電力システムと電気機器：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

三相電力

Y 結線: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Δ 結線: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
全有効電力: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
皮相電力と無効電力: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
力率改善用コンデンサ: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
各コンデンサにかかる電圧: Δ：V_L Y：V_L/√3
モーターの入力: P_in = P_out/η

変圧器

巻数比: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
電流比: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
定格電流: I = S/V
換算インピーダンス: Z₁′ = a²·Z_L
部分負荷時の銅損: P_cu = x²·P_cu,fl
効率: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
最大効率: x = √(P_core/P_cu,fl)

交流電力と力率

有効電力: P = V·I·cos φ
無効電力: Q = V·I·sin φ
皮相電力: S = V·I = √(P² + Q²)
力率: pf = cos φ = P/S
力率改善用コンデンサ: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

交流インピーダンスとフェーザ

インピーダンス: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角周波数: ω = 2πf
大きさと偏角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
フェーザ表示のオームの法則: V = I·Z

解き方

周波数を換算します：ω = 2πf。
各リアクタンスを求めます：X_L = ωL、X_C = 1/(ωC)。
インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。

直流モーター

電機子回路: V = E + I_aR_a
逆起電力とトルク: E = k·ω, T = k·I_a
速さ: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
無負荷速度と拘束トルク: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
電力: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
始動: I_start = V/(R_a + R_st)
速度変動率: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
最大発生電力: P_max = V²/(4R_a)
チョッパ駆動: V_a = D·V_dc

解き方

電機子回路を描きます：電源 V、抵抗 R_a、逆起電力 E が直列につながります。
電圧、電流、逆起電力を結びつけるには V = E + I_a·R_a を使います。
速度には E = k·ω、トルクには T = k·I_a を使います。ω = 2π·n/60 です。
電力と効率では、V·I_a から始めて、銅損 I_a²·R_a を引き、次に回転損を引きます。

2演習問題

1.三相電力ふつう

1 相あたりのインピーダンスが 6 + j8 Ω の平衡 Y 結線負荷が、線間電圧 480 V の平衡三相電源に接続されている。負荷が吸収する全有効電力 P を kW で求めよ。

V_L = 480 VZ = 6 + j8 Ω 1 相あたり

P = kW

2.三相電力むずかしい

平衡三相負荷が、690 V（線間）、50 Hz の電源から遅れ力率 0.72 で 300 kW を消費している。負荷と並列に三相コンデンサバンクを接続し、全体の力率を遅れ 0.9 に改善する。有効電力は変わらない。コンデンサバンクが供給すべき全無効電力 Q_C を kvar で求めよ。

P = 300 kWpf₁ = 0.72pf₂ = 0.9V_L = 690 Vf = 50 Hz

Q_C = kvar

3.変圧器ふつう

巻数比 N₁:N₂ = 4:1 の理想変圧器の二次巻線に 75 Ω の抵抗を接続する。一次巻線から見た抵抗 R_1′ を求めよ。

N₁:N₂ = 4:1R_L = 75 Ω

R_1′ = Ω

4.変圧器むずかしい

単相 75 kVA の変圧器の鉄損は 450 W である。定格負荷、遅れ力率 0.95 での効率は 96% である。全負荷銅損 P_cu,fl を W で求めよ。

S = 75 kVAP_core = 450 Wpf = 0.95η = 96%

P_cu,fl = W

5.交流電力と力率ふつう

単相モーターが 400 V の電源から、遅れ力率 0.65 で 22 kW を消費する。線電流 I を求めよ。

P = 22 kWpf = 0.65V = 400 V

I = A

6.交流電力と力率むずかしい

75 kVA の単相変圧器が、遅れ力率 0.75 で 24 kW の負荷に電力を供給している。変圧器が kVA 定格に達するまでに、抵抗負荷（力率 1）としてあとどれだけの有効電力 ΔP を追加できるか。

S_max = 75 kVAP₁ = 24 kWpf₁ = 0.75

ΔP = kW

7.交流インピーダンスとフェーザふつう

C = 47 µF の直列 RLC 回路を 5000 Hz で共振させなければならない。必要なインダクタンス L を求めよ。

f₀ = 5000 HzC = 47 µF

L = mH

8.交流インピーダンスとフェーザむずかしい

直列 RLC 回路を、周波数を回路の共振周波数に設定した 2 V（実効値）の電源で駆動する。コイルの両端の電圧の実効値 V_L を求めよ。

V = 2 V (rms)R = 10 ΩL = 5 mHC = 4.7 µF

V_L = V

9.直流モーターふつう

直流モーターが 2900 rpm で機械的な電力 0.5 kW を出力します。軸トルク T を求めなさい。

P = 0.5 kWn = 2900 rpm

T = N·m

10.直流モーターむずかしい

小型の直流モーターの電機子抵抗は 0.5 Ω で、48 V で動作します。回転損を無視して、どの速度でも発生できる最大の機械的電力 P_max を求めなさい。

V = 48 VR_a = 0.5 Ω

P_max = W

3溶液

1.三相電力

答え: P = 13.82 kW

相電圧

V_ph = 480/√3 = 277.1 V

相電流

|Z| = √(6² + 8²) = 10 Ω

I_ph = 277.1/10 = 27.71 A

全有効電力

有効電力を吸収するのは、各インピーダンスの抵抗分だけです。

P = 3·I_ph²·R = 3·27.71²·6 = 13.82 kW

答え

P = 13.82 kW

確認：cos φ = R/|Z| = 0.6 で、√3·V_L·I_L·cos φ からも同じ電力が得られます。

2.三相電力

答え: Q_C = 143.9 kvar

平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、V_L = √3·V_ph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、I_L = √3·I_ph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ。 力率改善：コンデンサは無効電力をその場で供給します：Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂)。3 個のコンデンサはそれぞれ Q_C/3 = V²·ω·C を供給します。V はそのコンデンサにかかる電圧で、Δ バンクでは V_L、Y バンクでは V_L/√3 です。

改善前後の無効電力

有効電力は変わらないので、それぞれの力率から無効電力が決まります：Q = P·tan φ。

Q₁ = 300·tan(acos 0.72) = 300·0.9639 = 289.2 kvar

Q₂ = 300·tan(acos 0.9) = 300·0.4843 = 145.3 kvar

コンデンサが供給する無効電力

Q_C = Q₁ − Q₂ = 143.9 kvar

答え

Q_C = 143.9 kvar

3.変圧器

答え: R_1′ = 1200 Ω

理想変圧器：電圧は巻数の比に、電流はその逆比になります：V₁/V₂ = N₁/N₂ = a、I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a。したがって入力電力と出力電力は等しく、V₁·I₁ = V₂·I₂ です。二次側の負荷インピーダンス Z は、一次側から見ると a²·Z に見えます。

換算抵抗

電圧は a 倍になり、電流は 1/a 倍になるので、比 V/I は a² 倍になります。

R_1′ = a²·R_L = 4²·75 = 1200 Ω

答え

R_1′ = 1200 Ω

4.変圧器

答え: P_cu,fl = 2519 W

変圧器の損失：鉄損（ヒステリシス損と渦電流損）は電圧で決まり、負荷によらず一定です。巻線の銅損は電流の 2 乗に比例するので、定格負荷の x 倍の負荷では x²·P_cu,fl になります。効率 η = P_out/(P_out + P_core + P_cu)、ただし P_out = x·S·pf です。効率は銅損と鉄損が等しくなる負荷で最大になります。

出力と入力

P_out = 75·0.95 = 71.25 kW

P_in = 71250/0.96 = 74219 W

全損失と銅損

P_loss = 74219 − 71250 = 2969 W

P_cu,fl = 2969 − 450 = 2519 W

答え

P_cu,fl = 2519 W

5.交流電力と力率

答え: I = 84.62 A

交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。

線電流

仕事をするのは有効分だけなので、力率で割ります。

I = P/(V·cos φ) = 22000/(400·0.65) = 84.62 A

答え

I = 84.62 A

6.交流電力と力率

答え: ΔP = 47.95 kW

既存の負荷の無効電力

Q₁ = 24·tan(arccos 0.75) = 21.17 kvar

最大の全有効電力

定格いっぱいでは S = S_max で、Q は抵抗負荷によって変わりません。

P = √(S_max² − Q₁²) = √(75² − 21.17²) = 71.95 kW

追加できる有効電力

ΔP = 71.95 − 24 = 47.95 kW

答え

ΔP = 47.95 kW

7.交流インピーダンスとフェーザ

答え: L = 0.02156 mH

フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。

共振条件

共振時には誘導性リアクタンスと容量性リアクタンスが打ち消し合います：ωL = 1/(ωC)。

ω₀ = 2π·5000 = 31416 rad/s

L = 1/(ω₀²·C) = 1/(31416²·47·10⁻⁶) = 0.02156 mH

答え

L = 0.02156 mH

8.交流インピーダンスとフェーザ

答え: V_L = 6.523 V

共振

共振時にはリアクタンスが打ち消し合うので、インピーダンスは R だけです。

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.005·4.7·10⁻⁶) = 6523 rad/s

I = V/R = 2/10 = 0.2 A

コイルの両端の電圧

X_L = ω₀L = 6523·0.005 = 32.62 Ω

V_L = I·X_L = 0.2·32.62 = 6.523 V

答え

V_L = 6.523 V

これは電源電圧の Q = 3.262 倍です。

9.直流モーター

答え: T = 1.646 N·m

直流モーター：電機子は、逆起電力 E と直列の抵抗 R_a と見なせるので、V = E + I_a·R_a です。逆起電力は速度に比例して E = k·ω、トルクは電流に比例して T = k·I_a となり、SI 単位では同じモーター定数 k (V·s/rad = N·m/A) を使います。速度は ω = 2π·n/60 で換算します。発生電力は E·I_a = T·ω です。入力電力は V·I_a で、その差は銅損 I_a²R_a と回転損です。速度はトルクに対して直線的に下がり、ω = V/k − R_a·T/k² です。無負荷速度 V/k から、拘束トルク k·V/R_a で 0 になります。停止時には E = 0 なので、抵抗で制限しないかぎり始動電流 V/R_a は大きくなります。

rad/s での角速度

ω = 2π·2900/60 = 303.7 rad/s

トルク

T = P/ω = 500/303.7 = 1.646 N·m

答え

T = 1.646 N·m

10.直流モーター

答え: P_max = 1152 W

逆起電力の関数としての電力

P(E) = E·(V − E)/R_a

dP/dE = 0 → E = V/2 = 24 V

最大電力

P_max = (V/2)²/R_a = V²/(4R_a) = 48²/(4·0.5) = 1152 W

答え

P_max = 1152 W

この点での効率はわずか 50 % なので、実際のモーターは半分の速度よりずっと高い速度で運転されます。

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