三相電力
- Y 結線
- VL = √3·Vph, IL = Iph
- Δ 結線
- VL = Vph, IL = √3·Iph
- 全有効電力
- P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
- 皮相電力と無効電力
- S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
- 力率改善用コンデンサ
- QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
- 各コンデンサにかかる電圧
- Δ：VL Y：VL/√3
- モーターの入力
- Pin = Pout/η
電力システムと電気機器：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
変圧器
- 巻数比
- a = N1/N2 = V1/V2
- 電流比
- I1/I2 = N2/N1 = 1/a
- 定格電流
- I = S/V
- 換算インピーダンス
- Z1′ = a²·ZL
- 部分負荷時の銅損
- Pcu = x²·Pcu,fl
- 効率
- η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
- 最大効率
- x = √(Pcore/Pcu,fl)
交流電力と力率
- 有効電力
- P = V·I·cos φ
- 無効電力
- Q = V·I·sin φ
- 皮相電力
- S = V·I = √(P² + Q²)
- 力率
- pf = cos φ = P/S
- 力率改善用コンデンサ
- QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
交流インピーダンスとフェーザ
- インピーダンス
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角周波数
- ω = 2πf
- 大きさと偏角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- フェーザ表示のオームの法則
- V = I·Z
解き方
- 周波数を換算します：ω = 2πf。
- 各リアクタンスを求めます：XL = ωL、XC = 1/(ωC)。
- インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
- 大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。
直流モーター
- 電機子回路
- V = E + IaRa
- 逆起電力とトルク
- E = k·ω, T = k·Ia
- 速さ
- ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
- 無負荷速度と拘束トルク
- ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
- 電力
- Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
- 始動
- Istart = V/(Ra + Rst)
- 速度変動率
- SR = (n0 − nFL)/nFL
- 最大発生電力
- Pmax = V²/(4Ra)
- チョッパ駆動
- Va = D·Vdc
解き方
- 電機子回路を描きます：電源 V、抵抗 Ra、逆起電力 E が直列につながります。
- 電圧、電流、逆起電力を結びつけるには V = E + Ia·Ra を使います。
- 速度には E = k·ω、トルクには T = k·Ia を使います。ω = 2π·n/60 です。
- 電力と効率では、V·Ia から始めて、銅損 Ia²·Ra を引き、次に回転損を引きます。
2演習問題
1.三相電力ふつう
1 相あたりのインピーダンスが 3 + j4 Ω の平衡 Y 結線負荷が、線間電圧 480 V の平衡三相電源に接続されている。 負荷が吸収する全有効電力 P を kW で求めよ。
VL = 480 VZ = 3 + j4 Ω 1 相あたり
P = kW
2.三相電力むずかしい
平衡三相負荷が、415 V（線間）、60 Hz の電源から遅れ力率 0.78 で 300 kW を消費している。負荷と並列に三相コンデンサバンクを接続し、全体の力率を遅れ 0.98 に改善する。有効電力は変わらない。 コンデンサは Y 結線である。各コンデンサの静電容量 Cph を µF で求めよ。
P = 300 kWpf1 = 0.78pf2 = 0.98VL = 415 Vf = 60 Hz
Cph = µF
3.変圧器ふつう
単相 500 kVA、4160/480 V の変圧器が定格負荷で運転している。理想変圧器とみなす。低圧巻線の電流 ILV を求めよ。
S = 500 kVAV1 = 4160 VV2 = 480 V
ILV = A
4.変圧器むずかしい
単相 150 kVA の変圧器の鉄損は 750 W である。 定格負荷、遅れ力率 0.8 での効率は 98.8% である。全負荷銅損 Pcu,fl を W で求めよ。
S = 150 kVAPcore = 750 Wpf = 0.8η = 98.8%
Pcu,fl = W
5.交流電力と力率ふつう
単相モーターが 230 V の電源から、遅れ力率 0.7 で 12 kW を消費する。 線電流 I を求めよ。
P = 12 kWpf = 0.7V = 230 V
I = A
6.交流電力と力率むずかしい
単相負荷が 230 V、60 Hz の電源から、遅れ力率 0.65 で 24 kW を消費する。330 µF のコンデンサを負荷と並列に接続する。 電源から見た新しい力率 cos φ を求めよ。
P = 24 kWpf1 = 0.65V = 230 Vf = 60 HzC = 330 µF
cos φ =
7.交流インピーダンスとフェーザふつう
L = 200 mH の直列 RLC 回路を 500 Hz で共振させなければならない。必要な静電容量 C を求めよ。
f0 = 500 HzL = 200 mH
C = µF
8.交流インピーダンスとフェーザむずかしい
直列 RLC 回路を 12 V（実効値）、50 Hz の電源に接続する。 コンデンサの両端電圧の実効値 VC を求めよ。
V = 12 V (rms)f = 50 HzR = 100 ΩL = 250 mHC = 2.2 µF
VC = V
9.直流モーターふつう
k = 0.2 N·m/A、Ra = 0.2 Ω の直流モーターを 24 V につなぎます。速度 0 でのトルク、すなわち拘束トルク Tstall を求めなさい。
V = 24 Vk = 0.2 N·m/ARa = 0.2 Ω
Tstall = N·m
10.直流モーターむずかしい
固定の 120 V の電源で動作する直流モーター（k = 1.2 V·s/rad、Ra = 0.5 Ω）が、18 N·m の負荷を駆動しています。速度を 750 rpm まで下げる直列抵抗 Rs を求めなさい。
V = 120 Vk = 1.2 V·s/radRa = 0.5 ΩT = 18 N·mn = 750 rpm
Rs = Ω
3溶液
1.三相電力
答え: P = 27.65 kW
平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、VL = √3·Vph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、IL = √3·Iph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。
相電圧
Vph = 480/√3 = 277.1 V
相電流
|Z| = √(3² + 4²) = 5 Ω
Iph = 277.1/5 = 55.43 A
全有効電力
有効電力を吸収するのは、各インピーダンスの抵抗分だけです。
P = 3·Iph²·R = 3·55.43²·3 = 27.65 kW
答え
P = 27.65 kW
確認：cos φ = R/|Z| = 0.6 で、√3·VL·IL·cos φ からも同じ電力が得られます。
2.三相電力
答え: Cph = 2769 µF
平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、VL = √3·Vph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、IL = √3·Iph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 力率改善：コンデンサは無効電力をその場で供給します：QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。3 個のコンデンサはそれぞれ QC/3 = V²·ω·C を供給します。V はそのコンデンサにかかる電圧で、Δ バンクでは VL、Y バンクでは VL/√3 です。
改善前後の無効電力
有効電力は変わらないので、それぞれの力率から無効電力が決まります：Q = P·tan φ。
Q1 = 300·tan(acos 0.78) = 300·0.8023 = 240.7 kvar
Q2 = 300·tan(acos 0.98) = 300·0.2031 = 60.92 kvar
コンデンサが供給する無効電力
QC = Q1 − Q2 = 179.8 kvar
1 相あたりの静電容量
Y バンクでは、各コンデンサは線と中性点の間に接続されています。
V = 415/√3 = 239.6 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 59922/(377·239.6²) = 2769 µF
答え
Cph = 2769 µF
3.変圧器
答え: ILV = 1042 A
理想変圧器：電圧は巻数の比に、電流はその逆比になります：V₁/V₂ = N₁/N₂ = a、I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a。したがって入力電力と出力電力は等しく、V₁·I₁ = V₂·I₂ です。二次側の負荷インピーダンス Z は、一次側から見ると a²·Z に見えます。
定格電流
両方の巻線に同じ皮相電力が流れます。
ILV = S/V = 500000/480 = 1042 A
答え
ILV = 1042 A
4.変圧器
答え: Pcu,fl = 707.5 W
変圧器の損失：鉄損（ヒステリシス損と渦電流損）は電圧で決まり、負荷によらず一定です。巻線の銅損は電流の 2 乗に比例するので、定格負荷の x 倍の負荷では x²·Pcu,fl になります。効率 η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu)、ただし Pout = x·S·pf です。効率は銅損と鉄損が等しくなる負荷で最大になります。
出力と入力
Pout = 150·0.8 = 120 kW
Pin = 120000/0.988 = 121457 W
全損失と銅損
Ploss = 121457 − 120000 = 1457 W
Pcu,fl = 1457 − 750 = 707.5 W
答え
Pcu,fl = 707.5 W
5.交流電力と力率
答え: I = 74.53 A
交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。
線電流
仕事をするのは有効分だけなので、力率で割ります。
I = P/(V·cos φ) = 12000/(230·0.7) = 74.53 A
答え
I = 74.53 A
6.交流電力と力率
答え: cos φ = 0.7452
交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。
改善前後の無効電力
有効電力 P は変わらず、電源から取る無効電力だけが変わります。
Q1 = 24·tan(arccos 0.65) = 28.06 kvar
QC = V²·2πf·C = 230²·2π·60·330·10⁻⁶ = 6581 var = 6.581 kvar
Q2 = 28.06 − 6.581 = 21.48 kvar
新しい皮相電力
S2 = √(24² + 21.48²) = 32.21 kVA
新しい力率
cos φ = P/S2 = 24/32.21 = 0.7452
答え
cos φ = 0.7452
7.交流インピーダンスとフェーザ
答え: C = 0.5066 µF
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
共振条件
共振時には誘導性リアクタンスと容量性リアクタンスが打ち消し合います：ωL = 1/(ωC)。
ω₀ = 2π·500 = 3142 rad/s
C = 1/(ω₀²·L) = 1/(3142²·0.2) = 0.5066 µF
答え
C = 0.5066 µF
8.交流インピーダンスとフェーザ
答え: VC = 12.66 V
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
リアクタンス
ω = 2πf = 2π·50 = 314.2 rad/s
XL = ωL = 314.2·0.25 = 78.54 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(314.2·2.2·10⁻⁶) = 1447 Ω
インピーダンス
直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(XL − XC)。
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(100² + (−1368)²) = 1372 Ω
電流
直列回路ではすべての素子に同じ電流が流れます。
I = V/|Z| = 12/1372 = 0.008747 A
コンデンサの電圧
VC = I·XC = 0.008747·1447 = 12.66 V
答え
VC = 12.66 V
9.直流モーター
答え: Tstall = 24 N·m
直流モーター：電機子は、逆起電力 E と直列の抵抗 Ra と見なせるので、V = E + Ia·Ra です。逆起電力は速度に比例して E = k·ω、トルクは電流に比例して T = k·Ia となり、SI 単位では同じモーター定数 k (V·s/rad = N·m/A) を使います。速度は ω = 2π·n/60 で換算します。発生電力は E·Ia = T·ω です。入力電力は V·Ia で、その差は銅損 Ia²Ra と回転損です。速度はトルクに対して直線的に下がり、ω = V/k − Ra·T/k² です。無負荷速度 V/k から、拘束トルク k·V/Ra で 0 になります。停止時には E = 0 なので、抵抗で制限しないかぎり始動電流 V/Ra は大きくなります。
拘束電流
Ia = V/Ra = 24/0.2 = 120 A
拘束トルク
Tstall = 0.2·120 = 24 N·m
答え
Tstall = 24 N·m
10.直流モーター
答え: Rs = 1.217 Ω
直流モーター：電機子は、逆起電力 E と直列の抵抗 Ra と見なせるので、V = E + Ia·Ra です。逆起電力は速度に比例して E = k·ω、トルクは電流に比例して T = k·Ia となり、SI 単位では同じモーター定数 k (V·s/rad = N·m/A) を使います。速度は ω = 2π·n/60 で換算します。発生電力は E·Ia = T·ω です。入力電力は V·Ia で、その差は銅損 Ia²Ra と回転損です。速度はトルクに対して直線的に下がり、ω = V/k − Ra·T/k² です。無負荷速度 V/k から、拘束トルク k·V/Ra で 0 になります。停止時には E = 0 なので、抵抗で制限しないかぎり始動電流 V/Ra は大きくなります。
電流と逆起電力
Ia = 18/1.2 = 15 A
E = 1.2·78.54 = 94.25 V
直列抵抗
Ra + Rs = (120 − 94.25)/15 = 1.717 Ω
Rs = 1.217 Ω
答え
Rs = 1.217 Ω
この抵抗器は 273.8 W を無駄にします。チョッパを使えば、ずっと少ない損失で速度を制御できます。
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