.2 Ω

フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。

リアクタンス

XL = ωL = 2π·200·0.05 = 62.83 Ω

枝電流

両方の枝は電源に直接接続されているので、どちらにも電圧 V 全体がかかります。

IR = V/R = 100/100 = 1 A
IX = V/XL = 100/62.83 = 1.592 A

全電流

抵抗の電流は V と同相で、リアクタンスの電流は 90° 位相がずれているので、直角三角形の辺のように合成されます。

I = √(IR² + IX²) = √(1² + 1.592²) = 1.88 A

インピーダンス

|Z| = V/I = 100/1.88 = 53.2 Ω

答え

|Z| = 53.2 Ω
8.交流インピーダンスとフェーザ

答え: I = 0.2237 A

フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。

リアクタンス

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s
XL = ωL = 377·0.15 = 56.55 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(377·10·10⁻⁶) = 265.3 Ω

インピーダンス

直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(XL − XC)。

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(80² + (−208.7)²) = 223.5 Ω

電流

直列回路ではすべての素子に同じ電流が流れます。

I = V/|Z| = 50/223.5 = 0.2237 A

答え

I = 0.2237 A
9.直流モーター

答え: T = 35.01 N·m

直流モーター：電機子は、逆起電力 E と直列の抵抗 Ra と見なせるので、V = E + Ia·Ra です。逆起電力は速度に比例して E = k·ω、トルクは電流に比例して T = k·Ia となり、SI 単位では同じモーター定数 k (V·s/rad = N·m/A) を使います。速度は ω = 2π·n/60 で換算します。発生電力は E·Ia = T·ω です。入力電力は V·Ia で、その差は銅損 Ia²Ra と回転損です。速度はトルクに対して直線的に下がり、ω = V/k − Ra·T/k² です。無負荷速度 V/k から、拘束トルク k·V/Ra で 0 になります。停止時には E = 0 なので、抵抗で制限しないかぎり始動電流 V/Ra は大きくなります。

rad/s での角速度

ω = 2π·3000/60 = 314.2 rad/s

トルク

T = P/ω = 11000/314.2 = 35.01 N·m

答え

T = 35.01 N·m
10.直流モーター

答え: D = 28.24 %

直流モーター：電機子は、逆起電力 E と直列の抵抗 Ra と見なせるので、V = E + Ia·Ra です。逆起電力は速度に比例して E = k·ω、トルクは電流に比例して T = k·Ia となり、SI 単位では同じモーター定数 k (V·s/rad = N·m/A) を使います。速度は ω = 2π·n/60 で換算します。発生電力は E·Ia = T·ω です。入力電力は V·Ia で、その差は銅損 Ia²Ra と回転損です。速度はトルクに対して直線的に下がり、ω = V/k − Ra·T/k² です。無負荷速度 V/k から、拘束トルク k·V/Ra で 0 になります。停止時には E = 0 なので、抵抗で制限しないかぎり始動電流 V/Ra は大きくなります。

必要な電機子電圧

Va = 1.5·31.42 + 15·1 = 62.12 V

デューティ比

D = 62.12/220 = 28.24 %

答え

D = 28.24 %

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