三相電力
- Y 結線
- VL = √3·Vph, IL = Iph
- Δ 結線
- VL = Vph, IL = √3·Iph
- 全有効電力
- P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
- 皮相電力と無効電力
- S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
- 力率改善用コンデンサ
- QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
- 各コンデンサにかかる電圧
- Δ：VL Y：VL/√3
- モーターの入力
- Pin = Pout/η
電力システムと電気機器：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
変圧器
- 巻数比
- a = N1/N2 = V1/V2
- 電流比
- I1/I2 = N2/N1 = 1/a
- 定格電流
- I = S/V
- 換算インピーダンス
- Z1′ = a²·ZL
- 部分負荷時の銅損
- Pcu = x²·Pcu,fl
- 効率
- η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
- 最大効率
- x = √(Pcore/Pcu,fl)
交流電力と力率
- 有効電力
- P = V·I·cos φ
- 無効電力
- Q = V·I·sin φ
- 皮相電力
- S = V·I = √(P² + Q²)
- 力率
- pf = cos φ = P/S
- 力率改善用コンデンサ
- QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
交流インピーダンスとフェーザ
- インピーダンス
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角周波数
- ω = 2πf
- 大きさと偏角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- フェーザ表示のオームの法則
- V = I·Z
解き方
- 周波数を換算します：ω = 2πf。
- 各リアクタンスを求めます：XL = ωL、XC = 1/(ωC)。
- インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
- 大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。
直流モーター
- 電機子回路
- V = E + IaRa
- 逆起電力とトルク
- E = k·ω, T = k·Ia
- 速さ
- ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
- 無負荷速度と拘束トルク
- ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
- 電力
- Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
- 始動
- Istart = V/(Ra + Rst)
- 速度変動率
- SR = (n0 − nFL)/nFL
- 最大発生電力
- Pmax = V²/(4Ra)
- チョッパ駆動
- Va = D·Vdc
解き方
- 電機子回路を描きます：電源 V、抵抗 Ra、逆起電力 E が直列につながります。
- 電圧、電流、逆起電力を結びつけるには V = E + Ia·Ra を使います。
- 速度には E = k·ω、トルクには T = k·Ia を使います。ω = 2π·n/60 です。
- 電力と効率では、V·Ia から始めて、銅損 Ia²·Ra を引き、次に回転損を引きます。
2演習問題
1.三相電力ふつう
平衡三相負荷が、線間電圧 400 V の電源から線電流 100 A を流している。力率は遅れ 0.75 である。負荷が消費する全有効電力 P を kW で求めよ。
VL = 400 VIL = 100 Acos φ = 0.75
P = kW
2.三相電力むずかしい
平衡三相負荷が、480 V（線間）、60 Hz の電源から遅れ力率 0.7 で 300 kW を消費している。負荷と並列に三相コンデンサバンクを接続し、全体の力率を遅れ 0.95 に改善する。有効電力は変わらない。 コンデンサは Δ 結線である。各コンデンサの静電容量 Cph を µF で求めよ。
P = 300 kWpf1 = 0.7pf2 = 0.95VL = 480 Vf = 60 Hz
Cph = µF
3.変圧器ふつう
巻数比 N₁:N₂ = 20:1 の理想変圧器の一次巻線に 2400 V を加える。二次巻線に 5 Ω の抵抗を接続する。一次電流 I1 を求めよ。
N1:N2 = 20:1V1 = 2400 VRL = 5 Ω
I1 = A
4.変圧器むずかしい
単相 500 kVA の変圧器の鉄損は 2000 W である。 定格負荷、遅れ力率 0.85 での効率は 98.2% である。全負荷銅損 Pcu,fl を W で求めよ。
S = 500 kVAPcore = 2000 Wpf = 0.85η = 98.2%
Pcu,fl = W
5.交流電力と力率ふつう
単相モーターが 240 V の電源から、遅れ力率 0.65 で 8 kW を消費する。 モーターの無効電力 Q を求めよ。
P = 8 kWpf = 0.65V = 240 V
Q = kvar
6.交流電力と力率むずかしい
単相負荷が 230 V、60 Hz の電源から遅れ力率 0.75 で 25 kW を消費する。並列にコンデンサをつないで力率を 0.9 に改善する。 コンデンサが供給すべき無効電力 QC を求めよ。
P = 25 kWpf1 = 0.75pf2 = 0.9V = 230 Vf = 60 Hz
QC = kvar
7.交流インピーダンスとフェーザふつう
直列 RLC 回路を 50 V（実効値）、1000 Hz の電源に接続する。 電流の実効値 I を求めよ。
V = 50 V (rms)f = 1000 HzR = 80 ΩL = 50 mHC = 4.7 µF
I = A
8.交流インピーダンスとフェーザむずかしい
直列 RLC 回路を 10 V（実効値）、200 Hz の電源に接続する。 コンデンサの両端電圧の実効値 VC を求めよ。
V = 10 V (rms)f = 200 HzR = 30 ΩL = 200 mHC = 10 µF
VC = V
9.直流モーターふつう
直流モーター（k = 0.08 V·s/rad、Ra = 0.5 Ω）が 24 V で動作します。全負荷時に 6 A が流れます。無負荷電流を無視して、速度変動率 SR = (n₀ − nFL)/nFL を百分率で求めなさい。
V = 24 Vk = 0.08 V·s/radRa = 0.5 ΩIFL = 6 A
SR = %
10.直流モーターむずかしい
120 V の直流モーターの電機子抵抗は 0.5 Ω です。始動電流を 30 A に制限する直列の始動抵抗 Rst を求めなさい。
V = 120 VRa = 0.5 ΩImax = 30 A
Rst = Ω
3溶液
1.三相電力
答え: P = 51.96 kW
平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、VL = √3·Vph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、IL = √3·Iph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。
皮相電力
S = √3·VL·IL = √3·400·100 = 69.28 kVA
有効電力
P = S·cos φ = 69.28·0.75 = 51.96 kW
答え
P = 51.96 kW
2.三相電力
答え: Cph = 796.1 µF
平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、VL = √3·Vph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、IL = √3·Iph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 力率改善：コンデンサは無効電力をその場で供給します：QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。3 個のコンデンサはそれぞれ QC/3 = V²·ω·C を供給します。V はそのコンデンサにかかる電圧で、Δ バンクでは VL、Y バンクでは VL/√3 です。
改善前後の無効電力
有効電力は変わらないので、それぞれの力率から無効電力が決まります：Q = P·tan φ。
Q1 = 300·tan(acos 0.7) = 300·1.02 = 306.1 kvar
Q2 = 300·tan(acos 0.95) = 300·0.3287 = 98.61 kvar
コンデンサが供給する無効電力
QC = Q1 − Q2 = 207.5 kvar
1 相あたりの静電容量
Δ バンクでは、各コンデンサは 2 本の線の間に接続されています。
V = 480 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 69152/(377·480²) = 796.1 µF
答え
Cph = 796.1 µF
3.変圧器
答え: I1 = 1.2 A
理想変圧器：電圧は巻数の比に、電流はその逆比になります：V₁/V₂ = N₁/N₂ = a、I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a。したがって入力電力と出力電力は等しく、V₁·I₁ = V₂·I₂ です。二次側の負荷インピーダンス Z は、一次側から見ると a²·Z に見えます。
二次電圧と二次電流
V2 = 2400/20 = 120 V
I2 = 120/5 = 24 A
一次電流
理想変圧器には損失がありません：V₁·I₁ = V₂·I₂。
I1 = I2/20 = 1.2 A
答え
I1 = 1.2 A
確認：一次側から見た負荷は a²·RL = 2000 Ω で、2400/2000 からも同じ電流が得られます。
4.変圧器
答え: Pcu,fl = 5790 W
変圧器の損失：鉄損（ヒステリシス損と渦電流損）は電圧で決まり、負荷によらず一定です。巻線の銅損は電流の 2 乗に比例するので、定格負荷の x 倍の負荷では x²·Pcu,fl になります。効率 η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu)、ただし Pout = x·S·pf です。効率は銅損と鉄損が等しくなる負荷で最大になります。
出力と入力
Pout = 500·0.85 = 425 kW
Pin = 425000/0.982 = 432790 W
全損失と銅損
Ploss = 432790 − 425000 = 7790 W
Pcu,fl = 7790 − 2000 = 5790 W
答え
Pcu,fl = 5790 W
5.交流電力と力率
答え: Q = 9.353 kvar
交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。
位相角
φ = arccos(0.65) = 49.46°, tan φ = 1.169
無効電力
Q = P·tan φ = 8·1.169 = 9.353 kvar
答え
Q = 9.353 kvar
6.交流電力と力率
答え: QC = 9.94 kvar
交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。
改善前後の無効電力
有効電力 P は変わらず、電源から取る無効電力だけが変わります。
Q1 = P·tan φ1 = 25·tan(41.41°) = 22.05 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 25·tan(25.84°) = 12.11 kvar
QC = Q1 − Q2 = 9.94 kvar
答え
QC = 9.94 kvar
7.交流インピーダンスとフェーザ
答え: I = 0.1715 A
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
リアクタンス
ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s
XL = ωL = 6283·0.05 = 314.2 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(6283·4.7·10⁻⁶) = 33.86 Ω
インピーダンス
直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(XL − XC)。
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(80² + (280.3)²) = 291.5 Ω
電流
直列回路ではすべての素子に同じ電流が流れます。
I = V/|Z| = 50/291.5 = 0.1715 A
答え
I = 0.1715 A
8.交流インピーダンスとフェーザ
答え: VC = 4.564 V
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
リアクタンス
ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s
XL = ωL = 1257·0.2 = 251.3 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(1257·10·10⁻⁶) = 79.58 Ω
インピーダンス
直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(XL − XC)。
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(30² + (171.7)²) = 174.4 Ω
電流
直列回路ではすべての素子に同じ電流が流れます。
I = V/|Z| = 10/174.4 = 0.05736 A
コンデンサの電圧
VC = I·XC = 0.05736·79.58 = 4.564 V
答え
VC = 4.564 V
9.直流モーター
答え: SR = 14.29 %
直流モーター：電機子は、逆起電力 E と直列の抵抗 Ra と見なせるので、V = E + Ia·Ra です。逆起電力は速度に比例して E = k·ω、トルクは電流に比例して T = k·Ia となり、SI 単位では同じモーター定数 k (V·s/rad = N·m/A) を使います。速度は ω = 2π·n/60 で換算します。発生電力は E·Ia = T·ω です。入力電力は V·Ia で、その差は銅損 Ia²Ra と回転損です。速度はトルクに対して直線的に下がり、ω = V/k − Ra·T/k² です。無負荷速度 V/k から、拘束トルク k·V/Ra で 0 になります。停止時には E = 0 なので、抵抗で制限しないかぎり始動電流 V/Ra は大きくなります。
無負荷速度と全負荷速度
n₀ = 60·24/(2π·0.08) = 2865 rpm
nFL = 60·(24 − 6·0.5)/(2π·0.08) = 2507 rpm
速度変動率
SR = (2865 − 2507)/2507·100 = 14.29 %
答え
SR = 14.29 %
10.直流モーター
答え: Rst = 3.5 Ω
直流モーター：電機子は、逆起電力 E と直列の抵抗 Ra と見なせるので、V = E + Ia·Ra です。逆起電力は速度に比例して E = k·ω、トルクは電流に比例して T = k·Ia となり、SI 単位では同じモーター定数 k (V·s/rad = N·m/A) を使います。速度は ω = 2π·n/60 で換算します。発生電力は E·Ia = T·ω です。入力電力は V·Ia で、その差は銅損 Ia²Ra と回転損です。速度はトルクに対して直線的に下がり、ω = V/k − Ra·T/k² です。無負荷速度 V/k から、拘束トルク k·V/Ra で 0 になります。停止時には E = 0 なので、抵抗で制限しないかぎり始動電流 V/Ra は大きくなります。
全抵抗
Ra + Rst = 120/30 = 4 Ω
始動抵抗器
Rst = 4 − 0.5 = 3.5 Ω
答え
Rst = 3.5 Ω
抵抗器は、モーターが加速して逆起電力が大きくなるにつれて、段階的に切り離されます。
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