電力システムと電気機器：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

三相電力

Y 結線: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Δ 結線: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
全有効電力: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
皮相電力と無効電力: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
力率改善用コンデンサ: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
各コンデンサにかかる電圧: Δ：V_L Y：V_L/√3
モーターの入力: P_in = P_out/η

変圧器

巻数比: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
電流比: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
定格電流: I = S/V
換算インピーダンス: Z₁′ = a²·Z_L
部分負荷時の銅損: P_cu = x²·P_cu,fl
効率: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
最大効率: x = √(P_core/P_cu,fl)

交流電力と力率

有効電力: P = V·I·cos φ
無効電力: Q = V·I·sin φ
皮相電力: S = V·I = √(P² + Q²)
力率: pf = cos φ = P/S
力率改善用コンデンサ: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

交流インピーダンスとフェーザ

インピーダンス: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角周波数: ω = 2πf
大きさと偏角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
フェーザ表示のオームの法則: V = I·Z

解き方

周波数を換算します：ω = 2πf。
各リアクタンスを求めます：X_L = ωL、X_C = 1/(ωC)。
インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。

直流モーター

電機子回路: V = E + I_aR_a
逆起電力とトルク: E = k·ω, T = k·I_a
速さ: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
無負荷速度と拘束トルク: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
電力: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
始動: I_start = V/(R_a + R_st)
速度変動率: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
最大発生電力: P_max = V²/(4R_a)
チョッパ駆動: V_a = D·V_dc

解き方

電機子回路を描きます：電源 V、抵抗 R_a、逆起電力 E が直列につながります。
電圧、電流、逆起電力を結びつけるには V = E + I_a·R_a を使います。
速度には E = k·ω、トルクには T = k·I_a を使います。ω = 2π·n/60 です。
電力と効率では、V·I_a から始めて、銅損 I_a²·R_a を引き、次に回転損を引きます。

2演習問題

1.三相電力ふつう

1 相あたりのインピーダンスが 4 + j3 Ω の平衡 Δ 結線負荷が、線間電圧 415 V の平衡三相電源に接続されている。負荷が吸収する全有効電力 P を kW で求めよ。

V_L = 415 VZ = 4 + j3 Ω 1 相あたり

P = kW

2.三相電力むずかしい

平衡三相負荷が、690 V（線間）、60 Hz の電源から遅れ力率 0.65 で 75 kW を消費している。負荷と並列に三相コンデンサバンクを接続し、全体の力率を遅れ 0.95 に改善する。有効電力は変わらない。コンデンサは Δ 結線である。各コンデンサの静電容量 C_ph を µF で求めよ。

P = 75 kWpf₁ = 0.65pf₂ = 0.95V_L = 690 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

3.変圧器ふつう

単相 75 kVA、4160/480 V の変圧器が定格負荷で運転している。理想変圧器とみなす。高圧巻線の電流 I_HV を求めよ。

S = 75 kVAV₁ = 4160 VV₂ = 480 V

I_HV = A

4.変圧器むずかしい

単相 250 kVA の変圧器の鉄損は 1000 W、定格負荷での銅損は 4000 W である。効率が最大になる負荷 S_η,max を kVA で求めよ。

S = 250 kVAP_core = 1000 WP_cu,fl = 4000 W

S_η,max = kVA

5.交流電力と力率ふつう

インピーダンス Z = 4 + j3 Ω の負荷が 120 V（実効値）の単相電源に接続されている。負荷が消費する有効電力 P を求めよ。

V = 120 VZ = 4 + j3 Ω

P = W

6.交流電力と力率むずかしい

単相負荷が 400 V、50 Hz の電源から遅れ力率 0.75 で 45 kW を消費する。並列にコンデンサをつないで力率を 0.9 に改善する。新しい線電流 I_new を求めよ。

P = 45 kWpf₁ = 0.75pf₂ = 0.9V = 400 Vf = 50 Hz

I_new = A

7.交流インピーダンスとフェーザふつう

直列 RLC 回路を 100 V（実効値）、500 Hz の電源に接続する。電流の実効値 I を求めよ。

V = 100 V (rms)f = 500 HzR = 60 ΩL = 50 mHC = 2.2 µF

I = A

8.交流インピーダンスとフェーザむずかしい

直列 RLC 回路を 120 V（実効値）、500 Hz の電源に接続する。コンデンサの両端電圧の実効値 V_C を求めよ。

V = 120 V (rms)f = 500 HzR = 50 ΩL = 250 mHC = 47 µF

V_C = V

9.直流モーターふつう

k = 0.5 V·s/rad の直流モーターが 110 V で動作します。無負荷時の損失をすべて無視して、無負荷速度 n₀ を rpm で求めなさい。

V = 110 Vk = 0.5 V·s/rad

n₀ = rpm

10.直流モーターむずかしい

他励直流モーター（全界磁で k = 0.15 V·s/rad、R_a = 0.2 Ω、V = 24 V）が、一定の負荷トルク 0.9 N·m を駆動しています。界磁磁束を全磁束の 70 % に減らします。新しい速度 n を求めなさい。

V = 24 Vk = 0.15 V·s/radR_a = 0.2 ΩT = 0.9 N·mΦ = 70 %

n = rpm

3溶液

1.三相電力

答え: P = 82.67 kW

相電圧

V_ph = V_L = 415 V

相電流

|Z| = √(4² + 3²) = 5 Ω

I_ph = 415/5 = 83 A

全有効電力

有効電力を吸収するのは、各インピーダンスの抵抗分だけです。

P = 3·I_ph²·R = 3·83²·4 = 82.67 kW

答え

P = 82.67 kW

確認：cos φ = R/|Z| = 0.8 で、√3·V_L·I_L·cos φ からも同じ電力が得られます。

2.三相電力

答え: C_ph = 117.1 µF

平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、V_L = √3·V_ph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、I_L = √3·I_ph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ。 力率改善：コンデンサは無効電力をその場で供給します：Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂)。3 個のコンデンサはそれぞれ Q_C/3 = V²·ω·C を供給します。V はそのコンデンサにかかる電圧で、Δ バンクでは V_L、Y バンクでは V_L/√3 です。

改善前後の無効電力

有効電力は変わらないので、それぞれの力率から無効電力が決まります：Q = P·tan φ。

Q₁ = 75·tan(acos 0.65) = 75·1.169 = 87.68 kvar

Q₂ = 75·tan(acos 0.95) = 75·0.3287 = 24.65 kvar

コンデンサが供給する無効電力

Q_C = Q₁ − Q₂ = 63.03 kvar

1 相あたりの静電容量

Δ バンクでは、各コンデンサは 2 本の線の間に接続されています。

V = 690 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 21011/(377·690²) = 117.1 µF

答え

C_ph = 117.1 µF

3.変圧器

答え: I_HV = 18.03 A

理想変圧器：電圧は巻数の比に、電流はその逆比になります：V₁/V₂ = N₁/N₂ = a、I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a。したがって入力電力と出力電力は等しく、V₁·I₁ = V₂·I₂ です。二次側の負荷インピーダンス Z は、一次側から見ると a²·Z に見えます。

定格電流

両方の巻線に同じ皮相電力が流れます。

I_HV = S/V = 75000/4160 = 18.03 A

答え

I_HV = 18.03 A

4.変圧器

答え: S_η,max = 125 kVA

変圧器の損失：鉄損（ヒステリシス損と渦電流損）は電圧で決まり、負荷によらず一定です。巻線の銅損は電流の 2 乗に比例するので、定格負荷の x 倍の負荷では x²·P_cu,fl になります。効率 η = P_out/(P_out + P_core + P_cu)、ただし P_out = x·S·pf です。効率は銅損と鉄損が等しくなる負荷で最大になります。

銅損 = 鉄損

x²·4000 = 1000 → x = √(1000/4000) = 0.5

最大効率となる負荷

S_η,max = x·S = 0.5·250 = 125 kVA

答え

S_η,max = 125 kVA

5.交流電力と力率

答え: P = 2304 W

交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。

電流

|Z| = √(4² + 3²) = 5 Ω

I = V/|Z| = 120/5 = 24 A

有効電力

P = I²·R = 24²·4 = 2304 W

答え

P = 2304 W

6.交流電力と力率

答え: I_new = 125 A

改善前後の無効電力

有効電力 P は変わらず、電源から取る無効電力だけが変わります。

Q₁ = P·tan φ₁ = 45·tan(41.41°) = 39.69 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 45·tan(25.84°) = 21.79 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 17.89 kvar

新しい線電流

I_new = P/(V·cos φ₂) = 45000/(400·0.9) = 125 A

答え

I_new = 125 A

7.交流インピーダンスとフェーザ

答え: I = 1.632 A

フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。

リアクタンス

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0.05 = 157.1 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·2.2·10⁻⁶) = 144.7 Ω

インピーダンス

直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(X_L − X_C)。

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(60² + (12.39)²) = 61.27 Ω

電流

直列回路ではすべての素子に同じ電流が流れます。

I = V/|Z| = 100/61.27 = 1.632 A

答え

I = 1.632 A

8.交流インピーダンスとフェーザ

答え: V_C = 1.042 V

リアクタンス

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0.25 = 785.4 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·47·10⁻⁶) = 6.773 Ω

インピーダンス

直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(X_L − X_C)。

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(50² + (778.6)²) = 780.2 Ω

電流

直列回路ではすべての素子に同じ電流が流れます。

I = V/|Z| = 120/780.2 = 0.1538 A

コンデンサの電圧

V_C = I·X_C = 0.1538·6.773 = 1.042 V

答え

V_C = 1.042 V

9.直流モーター

答え: n₀ = 2101 rpm

直流モーター：電機子は、逆起電力 E と直列の抵抗 R_a と見なせるので、V = E + I_a·R_a です。逆起電力は速度に比例して E = k·ω、トルクは電流に比例して T = k·I_a となり、SI 単位では同じモーター定数 k (V·s/rad = N·m/A) を使います。速度は ω = 2π·n/60 で換算します。発生電力は E·I_a = T·ω です。入力電力は V·I_a で、その差は銅損 I_a²R_a と回転損です。速度はトルクに対して直線的に下がり、ω = V/k − R_a·T/k² です。無負荷速度 V/k から、拘束トルク k·V/R_a で 0 になります。停止時には E = 0 なので、抵抗で制限しないかぎり始動電流 V/R_a は大きくなります。

無負荷速度

ω₀ = V/k = 110/0.5 = 220 rad/s

n₀ = 60·220/(2π) = 2101 rpm

答え

n₀ = 2101 rpm

10.直流モーター

答え: n = 2027 rpm

弱めたあとのモーター定数

k₂ = 0.7·0.15 = 0.105 V·s/rad

新しい電機子電流

I_a = 0.9/0.105 = 8.571 A

新しい速度

ω = (24 − 8.571·0.2)/0.105 = 212.2 rad/s → n = 2027 rpm

答え

n = 2027 rpm

界磁弱めは、直流ドライブが基底速度より高い速度で運転する方法です。

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