電力システムと電気機器：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

三相電力

Y 結線: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Δ 結線: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
全有効電力: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
皮相電力と無効電力: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
力率改善用コンデンサ: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
各コンデンサにかかる電圧: Δ：V_L Y：V_L/√3
モーターの入力: P_in = P_out/η

変圧器

巻数比: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
電流比: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
定格電流: I = S/V
換算インピーダンス: Z₁′ = a²·Z_L
部分負荷時の銅損: P_cu = x²·P_cu,fl
効率: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
最大効率: x = √(P_core/P_cu,fl)

交流電力と力率

有効電力: P = V·I·cos φ
無効電力: Q = V·I·sin φ
皮相電力: S = V·I = √(P² + Q²)
力率: pf = cos φ = P/S
力率改善用コンデンサ: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

交流インピーダンスとフェーザ

インピーダンス: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角周波数: ω = 2πf
大きさと偏角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
フェーザ表示のオームの法則: V = I·Z

解き方

周波数を換算します：ω = 2πf。
各リアクタンスを求めます：X_L = ωL、X_C = 1/(ωC)。
インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。

直流モーター

電機子回路: V = E + I_aR_a
逆起電力とトルク: E = k·ω, T = k·I_a
速さ: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
無負荷速度と拘束トルク: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
電力: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
始動: I_start = V/(R_a + R_st)
速度変動率: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
最大発生電力: P_max = V²/(4R_a)
チョッパ駆動: V_a = D·V_dc

解き方

電機子回路を描きます：電源 V、抵抗 R_a、逆起電力 E が直列につながります。
電圧、電流、逆起電力を結びつけるには V = E + I_a·R_a を使います。
速度には E = k·ω、トルクには T = k·I_a を使います。ω = 2π·n/60 です。
電力と効率では、V·I_a から始めて、銅損 I_a²·R_a を引き、次に回転損を引きます。

2演習問題

1.三相電力ふつう

1 相あたりのインピーダンスが 12 + j5 Ω の平衡 Y 結線負荷が、線間電圧 400 V の平衡三相電源に接続されている。負荷が吸収する全有効電力 P を kW で求めよ。

V_L = 400 VZ = 12 + j5 Ω 1 相あたり

P = kW

2.三相電力むずかしい

平衡三相負荷が、690 V（線間）、50 Hz の電源から遅れ力率 0.65 で 200 kW を消費している。負荷と並列に三相コンデンサバンクを接続し、全体の力率を遅れ 0.95 に改善する。有効電力は変わらない。コンデンサバンクが供給すべき全無効電力 Q_C を kvar で求めよ。

P = 200 kWpf₁ = 0.65pf₂ = 0.95V_L = 690 Vf = 50 Hz

Q_C = kvar

3.変圧器ふつう

単相 10 kVA、10000/400 V の変圧器が定格負荷で運転している。理想変圧器とみなす。低圧巻線の電流 I_LV を求めよ。

S = 10 kVAV₁ = 10000 VV₂ = 400 V

I_LV = A

4.変圧器むずかしい

単相 250 kVA の変圧器の鉄損は 2000 W である。定格負荷、遅れ力率 0.8 での効率は 98% である。全負荷銅損 P_cu,fl を W で求めよ。

S = 250 kVAP_core = 2000 Wpf = 0.8η = 98%

P_cu,fl = W

5.交流電力と力率ふつう

インピーダンス Z = 7 + j24 Ω の負荷が 230 V（実効値）の単相電源に接続されている。皮相電力 S を求めよ。

V = 230 VZ = 7 + j24 Ω

S = VA

6.交流電力と力率むずかしい

単相負荷が 230 V、50 Hz の電源から遅れ力率 0.7 で 15 kW を消費する。並列にコンデンサをつないで力率を 0.92 に改善する。新しい線電流 I_new を求めよ。

P = 15 kWpf₁ = 0.7pf₂ = 0.92V = 230 Vf = 50 Hz

I_new = A

7.交流インピーダンスとフェーザふつう

直列 RLC 回路を 24 V（実効値）、50 Hz の電源に接続する。インピーダンスの位相角 φ を度で求めよ（電流が電圧より遅れるとき正）。

V = 24 V (rms)f = 50 HzR = 80 ΩL = 50 mHC = 10 µF

φ = °

8.交流インピーダンスとフェーザむずかしい

直列 RLC 回路を、周波数を回路の共振周波数に設定した 5 V（実効値）の電源で駆動する。コイルの両端の電圧の実効値 V_L を求めよ。

V = 5 V (rms)R = 5 ΩL = 100 mHC = 2.2 µF

V_L = V

9.直流モーターふつう

直流モーターが 750 rpm で機械的な電力 5.5 kW を出力します。軸トルク T を求めなさい。

P = 5.5 kWn = 750 rpm

T = N·m

10.直流モーターむずかしい

他励直流モーター（全界磁で k = 0.8 V·s/rad、R_a = 0.4 Ω、V = 110 V）が、一定の負荷トルク 9.6 N·m を駆動しています。界磁磁束を全磁束の 90 % に減らします。新しい速度 n を求めなさい。

V = 110 Vk = 0.8 V·s/radR_a = 0.4 ΩT = 9.6 N·mΦ = 90 %

n = rpm

3溶液

1.三相電力

答え: P = 11.36 kW

相電圧

V_ph = 400/√3 = 230.9 V

相電流

|Z| = √(12² + 5²) = 13 Ω

I_ph = 230.9/13 = 17.76 A

全有効電力

有効電力を吸収するのは、各インピーダンスの抵抗分だけです。

P = 3·I_ph²·R = 3·17.76²·12 = 11.36 kW

答え

P = 11.36 kW

確認：cos φ = R/|Z| = 0.9231 で、√3·V_L·I_L·cos φ からも同じ電力が得られます。

2.三相電力

答え: Q_C = 168.1 kvar

平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、V_L = √3·V_ph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、I_L = √3·I_ph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ。 力率改善：コンデンサは無効電力をその場で供給します：Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂)。3 個のコンデンサはそれぞれ Q_C/3 = V²·ω·C を供給します。V はそのコンデンサにかかる電圧で、Δ バンクでは V_L、Y バンクでは V_L/√3 です。

改善前後の無効電力

有効電力は変わらないので、それぞれの力率から無効電力が決まります：Q = P·tan φ。

Q₁ = 200·tan(acos 0.65) = 200·1.169 = 233.8 kvar

Q₂ = 200·tan(acos 0.95) = 200·0.3287 = 65.74 kvar

コンデンサが供給する無効電力

Q_C = Q₁ − Q₂ = 168.1 kvar

答え

Q_C = 168.1 kvar

3.変圧器

答え: I_LV = 25 A

理想変圧器：電圧は巻数の比に、電流はその逆比になります：V₁/V₂ = N₁/N₂ = a、I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a。したがって入力電力と出力電力は等しく、V₁·I₁ = V₂·I₂ です。二次側の負荷インピーダンス Z は、一次側から見ると a²·Z に見えます。

定格電流

両方の巻線に同じ皮相電力が流れます。

I_LV = S/V = 10000/400 = 25 A

答え

I_LV = 25 A

4.変圧器

答え: P_cu,fl = 2082 W

変圧器の損失：鉄損（ヒステリシス損と渦電流損）は電圧で決まり、負荷によらず一定です。巻線の銅損は電流の 2 乗に比例するので、定格負荷の x 倍の負荷では x²·P_cu,fl になります。効率 η = P_out/(P_out + P_core + P_cu)、ただし P_out = x·S·pf です。効率は銅損と鉄損が等しくなる負荷で最大になります。

出力と入力

P_out = 250·0.8 = 200 kW

P_in = 200000/0.98 = 204082 W

全損失と銅損

P_loss = 204082 − 200000 = 4082 W

P_cu,fl = 4082 − 2000 = 2082 W

答え

P_cu,fl = 2082 W

5.交流電力と力率

答え: S = 2116 VA

交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。

電流

|Z| = √(7² + 24²) = 25 Ω

I = V/|Z| = 230/25 = 9.2 A

皮相電力

S = V·I = 230·9.2 = 2116 VA

答え

S = 2116 VA

6.交流電力と力率

答え: I_new = 70.89 A

改善前後の無効電力

有効電力 P は変わらず、電源から取る無効電力だけが変わります。

Q₁ = P·tan φ₁ = 15·tan(45.57°) = 15.3 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 15·tan(23.07°) = 6.39 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 8.913 kvar

新しい線電流

I_new = P/(V·cos φ₂) = 15000/(230·0.92) = 70.89 A

答え

I_new = 70.89 A

7.交流インピーダンスとフェーザ

答え: φ = −75.19 °

フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。

リアクタンス

ω = 2πf = 2π·50 = 314.2 rad/s

X_L = ωL = 314.2·0.05 = 15.71 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(314.2·10·10⁻⁶) = 318.3 Ω

インピーダンス

直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(X_L − X_C)。

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(80² + (−302.6)²) = 313 Ω

位相角

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(−302.6/80) = −75.19°

答え

φ = −75.19°

8.交流インピーダンスとフェーザ

答え: V_L = 213.2 V

共振

共振時にはリアクタンスが打ち消し合うので、インピーダンスは R だけです。

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.1·2.2·10⁻⁶) = 2132 rad/s

I = V/R = 5/5 = 1 A

コイルの両端の電圧

X_L = ω₀L = 2132·0.1 = 213.2 Ω

V_L = I·X_L = 1·213.2 = 213.2 V

答え

V_L = 213.2 V

これは電源電圧の Q = 42.64 倍です。

9.直流モーター

答え: T = 70.03 N·m

直流モーター：電機子は、逆起電力 E と直列の抵抗 R_a と見なせるので、V = E + I_a·R_a です。逆起電力は速度に比例して E = k·ω、トルクは電流に比例して T = k·I_a となり、SI 単位では同じモーター定数 k (V·s/rad = N·m/A) を使います。速度は ω = 2π·n/60 で換算します。発生電力は E·I_a = T·ω です。入力電力は V·I_a で、その差は銅損 I_a²R_a と回転損です。速度はトルクに対して直線的に下がり、ω = V/k − R_a·T/k² です。無負荷速度 V/k から、拘束トルク k·V/R_a で 0 になります。停止時には E = 0 なので、抵抗で制限しないかぎり始動電流 V/R_a は大きくなります。

rad/s での角速度

ω = 2π·750/60 = 78.54 rad/s

トルク

T = P/ω = 5500/78.54 = 70.03 N·m

答え

T = 70.03 N·m

10.直流モーター

答え: n = 1388 rpm

弱めたあとのモーター定数

k₂ = 0.9·0.8 = 0.72 V·s/rad

新しい電機子電流

I_a = 9.6/0.72 = 13.33 A

新しい速度

ω = (110 − 13.33·0.4)/0.72 = 145.4 rad/s → n = 1388 rpm

答え

n = 1388 rpm

界磁弱めは、直流ドライブが基底速度より高い速度で運転する方法です。

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