電力システムと電気機器：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

三相電力

Y 結線: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Δ 結線: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
全有効電力: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
皮相電力と無効電力: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
力率改善用コンデンサ: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
各コンデンサにかかる電圧: Δ：V_L Y：V_L/√3
モーターの入力: P_in = P_out/η

変圧器

巻数比: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
電流比: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
定格電流: I = S/V
換算インピーダンス: Z₁′ = a²·Z_L
部分負荷時の銅損: P_cu = x²·P_cu,fl
効率: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
最大効率: x = √(P_core/P_cu,fl)

交流電力と力率

有効電力: P = V·I·cos φ
無効電力: Q = V·I·sin φ
皮相電力: S = V·I = √(P² + Q²)
力率: pf = cos φ = P/S
力率改善用コンデンサ: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

交流インピーダンスとフェーザ

インピーダンス: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角周波数: ω = 2πf
大きさと偏角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
フェーザ表示のオームの法則: V = I·Z

解き方

周波数を換算します：ω = 2πf。
各リアクタンスを求めます：X_L = ωL、X_C = 1/(ωC)。
インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。

直流モーター

電機子回路: V = E + I_aR_a
逆起電力とトルク: E = k·ω, T = k·I_a
速さ: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
無負荷速度と拘束トルク: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
電力: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
始動: I_start = V/(R_a + R_st)
速度変動率: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
最大発生電力: P_max = V²/(4R_a)
チョッパ駆動: V_a = D·V_dc

解き方

電機子回路を描きます：電源 V、抵抗 R_a、逆起電力 E が直列につながります。
電圧、電流、逆起電力を結びつけるには V = E + I_a·R_a を使います。
速度には E = k·ω、トルクには T = k·I_a を使います。ω = 2π·n/60 です。
電力と効率では、V·I_a から始めて、銅損 I_a²·R_a を引き、次に回転損を引きます。

2演習問題

1.三相電力ふつう

1 相あたりのインピーダンスが 4 + j3 Ω の平衡 Δ 結線負荷が、線間電圧 480 V の平衡三相電源に接続されている。負荷が吸収する全有効電力 P を kW で求めよ。

V_L = 480 VZ = 4 + j3 Ω 1 相あたり

P = kW

2.三相電力むずかしい

平衡三相負荷が、400 V（線間）、60 Hz の電源から遅れ力率 0.75 で 100 kW を消費している。負荷と並列に三相コンデンサバンクを接続し、全体の力率を遅れ 0.95 に改善する。有効電力は変わらない。コンデンサは Δ 結線である。各コンデンサの静電容量 C_ph を µF で求めよ。

P = 100 kWpf₁ = 0.75pf₂ = 0.95V_L = 400 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

3.変圧器ふつう

巻数比 N₁:N₂ = 4:1 の理想変圧器の一次巻線に 480 V を加える。二次巻線に 40 Ω の抵抗を接続する。一次電流 I₁ を求めよ。

N₁:N₂ = 4:1V₁ = 480 VR_L = 40 Ω

I₁ = A

4.変圧器むずかしい

単相 150 kVA の変圧器の鉄損は 1200 W、定格負荷での銅損は 1800 W である。効率が最大になる負荷 S_η,max を kVA で求めよ。

S = 150 kVAP_core = 1200 WP_cu,fl = 1800 W

S_η,max = kVA

5.交流電力と力率ふつう

インピーダンス Z = 4 + j3 Ω の負荷が 230 V（実効値）の単相電源に接続されている。皮相電力 S を求めよ。

V = 230 VZ = 4 + j3 Ω

S = VA

6.交流電力と力率むずかしい

150 kVA の単相変圧器が、遅れ力率 0.75 で 36 kW の負荷に電力を供給している。変圧器が kVA 定格に達するまでに、抵抗負荷（力率 1）としてあとどれだけの有効電力 ΔP を追加できるか。

S_max = 150 kVAP₁ = 36 kWpf₁ = 0.75

ΔP = kW

7.交流インピーダンスとフェーザふつう

直列 RLC 回路を 24 V（実効値）、50 Hz の電源に接続する。インピーダンスの位相角 φ を度で求めよ（電流が電圧より遅れるとき正）。

V = 24 V (rms)f = 50 HzR = 15 ΩL = 150 mHC = 22 µF

φ = °

8.交流インピーダンスとフェーザむずかしい

抵抗 R₁ が、R₂ とコンデンサ C の並列回路と直列に接続され、120 V（実効値）、50 Hz の電源に接続されている。電流の実効値 I を求めよ。

V = 120 V (rms)f = 50 HzR₁ = 40 ΩR₂ = 60 ΩC = 22 µF

I = A

9.直流モーターふつう

k = 0.25 N·m/A、R_a = 2 Ω の直流モーターを 48 V につなぎます。速度 0 でのトルク、すなわち拘束トルク T_stall を求めなさい。

V = 48 Vk = 0.25 N·m/AR_a = 2 Ω

T_stall = N·m

10.直流モーターむずかしい

220 V（R_a = 0.25 Ω）の他励直流モーターが、電機子電流 40 A で 900 rpm で回転しています。負荷が変わり、界磁は変えないまま電流が 10 A になります。新しい速度 n₂ を求めなさい。

V = 220 VR_a = 0.25 Ωn₁ = 900 rpmI_a1 = 40 AI_a2 = 10 A

n₂ = rpm

3溶液

1.三相電力

答え: P = 110.6 kW

相電圧

V_ph = V_L = 480 V

相電流

|Z| = √(4² + 3²) = 5 Ω

I_ph = 480/5 = 96 A

全有効電力

有効電力を吸収するのは、各インピーダンスの抵抗分だけです。

P = 3·I_ph²·R = 3·96²·4 = 110.6 kW

答え

P = 110.6 kW

確認：cos φ = R/|Z| = 0.8 で、√3·V_L·I_L·cos φ からも同じ電力が得られます。

2.三相電力

答え: C_ph = 305.7 µF

平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、V_L = √3·V_ph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、I_L = √3·I_ph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ。 力率改善：コンデンサは無効電力をその場で供給します：Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂)。3 個のコンデンサはそれぞれ Q_C/3 = V²·ω·C を供給します。V はそのコンデンサにかかる電圧で、Δ バンクでは V_L、Y バンクでは V_L/√3 です。

改善前後の無効電力

有効電力は変わらないので、それぞれの力率から無効電力が決まります：Q = P·tan φ。

Q₁ = 100·tan(acos 0.75) = 100·0.8819 = 88.19 kvar

Q₂ = 100·tan(acos 0.95) = 100·0.3287 = 32.87 kvar

コンデンサが供給する無効電力

Q_C = Q₁ − Q₂ = 55.32 kvar

1 相あたりの静電容量

Δ バンクでは、各コンデンサは 2 本の線の間に接続されています。

V = 400 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 18441/(377·400²) = 305.7 µF

答え

C_ph = 305.7 µF

3.変圧器

答え: I₁ = 0.75 A

理想変圧器：電圧は巻数の比に、電流はその逆比になります：V₁/V₂ = N₁/N₂ = a、I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a。したがって入力電力と出力電力は等しく、V₁·I₁ = V₂·I₂ です。二次側の負荷インピーダンス Z は、一次側から見ると a²·Z に見えます。

二次電圧と二次電流

V₂ = 480/4 = 120 V

I₂ = 120/40 = 3 A

一次電流

理想変圧器には損失がありません：V₁·I₁ = V₂·I₂。

I₁ = I₂/4 = 0.75 A

答え

I₁ = 0.75 A

確認：一次側から見た負荷は a²·R_L = 640 Ω で、480/640 からも同じ電流が得られます。

4.変圧器

答え: S_η,max = 122.5 kVA

変圧器の損失：鉄損（ヒステリシス損と渦電流損）は電圧で決まり、負荷によらず一定です。巻線の銅損は電流の 2 乗に比例するので、定格負荷の x 倍の負荷では x²·P_cu,fl になります。効率 η = P_out/(P_out + P_core + P_cu)、ただし P_out = x·S·pf です。効率は銅損と鉄損が等しくなる負荷で最大になります。

銅損 = 鉄損

x²·1800 = 1200 → x = √(1200/1800) = 0.8165

最大効率となる負荷

S_η,max = x·S = 0.8165·150 = 122.5 kVA

答え

S_η,max = 122.5 kVA

5.交流電力と力率

答え: S = 10580 VA

交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。

電流

|Z| = √(4² + 3²) = 5 Ω

I = V/|Z| = 230/5 = 46 A

皮相電力

S = V·I = 230·46 = 10580 VA

答え

S = 10580 VA

6.交流電力と力率

答え: ΔP = 110.6 kW

既存の負荷の無効電力

Q₁ = 36·tan(arccos 0.75) = 31.75 kvar

最大の全有効電力

定格いっぱいでは S = S_max で、Q は抵抗負荷によって変わりません。

P = √(S_max² − Q₁²) = √(150² − 31.75²) = 146.6 kW

追加できる有効電力

ΔP = 146.6 − 36 = 110.6 kW

答え

ΔP = 110.6 kW

7.交流インピーダンスとフェーザ

答え: φ = −81.26 °

フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。

リアクタンス

ω = 2πf = 2π·50 = 314.2 rad/s

X_L = ωL = 314.2·0.15 = 47.12 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(314.2·22·10⁻⁶) = 144.7 Ω

インピーダンス

直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(X_L − X_C)。

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(15² + (−97.56)²) = 98.71 Ω

位相角

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(−97.56/15) = −81.26°

答え

φ = −81.26°

8.交流インピーダンスとフェーザ

答え: I = 1.282 A

リアクタンス

X_C = 1/(2π·50·22·10⁻⁶) = 144.7 Ω

並列回路

分子と分母に共役複素数を掛けて、Z_p を実部と虚部に分けます。

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 51.2 − j21.23 Ω

合成インピーダンス

Z = 40 + 51.2 − j21.23 = 91.2 − j21.23 Ω

|Z| = √(91.2² + 21.23²) = 93.63 Ω

電流

I = V/|Z| = 120/93.63 = 1.282 A

答え

I = 1.282 A

9.直流モーター

答え: T_stall = 6 N·m

直流モーター：電機子は、逆起電力 E と直列の抵抗 R_a と見なせるので、V = E + I_a·R_a です。逆起電力は速度に比例して E = k·ω、トルクは電流に比例して T = k·I_a となり、SI 単位では同じモーター定数 k (V·s/rad = N·m/A) を使います。速度は ω = 2π·n/60 で換算します。発生電力は E·I_a = T·ω です。入力電力は V·I_a で、その差は銅損 I_a²R_a と回転損です。速度はトルクに対して直線的に下がり、ω = V/k − R_a·T/k² です。無負荷速度 V/k から、拘束トルク k·V/R_a で 0 になります。停止時には E = 0 なので、抵抗で制限しないかぎり始動電流 V/R_a は大きくなります。

拘束電流

I_a = V/R_a = 48/2 = 24 A

拘束トルク

T_stall = 0.25·24 = 6 N·m

答え

T_stall = 6 N·m

10.直流モーター

答え: n₂ = 932.1 rpm

変化前と変化後の逆起電力

E₁ = 220 − 40·0.25 = 210 V

E₂ = 220 − 10·0.25 = 217.5 V

新しい速度

n₂ = 900·217.5/210 = 932.1 rpm

答え

n₂ = 932.1 rpm

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