電力システムと電気機器：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

三相電力

Y 結線: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Δ 結線: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
全有効電力: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
皮相電力と無効電力: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
力率改善用コンデンサ: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
各コンデンサにかかる電圧: Δ：V_L Y：V_L/√3
モーターの入力: P_in = P_out/η

変圧器

巻数比: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
電流比: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
定格電流: I = S/V
換算インピーダンス: Z₁′ = a²·Z_L
部分負荷時の銅損: P_cu = x²·P_cu,fl
効率: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
最大効率: x = √(P_core/P_cu,fl)

交流電力と力率

有効電力: P = V·I·cos φ
無効電力: Q = V·I·sin φ
皮相電力: S = V·I = √(P² + Q²)
力率: pf = cos φ = P/S
力率改善用コンデンサ: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

交流インピーダンスとフェーザ

インピーダンス: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角周波数: ω = 2πf
大きさと偏角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
フェーザ表示のオームの法則: V = I·Z

解き方

周波数を換算します：ω = 2πf。
各リアクタンスを求めます：X_L = ωL、X_C = 1/(ωC)。
インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。

直流モーター

電機子回路: V = E + I_aR_a
逆起電力とトルク: E = k·ω, T = k·I_a
速さ: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
無負荷速度と拘束トルク: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
電力: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
始動: I_start = V/(R_a + R_st)
速度変動率: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
最大発生電力: P_max = V²/(4R_a)
チョッパ駆動: V_a = D·V_dc

解き方

電機子回路を描きます：電源 V、抵抗 R_a、逆起電力 E が直列につながります。
電圧、電流、逆起電力を結びつけるには V = E + I_a·R_a を使います。
速度には E = k·ω、トルクには T = k·I_a を使います。ω = 2π·n/60 です。
電力と効率では、V·I_a から始めて、銅損 I_a²·R_a を引き、次に回転損を引きます。

2演習問題

1.三相電力ふつう

1 相あたりのインピーダンスが 24 + j18 Ω の平衡 Y 結線負荷が、線間電圧 480 V の平衡三相電源に接続されている。負荷が吸収する全有効電力 P を kW で求めよ。

V_L = 480 VZ = 24 + j18 Ω 1 相あたり

P = kW

2.三相電力むずかしい

平衡三相負荷が、415 V（線間）、60 Hz の電源から遅れ力率 0.78 で 60 kW を消費している。負荷と並列に三相コンデンサバンクを接続し、全体の力率を遅れ 0.98 に改善する。有効電力は変わらない。コンデンサは Y 結線である。各コンデンサの静電容量 C_ph を µF で求めよ。

P = 60 kWpf₁ = 0.78pf₂ = 0.98V_L = 415 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

3.変圧器ふつう

巻数比 N₁:N₂ = 2:1 の理想変圧器の一次巻線に 240 V を加える。二次巻線に 60 Ω の抵抗を接続する。一次電流 I₁ を求めよ。

N₁:N₂ = 2:1V₁ = 240 VR_L = 60 Ω

I₁ = A

4.変圧器むずかしい

単相 75 kVA の変圧器の鉄損は 375 W である。定格負荷、遅れ力率 0.85 での効率は 98.8% である。全負荷銅損 P_cu,fl を W で求めよ。

S = 75 kVAP_core = 375 Wpf = 0.85η = 98.8%

P_cu,fl = W

5.交流電力と力率ふつう

2 つの負荷が 230 V の単相電源に並列に接続されている：遅れ力率 0.65 の 8 kW の負荷と、17 kW のヒーター（力率 1）。電源から見た全体の力率 cos φ を求めよ。

V = 230 VP₁ = 8 kW, pf₁ = 0.65 遅れP₂ = 17 kW, pf₂ = 1

cos φ =

6.交流電力と力率むずかしい

単相負荷が 400 V、50 Hz の電源から遅れ力率 0.7 で 20 kW を消費する。並列にコンデンサをつないで力率を 0.92 に改善する。新しい線電流 I_new を求めよ。

P = 20 kWpf₁ = 0.7pf₂ = 0.92V = 400 Vf = 50 Hz

I_new = A

7.交流インピーダンスとフェーザふつう

直列 RLC 回路を 120 V（実効値）、500 Hz の電源に接続する。電流の実効値 I を求めよ。

V = 120 V (rms)f = 500 HzR = 60 ΩL = 100 mHC = 1 µF

I = A

8.交流インピーダンスとフェーザむずかしい

直列 RLC 回路の R = 100 Ω、L = 1 mH、C = 0.022 µF である。帯域幅 B（半電力周波数の間の帯域の幅）を Hz で求めよ。

R = 100 ΩL = 1 mHC = 0.022 µF

B = Hz

9.直流モーターふつう

k = 2 N·m/A、R_a = 1.2 Ω の直流モーターを 220 V につなぎます。速度 0 でのトルク、すなわち拘束トルク T_stall を求めなさい。

V = 220 Vk = 2 N·m/AR_a = 1.2 Ω

T_stall = N·m

10.直流モーターむずかしい

固定の 110 V の電源で動作する直流モーター（k = 0.75 V·s/rad、R_a = 2 Ω）が、3 N·m の負荷を駆動しています。速度を 900 rpm まで下げる直列抵抗 R_s を求めなさい。

V = 110 Vk = 0.75 V·s/radR_a = 2 ΩT = 3 N·mn = 900 rpm

R_s = Ω

3溶液

1.三相電力

答え: P = 6.144 kW

相電圧

V_ph = 480/√3 = 277.1 V

相電流

|Z| = √(24² + 18²) = 30 Ω

I_ph = 277.1/30 = 9.238 A

全有効電力

有効電力を吸収するのは、各インピーダンスの抵抗分だけです。

P = 3·I_ph²·R = 3·9.238²·24 = 6.144 kW

答え

P = 6.144 kW

確認：cos φ = R/|Z| = 0.8 で、√3·V_L·I_L·cos φ からも同じ電力が得られます。

2.三相電力

答え: C_ph = 553.7 µF

平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、V_L = √3·V_ph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、I_L = √3·I_ph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ。 力率改善：コンデンサは無効電力をその場で供給します：Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂)。3 個のコンデンサはそれぞれ Q_C/3 = V²·ω·C を供給します。V はそのコンデンサにかかる電圧で、Δ バンクでは V_L、Y バンクでは V_L/√3 です。

改善前後の無効電力

有効電力は変わらないので、それぞれの力率から無効電力が決まります：Q = P·tan φ。

Q₁ = 60·tan(acos 0.78) = 60·0.8023 = 48.14 kvar

Q₂ = 60·tan(acos 0.98) = 60·0.2031 = 12.18 kvar

コンデンサが供給する無効電力

Q_C = Q₁ − Q₂ = 35.95 kvar

1 相あたりの静電容量

Y バンクでは、各コンデンサは線と中性点の間に接続されています。

V = 415/√3 = 239.6 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 11984/(377·239.6²) = 553.7 µF

答え

C_ph = 553.7 µF

3.変圧器

答え: I₁ = 1 A

理想変圧器：電圧は巻数の比に、電流はその逆比になります：V₁/V₂ = N₁/N₂ = a、I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a。したがって入力電力と出力電力は等しく、V₁·I₁ = V₂·I₂ です。二次側の負荷インピーダンス Z は、一次側から見ると a²·Z に見えます。

二次電圧と二次電流

V₂ = 240/2 = 120 V

I₂ = 120/60 = 2 A

一次電流

理想変圧器には損失がありません：V₁·I₁ = V₂·I₂。

I₁ = I₂/2 = 1 A

答え

I₁ = 1 A

確認：一次側から見た負荷は a²·R_L = 240 Ω で、240/240 からも同じ電流が得られます。

4.変圧器

答え: P_cu,fl = 399.3 W

変圧器の損失：鉄損（ヒステリシス損と渦電流損）は電圧で決まり、負荷によらず一定です。巻線の銅損は電流の 2 乗に比例するので、定格負荷の x 倍の負荷では x²·P_cu,fl になります。効率 η = P_out/(P_out + P_core + P_cu)、ただし P_out = x·S·pf です。効率は銅損と鉄損が等しくなる負荷で最大になります。

出力と入力

P_out = 75·0.85 = 63.75 kW

P_in = 63750/0.988 = 64524 W

全損失と銅損

P_loss = 64524 − 63750 = 774.3 W

P_cu,fl = 774.3 − 375 = 399.3 W

答え

P_cu,fl = 399.3 W

5.交流電力と力率

答え: cos φ = 0.9366

交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。

各負荷の無効電力

遅れ負荷は無効電力を消費し（Q > 0）、進み負荷は無効電力を供給します（Q < 0）。

Q₁ = 8·tan(arccos 0.65) = 9.353 kvar

Q₂ = 0 = 0 kvar

合計

P = 8 + 17 = 25 kW

Q = 9.353 + 0 = 9.353 kvar

S = √(25² + 9.353²) = 26.69 kVA

全体の力率

cos φ = P/S = 25/26.69 = 0.9366 遅れ

答え

cos φ = 0.9366

6.交流電力と力率

答え: I_new = 54.35 A

改善前後の無効電力

有効電力 P は変わらず、電源から取る無効電力だけが変わります。

Q₁ = P·tan φ₁ = 20·tan(45.57°) = 20.4 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 20·tan(23.07°) = 8.52 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 11.88 kvar

新しい線電流

I_new = P/(V·cos φ₂) = 20000/(400·0.92) = 54.35 A

答え

I_new = 54.35 A

7.交流インピーダンスとフェーザ

答え: I = 1.995 A

フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。

リアクタンス

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0.1 = 314.2 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·1·10⁻⁶) = 318.3 Ω

インピーダンス

直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(X_L − X_C)。

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(60² + (−4.151)²) = 60.14 Ω

電流

直列回路ではすべての素子に同じ電流が流れます。

I = V/|Z| = 120/60.14 = 1.995 A

答え

I = 1.995 A

8.交流インピーダンスとフェーザ

答え: B = 15915 Hz

共振周波数

f₀ = 1/(2π·√(0.001·0.022·10⁻⁶)) = 33932 Hz

Q 値

Q は共振時のリアクタンスを抵抗と比べたものです：Q = ω₀L/R。

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/100)·√(0.001/(0.022·10⁻⁶)) = 2.132

帯域幅

B = f₀/Q = 33932/2.132 = 15915 Hz

答え

B = 15915 Hz

9.直流モーター

答え: T_stall = 366.7 N·m

直流モーター：電機子は、逆起電力 E と直列の抵抗 R_a と見なせるので、V = E + I_a·R_a です。逆起電力は速度に比例して E = k·ω、トルクは電流に比例して T = k·I_a となり、SI 単位では同じモーター定数 k (V·s/rad = N·m/A) を使います。速度は ω = 2π·n/60 で換算します。発生電力は E·I_a = T·ω です。入力電力は V·I_a で、その差は銅損 I_a²R_a と回転損です。速度はトルクに対して直線的に下がり、ω = V/k − R_a·T/k² です。無負荷速度 V/k から、拘束トルク k·V/R_a で 0 になります。停止時には E = 0 なので、抵抗で制限しないかぎり始動電流 V/R_a は大きくなります。

拘束電流

I_a = V/R_a = 220/1.2 = 183.3 A

拘束トルク

T_stall = 2·183.3 = 366.7 N·m

答え

T_stall = 366.7 N·m

10.直流モーター

答え: R_s = 7.829 Ω

電流と逆起電力

I_a = 3/0.75 = 4 A

E = 0.75·94.25 = 70.69 V

直列抵抗

R_a + R_s = (110 − 70.69)/4 = 9.829 Ω

R_s = 7.829 Ω

答え

R_s = 7.829 Ω

この抵抗器は 125.3 W を無駄にします。チョッパを使えば、ずっと少ない損失で速度を制御できます。

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